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因式分解—十字相乘法讲义
一、十字相乘法的原理
对于二次三项式（）
1.假设它可以分解为的形式，将展开可得：
2.对比和，可以得到：
，即二次项系数是两个因数和的乘积。
，一次项系数是两个因数交叉相乘再相加的结果。
，常数项是两个因数和的乘积。
二、十字相乘法的步骤
（一）、以二次三项式为例
分解二次项系数和常数项
对于，二次项系数，可分解为；常数项，可分解为。
十字相乘并相加
写成如下形式：
1 2
1 3
1×2+1×3=5
计算交叉相乘的和：，正好等于一次项系数。
写出因式分解的结果
所以。
（二）、再看二次三项式
分解二次项系数和常数项
二次项系数，可分解为；常数项，可分解为。
十字相乘并相加
写成如下形式：
1 -3
2 -1
1×（-1）+2×（-3）=-7
计算交叉相乘的和：，等于一次项系数。
写出因式分解的结果
所以。
四、注意事项
（一）、符号问题
1.当常数项为正数时，分解的两个因数同号（同为正或同为负），且这两个因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于，常数项，一次项系数是正数，所以分解为。
2.当常数项为负数时，分解的两个因数异号，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同。
例如，对于，常数项，一次项系数是负数，绝对值较大的因数是负数，所以分解为。
、系数问题
1.当二次项系数不为时，要仔细分解二次项系数和常数项，尝试不同的组合，直到找到满足十字相乘后相加等于一次项系数的组合。
例如，对于，二次项系数，常数项或等多种分解方式。经过尝试，，其中。
2、十字相乘法的典型例题：
（1）二次项系数为1的二次三项式
例1：分解因式
解：分析：对于，二次项系数为，常数项，一次项系数。
分解过程：
例2：分解因式
解：分析：二次项系数是，常数项，一次项系数。
分解过程：
例3：分解因式
解：分析：二次项系数为，常数项，一次项系数 。
分解过程：
（2）二次项系数不为1的二次三项式
例4：分解因式
解：分析：二次项系数，常数项，尝试十字相乘，，满足一次项系数。
分解过程：
例5：分解因式
解：分析：二次项系数，常数项，经尝试，符合一次项系数。
分解过程：
例6：分解因式
解：分析：二次项系数，常数项，通过计算，与一次项系数相等。
分解过程：
（3）含字母系数的二次三项式
例7：分解因式
解：分析：二次项系数为，常数项可分解为，一次项系数恰好是与的和。
分解过程：
例8：分解因式
解：分析：二次项系数，常数项，当，令，则可分解。
分解过程：
（4）较复杂的式子
例9：分解因式
解：分析：可将看成，那么式子就变成了关于的二次三项式，即。常数项，一次项系数。
分解过程：
例10：分解因式
解：分析：把看成一个整体，设，则原式变为。对于，常数项，一次项系数。
分解过程：
练习
1．因式分解（十字相乘-简单二次三项式（二次项系数为））
2. 因式分解（十字相乘-二次项系数不为的二次三项式）
3. 因式分解（十字相乘-含参数的二次三项式）
（）
（）
4. 因式分解（十字相乘-复杂形式（可看作二次三项式））

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