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第二章 直线与圆的方程
2.3.4 两条平行直线间的距离
能理解两条平行直线间的距离的定义.
能利用点到直线的距离公式推导并掌握两条平行直线间的距离公式.
能理解两条平行直线间的距离公式特征，对实际问题进行应用分析，提升数学逻辑推理素养.
重点：两条平行直线间的距离公式.
难点：两条平行直线间的距离公式的应用.
（一）创设情境
前面的学习，我们用定量的方法刻画了两点间的距离、点到直线的距离，并且得到了相应的距离公式，大家还记得点到直线的距离公式吗？（学生讨论）
我们研究了两点间的距离、点到直线的距离，还可以研究什么呢？
想一想：如何求两条平行线直线间的距离呢？
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以回顾引发学生思考，对先前知识的复习，激发学生主动学习，启发学生思考要想研究两条平行线直线间的距离，首先要知道两条平行线直线间的距离的定义，以此顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究如何求两条平行直线间的距离.
说一说：两条平行直线间的距离的定义.
师生活动：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
总结：两条平行直线间的距离是指:夹在这两条平行直线间的公垂线段的长.
提示：将两条平行直线放入平面直角坐标系中，已知它们的方程，如何求它们之间的距离呢？
师生活动：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
答：在直线上任取一点（ ），求点直线的距离，即直线与直线间的距离.
思考：如图，已知两条平行直线:, :求, 的距离
师生活动：在师的引导下，师生共同总结.
答：设（ ）为直线上任意一点，则点到的距离即为，间的距离.所以，，由在上知， 所以
总结：一般地，两条平行直线:, :间的距离：
任务2：探究两条平行直线间的距离公式的结构特征.
思考：公式有什么结构特征呢？
一般地，两条平行直线:, :间的距离：
师生活动：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
答：
总结：1.公式与纵截距有关；2.平行直线间距离就是两条直线纵截距对应向量在直线垂直方向上投影向量的模长.
说一说：在使用距离公式时，对两条平行直线有什么要求呢？
答：:, :，两平行直线的方程都是一般式，且 、 的系数应分别相等.
任务3：探究特殊的直线方程是否满足两条平行线直线间的距离公式.
思考：比如平行于的两条平行直线，满足距离公式吗？
猜想：满足.
分析：
总结：1.平行于轴的两条平行直线：.
2.平行于轴的两条平行直线：
追问：对于两条平行线直线间的距离公式，我们还可以怎样去理解呢？
提示：如下图所示,谈谈你对两平行直线间距离公式的进一步理解.
师生活动：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.答：因为点的坐标为,点的坐标为故
又因为，所以,因此 .
设计意图：本节内容是在已经学过到直线的距离公式，已知两条平行直线方程的条件下，如何求得两条平行直线间的距离.通过三个任务串联，从探究如何求两条平行直线间的距离，到探究两条平行直线间的距离公式的结构特征，再到探究特殊的直线方程是否满足两条平行线直线间的距离公式，层层递进，由浅入深.在思考和启发中渗透知识的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工.以此突破本节课的重难点.
（三）应用举例
例1 已知两条平行直线，，求与间的距离.
分析：在上选取一点，例如与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到的距离，即与间的距离.
答：直线与轴的交点A的坐标为，点A到直线的距离，所以与间的距离为 .
思考：如何选取直线上的点，可使计算简单？
答：取点时取所在直线与坐标轴的交点时，由于横坐标或纵坐标均为0，可使计算简单.
总结：求两条平行直线间距离的两种方法:
1.转化法：将两条平行直线间的距离转化为一条直线上一点到另一条直线的距离，即化线线距为点线距来求.
2.公式法：设直线:, :，则两条平行直线间的距离：
例2 已知直线与直线和:的距离相等，则的方程是_____________.
答：方法一：由题意可设的方程为，于是有，即
，解得，故直线l的方程为2x－y＋1＝0.
方法二：　由题意知l必介于l1与l2中间，故设l的方程为2x－y＋c＝0，则c＝＝1，则直线l的方程为2x－y＋1＝0.
总结：由两条平行直线间的距离求参数问题，转化为两平行直线间的距离问题.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考在实际问题情境中，更好的理解和应用两条平行直线间的距离公式.
（四）课堂练习
1. 两条平行直线与之间的距离是( )
A. B. C. D.
解：由题意将两条平行直线中与的系数化为等值，可得：两条平行直线为与，由平行线间的距离公式可知．故选B．
2. 若直线：和直线：间的距离为，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
解：由平行线之间的距离公式有：，求解关于实数的方程可得：或．故选D．
3. 已知直线与平行，则与的距离为( )
A. B. C. D.
解：若直线与平行，则，解得：，
故：与：的距离是：，故选A．
4．已知直线：和直线：，下列说法正确的是( )
A. 当时，
B. 当时，
C. 直线过定点，直线过定点
D. 当，平行时，两直线的距离为
解：对于，当时，直线为，直线为，
此时两直线的斜率分别为和，
所以，所以，故 A选项正确；
对于，当时，直线为，直线为，
此时两直线重合，故B选项错误；
对于，由直线：，整理可得：，
故直线过定点，
直线：，整理可得：，
故直线过定点，故 C选项错误；
对于，当，平行时，，解得或，
当时，两直线重合，舍去；
当时，直线为，直线为，
此时两直线的距离，故 D选项正确．
故选：．
5. 求两条平行直线与间的距离
若直线与直线平行，求的值．
解：两条平行直线与间的距离．
因为直线与直线平行，
所以，
解得或
当时，不是直线的方程
当时，直线与重合
故．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固两条平行直线间的距离公式，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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