资源简介

13.1.2 线段的垂直平分线的性质
目标确定的依据：
1.课程标准相关要求：
理解线段垂直平分线的概念，探索并证明线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
2.教材分析：
本套教科书对于推理证明的安排，上一章“全等三角形”已经要求让学生会用符号表示推理（证明）．在本章对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍要求学生加以证明，但是相对于上一章，推理的依据多了，图形、题目的复杂程度也增加了，因此会使部分学生感到无处下手，这是本章教学的一个难点。在本章教学中要加强对问题分析的教学，帮助学生分析证明问题的思路，这时可以结合所要求证的结论一起考虑，即“两头凑”，帮助学生克服这一难点．
3.学情分析：
在前面的几何学习中，学生学习了线段、角等基本几何元素，研究了相交线与平行线、三角形等基本几何图形，积累了一些几何研究的经验，本章利用和进一步强化了这些经验。在七年级学生认识了图形的判定和图形的性质的含义，知道它们是研究几何图形的两个重要方面，同时对将研究的内容做到心中有数。
学习目标：
1、经历线段垂直平分线的性质的发现过程，初步掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，体会辩证思想。
2、能运用线段垂直平分线的性质定理及其逆定理解决简单的几何问题。
学习重点：
能够利用尺规作已知线段的垂直平分线。
学习难点：
能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理及其相关结论。
一、情景引入：
提问1：线段是不是轴对称图形？如果是，那么请说明它的对称轴在哪里？
提问2：如图，线段AB关于直线MN对称，在直线MN上任取一点P，分别连接PA、PB，那么线段PA与PB一定相等吗？
二、预习导学：
阅读P61--62并思考一下问题：
运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．
线段垂直平分线性质定理和判定定理，两者的应用上的区别及各自的作用。
用尺规作线段的垂直平分线．体会作法中每一步的依据．（为什么以大于AB的长为半径作弧．两弧相交于点C和D．请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗 ）
三、合作探究：
1.过到线段两端距离相等的点的直线是这条线段垂直平分线—是否正确
2.垂直平分线性质定理和判定定理，两者的应用上的区别及各自的作用。
3.运用公理和所学过的定理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理．
4.性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
注：点P在线段AB的垂直平分线上 PA=PB
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
可见，定理是证明两线段相等的依据。
用集合的观点描述线段的垂直平分线：线段的垂直平分线可以看作是和这条线段的两个端点的距离相等的所有的点的集合。
用符号语言表示线段垂直平分线性质定理：
∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=P B
用符号语言表示线段垂直平分线判定定理：
∵PA=P B
∴点P在线段AB的垂直平分线上
小结：线段垂直平分线定理
性质：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等
（逆定理）判定：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的直平分线上
例：已知，如图ΔABC中，边AB，BC的垂直平分线相交于点P，求证：PA=PB=PC。
证明：∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB（ ）
同理PB=PC
∴PA=PB=PC（ ）
由例题PA=PC，知道点P在AC的垂直平分线上，所以三角形三边的垂直平分线交于一点P，这个点到三个顶点的距离相等。
四、跟踪训练：
判断
1、如图1直线MN垂直平分线段AB，则AE=AF。 （ ）
2、如图2线段MN被直线AB垂直平分，则ME=NE。 （ ）
3、如图3，PA=PB，则直线MN是线段AB的垂直平分线。 （ ）
五、当堂检测：
1.已知：是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，
的周长为24cm，腰长为14cm，求底边BC的长。
2.已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，，求：的度数。
3.在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线M别
交BC、AB于点M、N. 求证：CM=2BM.

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