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5.3实际问题与一元一次方程（第4课时）
——探究3 不同能效空调的综合费用比较
内容及其解析
内容
建议一元一次方程模型解决不同能效空调的综合费用比较问题
内容解析
在实际生活中，存在着大量问题可以借助数学知识来解决，可见数学可以回归生活、服务于生活。比较不同能效空调的综合费用进而合理选择购买方案就是一个常见的生活问题，是学生利用一元一次方程解决实际问题的实践基础上，面对的更加综合性的问题。通过对这种问题的解决，学生会再次体验数学建模的全过程，提升模型观念。
数学建模大致分为三个环节：将实际问题转化为数学模型、求解数学模型、利用模型结论解释实际问题，在这三个环节中“建立模型”尤为重要，需要学生具有一定的分析、转化能力。在比较不同能效空调的综合费用进而合理选择购买方案这个问题中，建立方程模型的关键点主要有两个，一个是设哪个量为未知数，这需要基于对问题的分析，发现在影响空调综合费用的因素中，主要决定因素是使用时间，从而确定可以设使用时间为未知数，另一个是寻找相等关系列方程，通过对使用时间取不同的值发现，两款空调综合费用相应取值的大小情况发生变化，进一步想到两个值何值相等，从而发现相等关系，再利用相等关系建立一元一次方程模型。这个实际问题比学生之前遇到的实际问题存在的相等关系更具有隐蔽性，需要根据数量间的大小变化来发现和确定。
基于以上分析，确定本节课的重点是：建立不同能效空调综合费用比较问题的一元一次方程模型。
目标及目标解析
目标
通过建立方程模型解决不同能效空调综合费用的比较问题，初步掌握解决方案选择问题的一般方法，提升模型概念，增强应用意识。
目标解析
达成目标的标志是：学生在理解购买空调的实际情境基础上，能够借助用字母表示的未知数，表示出两款空调的综合费用，从实际问题中抽象出数学问题。再通过对使用时间取不同的值发现，两款空调综合费用的相应取值的大小也随之发生变化，进而找到相等关系，并利用相等关系建立方程模型进而求解，能利用方程的解以及对代数式的变形，对各个分类区间内的综合费用的大小进行比较，最终得到购买、使用哪款空调的方案。
教学问题分析
学生通过前面的学习，对于一些相对简单的实际问题，能够找出其中的已知量和未知量，分析它们之间的关系，引入未知数列出方程表示问题中的相等关系，利用一元一次方程解决实际问题，已具有一定的分析问题、解决问题的能力。由于比较不同能效空调的综合费用进而合理选择购买方案的问题综合性较强，学生缺乏解决综合问题的经验，所以提取信息、分析问题能力还有待提高；找到合适的量设未知数，找到隐蔽的相等关系建立方程模型对学生都提出了更高的要求。因此本节课的教学难点是：找到不同能效空调综合费用比较问题的相等关系并列出方程。
为突破这一难点，本节课的教学中，首先给学生充分时间阅读思考问题情境，表述对问题的认识，在教师引导下思考影响空调综合费用的主要因素，确定空调的使用时间为未知数，并进一步用时间来表示两款空调的综合费用；其次引导学生从特殊到一般地研究问题，对使用时间取不同的值时观察两款空调综合费用的大小关系，进一步想到两个综合费用取值何时相等的问题；最后发现相等关系并利用相等关系建立非常模型解决问题。
教学过程设计
创设情境，初步认识
问题1：购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元／（kW·h），请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低.
两款空调的部分基本信息
匹数 能效等级 售价／元 平均每年耗电量／（kW·h）
1.5 1级 3 000 640
1.5 3级 2 600 800
师生活动：学生认真阅读表格，思考并回答问题，教师追问，引导学生进一步思考。
追问：空调的电费与什么因素有关？如果把空调的售价与电费的和叫作空调的综合费用，如何根据综合费用来选择空调？你觉得选哪款空调更划算？
师生活动：在教师引导下，学生分析得出空调的选择要综合考虑空调的售价和电费，而空调的电费又和使用时间有关，因此我们应该选择综合费用低的空调。
学生结合分析以及自己的生活经验，对哪款空调的综合费用更低可能会出现不同的猜想。教师指出检验自己的猜想是否正确时，需要借助数学工具进行理性分析。
设计意图：引导学生阅读题目，提取信息，逐步思考并得出选择空调有影响的因素，为后面用空调的使用时间表示两台空调的综合费用作铺垫。此外，让学生结合自己的生活经验以及初步分析，猜想选择哪款空调更划算，是为了让学生表达对问题的直观认识，学生之间通过发表意见相互启发，对问题的进一步探究作准备。
抽象表示，问题转化
问题2：设空调的使用时间为t年，你能把两款空调的综合费用分别用t表示出来吗？观察列出的两个代数式，可以得出哪款空调的综合费用更低吗？
师生活动：学生思考并回答问题。
1级能效空调的综合费用为：
3级能效空调的综合费用为：
学生在教师引导下分析这两个代数式，发现无法直接看出他们的大小，其大小和t的取值有关。
追问：对t取一些具体数值，分别计算两款空调的综合费用，哪款综合费用更低？通过计算，你有什么发现？
师生活动：学生对t取一些值。例如当时，
1级能效空调的综合费用为：3000,3320,6200
3级能效空调的综合费用为：2600,3000,6600
学生观察得出，当使用时间比较短时，3级能效空调的综合费用更低；当使用时间比较长时，1级能效空调的综合费用更低.于是会思考使用多长时间两台空调的综合费用相等。
设计意图：逐步加深学生对空调综合费用问题的分析，考察学生列代数式表示未知量的能力，教师引导学生借助t的具体值比较两个代数式的大小，为找到相等关系突破难点作铺垫，在此过程中体会从特殊到一般地研究问题的方法。
建立模型，求解回答
问题3：使用时间是多少年时？两款空调的综合费用相等？
师生活动：由问题2列出的关于两款空调综合费用的代数式，学生可以列出方程，解得.得出当使用5年时，两款空调的综合费用相等。
设计意图：将实际问题转化数学问题后，学生通过分析建立方程模型，并利用方程模型求出关键数据，使学生认识到方程的重要性和应用价值，增强学生的应用意识。
问题4：使用时间在什么范围内，1级能效空调的综合费用更低？使用时间在什么范围内，3级能效空调的综合费用更低？请说明理由。
师生活动：学生通过前面取特殊值计算两台空调的综合费用，不难发现结论。在教师的引导下，进一步观察两个代数式的特点并进行适当变形，理性分析理由。
为了比较两款空调的综合费用，可以把表示3级能效空调的综合费用的式子变形为1级能效空调的综合费用与另一个式子的和，即
1级能效空调的综合费用为：；
3级能效空调的综合费用为：
=
这样，当时，是负数，这表明3级能效空调的综合费用更低；当时，是正数，这表明1级能效空调的综合费用更低.
追问：如果根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期记起），购买、使用哪款空调更划算？
师生货单不过：教师提出问题，学生思考并回答，不难得出，空调的安全使用年限是10年（从生产日期记起）时，购买、使用1级能效空调更划算。
设计意图：在得出当时，两款空调的综合费用相等后，可以结合前面的计算，通过取特殊值，比较当和式两款空调的综合费用的大小，提出结论。让学生进一步观察式子的特点，通过适当变形，说明结论成立。引导学生利用结论解释实际问题，完成建模的全过程。
回顾过程，小结提升
教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
利用一元一次方程解决实际问题的基本过程是什么？
在比较空调的综合费用进而选择购买方案的过程中，你认为哪些步骤比较关键？
在本节课的研究过程中用到了哪些方法，你有哪些收获？
设计意图：引导学生回顾本节课研究过程，提炼方法，总结经验，初步掌握研究同类问题的一般思路。
作业布置
教科书第139页第1、2题。

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