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第二章 直线和圆的方程
2.4.2圆的一般方程
1.理解圆的一般方程及其特点，发展数学抽象和数学建模的核心素养；
2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化。发展逻辑推理，直观想象、数学运算的核心素养；
3.会求圆的一般方程以及与圆有关的简单的轨迹方程问题．提升数形结合及方程思想，发展逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养；
重点：掌握圆的一般方程及其特点并会求圆的一般方程．
难点：与圆有关的简单的轨迹方程问题．
（一）创设情境
我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个一般的二元二次方程:
Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A,C,D,E,F为常数)
提问：你能说出一个它分别表示：①直线;②圆;③y关于x的二次函数的必要条件吗
师生活动：教师展示本节课要学习的知识点让学生有第一印象，从而与之前所学知识产生一定的联系，之后提出问题，引导学生思考如何将其转化.
设计意图：通过复习引导，结合前面所学知识引出本节数学知识，学生会感到熟悉而又易于接受. 同时，能使他们体会数学的整体性和关联性，有效的促进知识的迁移,为接下来的学习打下铺垫.
（二）探究新知
任务1：圆的一般方程
思考1：类比直线方程的研究过程，说说该如何研究圆的方程？
猜想：圆的方程是否也有一般式？
说一说：说出圆 (x－1)2 + (y+2)2 = 4的圆心坐标、半径并展开该方程
答：圆心坐标为(1,-2)；半径为2；
圆的标准方程展开式为：x2 + y2 – 2x + 4y + 1 = 0.
设计意图：明确研究内容和研究思路，将圆的标准方程进行拓展，引导学生研究其中最基本的关系，明晰联系，探究圆的标准方程到一般方程的转变.
思考2：.若展开圆的标准方程 (x – a)2 + (y – b)2 = r2 可以得到什么？
(x – a)2 + (y – b)2 = r2 展开得： x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – r2 = 0，
由于 a，b，r 均为常数，可令 – 2a = D，– 2b = E， a2 + b2 – r2 = F
总结：任何一个圆的方程都可以写成：x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的形式.
设计意图：引导学生认识圆的一般方程与一般形式的二元二次方程之间的关系.
思考3：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程一定能通过恒等变形为圆的标准方程吗？
反例：x2 + y2 – 2x – 4y + 6 = 0 变形为： (x – 1)2 + (y – 2)2 = – 1；
因为任意一个点的坐标 (x，y) 都不满足上述方程，即这个方程不表示任何图形；所以形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 的方程不一定通过恒等变形变为圆的标准方程.
总结：形如 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 方程不一定是圆的方程.
设计意图：通过思考探究，让学生深刻、形象地掌握向量表示两条直线的垂直关系，同时也潜意识地培养学生数学抽象、直观想象的核心素养.
思考4：方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 中的 D、 E、 F 满足什么条件时，这个方程表示圆？
将方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 配方得：
（1）当D2 + E2 – 4F > 0时，表示以 (，) 为圆心，为半径的圆；
（2）当D2 + E2 – 4F = 0时，只有实数解 x = ，y = ，它表示一个点 (，)；
（3）当D2 + E2 – 4F < 0时，没有实数解，它不表示任何图形.
设计意图：由特殊到一般，引导学生思考，总结，从而自然引出方法，得到结论，培养学生的逻辑思维能力，类比迁移能力；再由一般到特殊，检验学生的掌握情况和应用水平.
总结：当 D2 + E2 – 4F > 0 时，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示一个圆.
概念：圆的一般方程为x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0（D2 + E2 – 4F > 0）
（1） x2 与 y2 系数相同并且不等于 0；
（2）圆心：(，)，半径：.
各抒己见：圆的标准方程与一般方程各有什么特点？
回答：圆的标准方程与圆的一般方程的特点
设计意图：通过对圆的一般方程的讨论，帮助学生总结圆的一般方程的特点。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
设计意图：培养学生的独立思考能力，总结归纳的能力.通过归纳总结使学生明白两个方程的区别并促进学生思考在不同的情境下使用不同的方程.
任务2：圆的一般方程的简单应用
例1：判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 若能表示圆，求
出圆心和半径.
分析：判断方程 x2 + y2 – 4mx + 2my + 20m – 20 = 0 能否表示圆. 若能表示圆，求出圆心和半径.
解：方法一 (– 4m)2 + (2m)2 – 4(20m – 20) = 16m2 + 4m2 – 80m + 80= 20(m – 2)2
分类讨论：当 m = 2 时，它表示一个点
当 m ≠ 2 时，原方程表示一个圆
此时，圆的圆心为 (2m，– m)，半径为 r = |m – 2|.
方法二 原方程可化为(x – 2m)2 + (y + m)2 = 5(m – 2)2
分类讨论：当 m = 2 时，它表示一个点
当 m ≠ 2 时，原方程表示一个圆
此时，圆的圆心为 (2m，– m)，半径为 r = |m – 2|.
总结：二元二次方程表示圆的两种判断方法
（1）计算 D2 + E2 – 4F 的值：
① 若其值为正，则表示圆；
② 若其值为0，则表示一个点；
③ 若其值为负，则不表示任何图形；
（2）将该方程配方为 (x + )2 + (y + )2 = ，根据圆的标准方程来判断.
设计意图：通过对比两种解题方法，加深学生思考，优化解题步骤，培养学生良好的数学思维习惯和反思总结的能力
例2：求过三点 O (0，0)，M1 (1，1)，M2 (4，2) 的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ①，因为三点都在圆上
所以将三点分别代入方程得：，解得
所以，所求圆的方程为 x2 + y2 – 8x + 6y = 0
圆心为 (4，– 3)，半径为 r = = 5.
思考：与课本例2的方法比较，你有什么体会？
总结：待定系数法求圆的方程
（1）根据题意，选择标准方程或一般方程；
（2）根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组；
（3）解出 a，b，r 或 D，E，F 得到标准方程或一般方程.
注意：① 若知道或涉及圆心和半径，一般采用圆的标准方程较简单；
② 若已知三点求圆的方程，常常采用圆的一般方程用待定系数法求解
例3：已知线段 AB 的端点 B 的坐标是 (4，3)，端点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4 上运动，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程.
提示：①轨迹：点在运动变化过程中形成的图形；
解析几何中，常把图形看作点的轨迹 (集合)；
②M 的轨迹方程：点M 的坐标 (x，y) 满足的关系式.
分析：点 A 的运动引起点 M 运动，而点 A 在已知圆上运动，即点 A 的坐标满足圆的方程 (x + 1)2 + y2 = 4；建立点 M 与点 A 坐标之间的关系，就可以建立点 M 的坐标满足的条件，从而求出点 M 的轨迹方程.
解：设点 M 的坐标为 (x，y)，点 A 的坐标是 (x0，y0)又点 B 坐标为 (4，3)，
M 线段 AB 的中点
所以 x= ，y= ，
即：x0 = 2x – 4，y0 = 2y – 3 ①
因为点 A 在圆 (x + 1)2 + y2 = 4上运动，
所以点A的坐标满足圆的方程，
即 (x0 + 1)2 + y02 = 4 ②，
将 ① 代入 ② 中得：
(2x – 4 + 1)2 + (2y – 3)2 = 4，即 (x – )2 + (y – )2 = 1.
上述方程即是点 M 的轨迹方程，它表示以 (，) 为圆心，半径为1的圆.
设计意图：通过与圆相关的轨迹问题的解决，提升学生数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
总结：（1）设动点坐标为 (x,y ) (求谁设谁)；
（2）用动点坐标把相关点的坐标表示出来；
（3）把相关点的坐标代入已知的轨迹方程；
（4）整理化简，得到动点的轨迹方程.
设计意图：通过分析解题思路，给出解答示范，提升学生推理论证的能力，提高学生的数学运算及逻辑推理的核心素养.
课堂练习
1.圆的圆心和半径分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.与圆同圆心，且过的圆的方程是( )
A. B.
C. D.
3.若方程表示一个圆，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.圆关于直线对称的圆的方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆的方程为，那么通过圆心的一条直线方程是( )
A. B. C. D.
6.圆心在轴上，且过点的圆与轴相切，则该圆的方程是( )
A. B.
C. D.
7.当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心，半径为的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
8.方程与表示的曲线是( )
A. 都表示一条直线和一个圆 B. 都表示两个点
C. 前者是两个点，后者是一直线和一个圆 D. 前者是一条直线和一个圆，后者是两个点
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。

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