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第二章 直线和圆的方程
2.4.1圆的标准方程
1.掌握圆的几何要素，学会用定义推导圆的标准方程，培养学生逻辑推理和数学运算的核心素养；
2.学会用待定系数法和几何法求圆的标准方程，加深学生对数形结合思想的理解，提高学生用坐标系解决几何问题的能力；
3.掌握判断点和圆位置关系的方法，并能用点和圆的位置关系解决具体的问题.
重点：用定义推导圆的标准方程，判断点与圆的位置关系．
难点：利用所给已知条件推导圆的标准方程．
（一）创设情景
月亮，是中国人心目中的宇宙精灵，古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮，在文学作品中也有大量描写：
《古朗月行》 唐 李白
小时不识月，呼作白玉盘。又疑瑶台镜，飞在青云端。
如果把天空看作一个平面，月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系，那么圆的坐标方程如何表示？
设计意图：举生活中的实际物体，抽象出平面几何图象——圆，让学生从生活中去发现数学，培养学生的学习兴趣.
（二）探究新知
任务1：探究圆的标准方程.
思考：(1)在初中，我们学习了圆.那么，圆是如何定义的呢？在平面中，确定一个圆的几何要素是什么？
(2)回顾如何建立直线方程？能否类比直线方程的建立过程建立圆的方程？
答：(1)根据圆的定义，圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合(或轨迹)，其中定点是圆心，定长是半径.在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了.所以，确定一个圆的几何要素有圆心和半径.
(2)由直线几何要素逻辑递推出直线方程，类比直线方程的建立过程，也可以由圆的几何要素逻辑递推出圆的方程.
直线方程的建立：
圆的方程的建立：
探究：如图，在平面直角坐标系中，设的圆心的坐标为，半径为，你能推导出该圆的标准方程吗？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：设为圆上任意一点，就是以下点的集合
根据两点间的距离公式，点的坐标满足的条件可以表示为
两边平方，得
由此，若点在上，点的坐标就满足该方程；反过来，若点的坐标满足该方程，就说明点与圆心间的距离为，点就在上.这时，我们把该方程称为圆心坐标为，半径为的圆的标准方程.
特别地：圆心在坐标原点即时，圆的方程为；
圆心在坐标原点即且半径为1时，圆的方程为，称为单位圆.
设计意图：通过生活中的具体实例，让学生领会指数增长和指数衰减模型，培养学生的学习兴趣.
任务2：探究点与圆的位置关系.
探究：点，，与圆的关系如图所示，则，，与圆的半径大小关系？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
提示：→点在圆内
→点在圆外
→点在圆上
探究：点和圆在圆内的条件是什么？在圆外的条件是什么？
答：在圆内 ，在圆外
推广：点和圆，
点点在圆内、在圆外、在圆上的条件分别是什么？
在圆内
在圆外
在圆上
设计意图：通过具体的例子，让学生分析认识点与直线的位置关系.
（三）应用举例
例1 求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点和是否在这个圆上．
解：圆心为，半径为5的圆的标准方程是
把点的坐标代入方程的左边，得，所以点在这个圆上.
把点的坐标代入方程的左边，得，所以点不在这个圆.
【总结】
1.已知圆的圆心坐标和半径写圆的方程
第1步 准备圆心坐标和半径
第2步 将圆心坐标和半径的值代入圆的标准方程即可
注意：左边是平方的样子，不需要去括号，右边半径的平方计算出结果
2.如何判断点是否在圆上？
将点的坐标代入圆的标准方程，满足方程则在圆上，反之，不在圆上
例2 的三个顶点分别是，，，求的外接圆的标准方程．
解：设所求的方程是
因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程．
于是
即
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去，，，
得到关于，的二元一次方程组
解此方程组，得
代入，得．
所以，的外接圆的标准方程是．
【总结】待定系数法求圆的标准方程：
第1步 设：设所求圆的标准方程为
第2步 列：由已知条件，建立关于，，的方程组
第3步 解：解方程，求出，，
第4步 代：将，，代入所设方程，得所求圆的方程
例3 已知圆心为的圆经过，两点，且圆心在直线上，求此圆的标准方程．
解法设圆心的坐标为因为圆心在直线上，
所以
因为，是圆上两点，所以．
根据两点间距离公式，有
，
即
由可得，所以圆心的坐标是．
圆的半径．
所以，所求圆的标准方程是．
解法如下图
设线段的中点为由，两点的坐标为，，
可得点的坐标为，
直线的斜率为．
因此，线段的垂直平分线的方程是，
即．
由垂径定理可知，圆心也在线段的垂直平分线上，
所以它的坐标是方程组的解．
解这个方程组，得
所以圆心的坐标是．
圆的半径．
所以，所求圆的标准方程是．
【总结】几何法求圆的标准方程：
第1步 设：设所求圆的标准方程为
第2步 求：它是利用图形的几何性质，如图的性质等，直接求出圆的圆心和半径
第3步 代：将圆心坐标和半径代入所设方程，得所求圆的方程
例4 已知圆的标准方程为．
若点在圆上，求半径的值
若点与点一点在圆内，另一点在圆外，求的取值范围．
解：点在圆上，
，
解得．
该圆的圆心为，
，
，且，
的取值范围是
设计意图：通过例题，熟悉圆的标准方程和点与圆的位置关系，提高学生学以致用的能力．
（四）课堂练习
1.已知圆的标准方程为，则此圆的圆心及半径分别为( )
A. B.
C. D.
解：由标准方程可得：圆的圆心为，半径为，
故选：．
2.圆心为，半径为的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
解：因为圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程为．
故选：．
3.设，，则以线段为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
解：由题知线段中点为，，
所以，以线段为直径的圆的圆心为，半径为，其方程为．
故选：．
4.已知圆经过点，且圆心在直线上，则圆的面积为( )
A. B. C. D.
解：由圆经过点和，
可知圆心在直线上，
又圆心在直线上，
所以的坐标为，
半径，
所以圆的面积为．
故选：．
5.已知点和圆的方程，则它们的位置关系是( )
A. 在圆心 B. 在圆上 C. 在圆内 D. 在圆外
解：因为，
所以点在圆外．
故选D．
6.已知圆过、两点，且圆心在直线上．
求圆的方程；
判断点与圆的位置关系．
解：圆心在直线上，
设圆心坐标为，
则，
即，
即，
解得，即圆心为，
半径，
则圆的标准方程为．
，
点在圆的外．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固圆的标准方程和点与圆的位置关系，加深理解，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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