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第二章 直线和圆的方程
2.3.3点到直线的距离公式
点到直线的距离公式
1.用坐标法推导点到直线的距离公式，掌握代数运算过程，掌握公式；
2.用向量法推导点到直线的距离公式，掌握向量法分析过程和代数推导过程；
3.利用点到直线的距离公式进行计算和简单应用.
重点：掌握公式，会利用公式求解点到直线的距离，能进行简单的应用.
难点：向量法推导点到直线的距离公式.
（一）创设情境
情境：假设某地区计划修建一条从村庄到公路的便捷通道，以改善村民的出行条件. 问题是：所修的便捷通道最短应有多长？
现把该实际应用抽象为数学问题：把村庄看作一个点，把公路看作一条直线，在平面直角坐标系中，点（村庄）的坐标和直线（公路）的方程已知，求村庄到公路的最短距离，抽象为求点到直线的距离.
师生活动：教师给出实际应用，并提出问题，引导学生把实际问题转化为数学问题.
设计意图：通过生活实际应用，使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：点到直线的距离的概念
思考：如图所示，在平面直角坐标系中，给定一个点和一条直线：，如何定义点到直线的距离？
答：点到直线的距离就是从点到直线的垂线段的长度，其中是垂足.
师生活动：教师提出问题，引导学生认识点到直线的距离. 在此基础上，教师进一步提出问题，如何计算垂线段的长度？引导学生利用两点间距离公式计算垂线段长度.
设计意图：从概念入手，强化学生从基础概念进行推导获取结论的意识. 引导学生拆解问题，利用已有知识解决现有问题.
任务2：坐标法推导点到直线的距离公式
思路：求出的坐标，再利用两点间距离公式求出. 对于的坐标，根据直线与已知直线垂直，可以获得直线的斜率，进而获得直线的方程，由两条直线的方程，可以求得它们交点的坐标.
推导：设，. 由，以及直线的斜率为，可得的垂线的斜率为，因此，垂线的方程为
解方程组，得到直线与的交点坐标，即垂足为
于是，根据两点间距离公式
因此，点到直线：的距离
思考：当或时，公式是否成立？
答：当时，直线是一条平行于轴的直线，直线方程为，点到直线的距离. 代入公式，，公式成立.
同理，当时，公式成立.
思考：上述用坐标推导点到直线的距离公式的方法计算量巨大，引起复杂计算的原因是什么？如何简化运算？
答：根本原因是点的坐标太复杂，导致代入两点间距离公式后运算复杂. 如果不求点的坐标，能不能求出点到直线的距离呢？
现在设垂足的坐标为，则
思考：如何通过方程组，直接求出
答：将方程组转化为和的方程组
将①②两边分别平方后相加得
所以
所以
【公式形成】
点到直线的距离公式：在平面直角坐标系中，给定一个点和一条直线：，点到直线的距离.
注意：点到直线的距离公式应用
在使用点到直线的距离公式时，应该把直线方程化为一般式.
总结：使用坐标法推导点到直线的距离公式，从定义入手，通过求解垂足坐标，再利用两点间距离公式求解. 理解简单，但是运算量较大. 运算量主要来自两点间距离公式，可以利用设而不求的方法简化运算. 设而不求的总体思路是把点到直线的距离用一个含有所设未知数的式子表达出来，进而得到整个式子的结果，而不是式子中具体未知数的结果. 这就是设而不求的原因.
师生活动：教师提出问题，引导学生从定义入手，推导点到直线的距离公式，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解，包括直线平行于坐标轴的情况是否需要单独考虑、引起巨大计算量的原因和规避的方法. 引入设而不求这一重要思想. 同时提醒学生注意计算量的训练，较大的计算量的背后可能化简为较简单的表达式.
设计意图：逐步引导，推导公式前理清思路，推导公式中攻坚克难不惧怕计算量，推导公式后总结设而不求.
任务3：向量法推导点到直线的距离公式
思考：我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求解点到直线的距离呢？在第一章，在空间中求解点到直线的距离和点到平面的距离都用到了投影向量，平面上是不是也可以用呢？
答：如图所示，点到直线的距离，就是向量的模. 设点是直线上任意一点，是与直线方向向量垂直的单位向量，则是在上的投影向量，.
师生活动：引导学生利用向量工具处理距离问题，回忆第一章利用向量处理空间中的角度和距离问题.
思考：如何利用直线的方程得到与直线方向向量垂直的单位向量？
答： 方法一：设是直线：上任意两点，则是直线的方向向量，把和两式相减，得由平面向量的数量积运算可知，向量与向量垂直，向量就是与直线方向向量垂直的一个单位向量. 取.
方法二：直线的斜率为，则的斜率为，所以直线的方向向量是，即向量是与直线方向向量垂直的向量，进而得到单位向量.
推导：
因此
思考：在图中，的方向与的方向相同，有，如果的方向与的方向相反，还有吗？
答：的方向与的方向相同，则，从而；如果的方向与的方向相反，那么，从而.
师生活动：教师提出可能的疑点并引导学生分情况讨论.
思考：坐标法和向量法推导点到直线的距离公式有什么区别，各有什么优缺点？
答：
推导方法 步骤 优点 缺点
坐标法 得到垂线方程 得到交点（垂足）坐标 利用两点间距离公式求解 容易理解 计算量大（降低计算量的方法，设而不求）
向量法 得到表达式 求出 求出 求出 引入向量工具减少计算量 较坐标法难理解
设计意图：为了让学生复习两种推导方法，回顾所学，把两种方法进行对比，加深理解.
（三）应用举例
例1：求点到直线的距离.
解：将直线的方程写成，再利用点到直线的距离公式求解.
点到直线的距离
例2：求原点到下列直线的距离：
(1)：； ：．
解：(1)根据点到直线的距离公式故答案为．
(2)原点到直线的距离．因为直线经过坐标原点，所以距离为．
例3：已知的三个顶点分别是求的面积.
解：如图所示，由三角形的面积公式可知，只需要求出的长和边上的高即可.
设边上的高为，则.
边上的高为就是点到直线的距离.
直线的方程为，化为一般式为.
点到直线所在直线：的距离为：.
因此，.
例4：已知直线经过两条直线和的交点，且与直线平行．
1求直线的方程；
2求点到直线的距离．
解：1联立，解得其交点坐标为．
因为直线与直线平行，
所以直线的斜率为．
所以直线的方程为，即．
2由1知直线的方程为，
点到直线的距离为．
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
解：点 到直线方程为：的距离为：．
故选：.
2.点到直线距离的最大值为( ).
A. B. C. D.
解：因为直线方程可化为，
由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：，
因为要求距离的最大值，故需；
所以，
当且仅当，即取等号，
所以，
所以点到直线距离的最大值为
故选C．
3.经过点，且与原点的距离等于的直线的一般式方程为 ．
解：当直线斜率不存在时，方程为，满足到原点的距离为；
当直线斜率存在时，设方程为，即，
由点到直线的距离公式可得，解之可得，
故方程为，化为一般式可得．
故答案为：或．
4.已知顶点，边上的高所在直线方程为，边上的中线所在的直线方程为．
求直线的方程
求顶点的坐标与的面积．
解： ，，，方程为：，即；
联立解得，即，
设，则，，，
，点到直线的距离为，且，
的面积为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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