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第二章 直线和圆的方程
2.5.1直线与圆的位置关系
1.理解直线和圆的三种位置关系，能准确描述每种关系的特征.
2.掌握判定直线与圆的位置关系的方法.
3.计算直线与圆相交的弦长、直线与圆相切的切线方程等.
重点: 掌握判定直线与圆的位置关系的方法.
难点：计算直线与圆相交的弦长、直线与圆相切的切线方程等.
（一）创设情境
王维的诗句“大漠孤烟直，长河落日圆”描述了沙漠中太阳下山的景象，现把太阳抽象为一个圆，沙漠地平线抽象为一条直线，以下三幅图是太阳下山过程中捕捉到的三个场景，体现了直线与圆的三种位置关系.
师生活动：教师给出日落图，并引导学生从图像中获取有用信息，为了突出直线与圆的位置关系主题，教师强调三幅图中太阳与地平线逐渐靠近的过程中，两者的位置关系.
设计意图：使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：直线与圆的三种位置关系.
回顾：我们在初中学习过，直线与圆有三种位置关系，分别是相交、相切、相离.
相交：直线与圆有两个公共点
相切：直线与圆与一个公共点
相离：直线与圆没有公共点
师生活动：教师引导学生回顾初中内容.
设计意图：通过引导回顾初中内容，引出直线与圆的位置关系的判断.
任务2：判断直线与圆的位置关系
思考：如何判断直线与圆的位置关系？
先独立思考，再小组合作探究.
答：通过圆心到直线的距离与半径的大小比较.
直线，圆，圆心，半径. 直线到圆心的距离. 与比较，若，直线与圆相交；若，直线与圆相切；若，直线与圆相离.
注意：几何法一般把圆化为标准方程，获得圆心和半径.
思考：类比用方程研究两直线的位置关系，如何用直线与圆的方程研究它们的位置关系呢？
答：代数法. 联立直线与圆的方程，把直线方程代入圆的方程，得到一个一元二次方程，通过判定一元二次方程解的个数，得到直线与圆有几个交点. 若有两个交点，则直线与圆相交；若只有一个交点，则直线与圆相切；若没有交点，则直线与圆相离.
以下为两个方程联立：
注意：在实际操作中，我们一般不需要解出二次方程的解，关注判别式即可.
总结：
几何法判断直线与圆的位置关系：计算圆心与直线之间的距离，判断该距离与半径的关系，得出结论.
代数法判断直线与圆的位置关系：联立直线与圆的方程，消元得到一元二次方程，计算判别式，判断判别式的符号，得出结论.
师生活动：教师带领学生思考如何判断直线与圆的位置关系，并给出例题，在学生思考作答后讲解.
设计意图：让学生思考，归纳总结判断直线与圆的位置关系的两种方法，后做题巩固.
任务3：直线与圆相交弦长.
探究：如图所示，圆与直线相交于两点，求.
几何法：根据垂径定理与勾股定理，有，则.
圆心到直线的距离通过点到直线的距离公式获得.
代数法：联立直线与圆的方程，获得两组解，即点的坐标，再通过两点间距离公式求得.
任务4：直线与圆相切.
思考：过平面内一点，作已知圆的切线，有几条？
合作探究：先独立思考，再交流思路.
答：点在圆上，一条；点在圆外，两条；点在圆内，0条.
探究：过圆上一点，作已知圆的切线，求切线方程.
先求出切点与圆心连线的斜率，再求出切线的斜率，根据点斜式写出切线方程.
若切点与圆心连线的斜率为0或者不存在，作相应处理即可.
探究：过圆外一点，作已知圆的切线，求切线方程.
下面讨论两条切线斜率都有存在的情况：
设切线斜率为，点则切线方程为.
通过圆心到直线的距离等于半径或者与圆的方程联立后得到的二次方程判别式为，求出，进而求出切线方程.
思考：若有一条切线斜率不存在，该怎么处理？
答：设切线为一条垂直于轴的直线，很容易求出切线方程. 这里的解答过程需要注意分类讨论.
总结：求解过圆外一点的切线方程的一般步骤.
分类讨论：当切线斜率不存在时，求出一条切线或不存在这样的切线；当切线斜率存在时，求出一条切线或两条切线.
应用举例
例1：判断下列各组直线与圆的位置关系：
：， 圆：；
：， 圆：；
：， 圆：．
解：圆：的圆心坐标为，半径，
圆心到直线的距离，直线与圆相交；
圆：即，圆心，半径，
圆心到直线的距离，直线与圆相切；
：即，圆心，半径，
圆心到直线的距离，直线与圆相离．
总结：几何法判断直线与圆的位置关系，先把圆化为标准方程，获得圆的圆心和半径，再通过点到直线距离公式计算圆心到直线的距离，比较圆心到直线的距离与半径的大小.
通常选用几何法判断直线与圆的位置关系.
例2：已知直线和圆心为的圆，判断直线与圆的位置关系.如果相交，求直线被圆所截得的弦长.
解：几何法：圆的方程化为标准方程. 圆心，半径. 圆心到直线的距离为 所以直线与圆相交.于是
代数法：联立直线与圆的方程：，消去得，解得. 所以直线与圆相交.
进而求得. 从而 于是
例3：过点作圆的切线，求切线的方程.
解：法一：设切线的斜率为，则切线即.
圆心到切线的距离等于圆的半径.
，解得或.
所以切线的方程是或
法二：设切线的斜率为，则切线而后通过联立方程求解即可.
例4：圆的方程为，求过点且与圆相切的直线方程．
解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
由到直线的距离，直线与圆相切，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
若直线与圆相切，则有，解得，
此时直线的方程为，即；
故切线的方程为或．
例5：如图是某圆拱形桥一孔圆拱示意图，圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每间隔4m需要用一根支柱，求支柱A2P2的高度(精确到0.01m)
解：建系如图，点P,B的坐标分别为(0,4),(10,0)
设圆心坐标(0,b)，半径为r，圆的方程为x2+(y b)2=r2
代入P,B两点的坐标，解得b= 10.5,r2=14.52
圆的方程为x2+(y+10.5)2=14.52
把P2点的横坐标x= 2代入圆的方程，得到y≈3.86
所以支柱A2P2的高度为3.86m.
例6：一个小岛周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内. 已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处. 如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：建系如图，取10km为单位长度，港口坐标(0,3)，轮船坐标(4,0)
受暗礁影响的圆形区域的边缘对应的圆的方程为x2+y2=4
轮船航线所在直线l的方程为3x+4y 12=0
联立直线l与圆O的方程，消去y，得25x2 72x+80=0
判别式 <0，可知方程组无解，直线l与圆O相离，因此没有触礁风险.
设计意图：巩固知识，强化理解.
课堂练习
1.由点向圆引的切线长是( )
A. B. C. D.
解：圆 ，即圆，
则该圆的圆心为，半径，
点到圆心的距离为，
所以点向圆引的切线长是．
故选：．
2.设直线与圆：相交于，两点，若，则圆的面积为 ．
解：圆：的圆心坐标为，半径为，
直线与圆：相交于，两点，且，
而圆心到直线的距离，
，
解得：，
故圆的半径，
所以圆的面积，
故答案为：．
3.在同一坐标系中，直线与圆的图形情况可能是( )
A. B.
C. D.
解：联立，可得，解得，当，则方程组无解，即直线与圆无交点，故BC错误
又化为标准方程为，其圆心为，半径为由选项可得，将化为斜截式可得对于，圆心在第一象限，
则，解得，由原点在圆外，可得，故
由直线方程可得，矛盾，故A错误
对于，圆心在第二象限，则，解得，，
由原点在圆外，可得，故，由直线方程可得，故D正确．
故选：．
4.是圆上的动点，则点到直线的距离最大值为( )
A. B. C. D.
解：由题可知圆心的坐标为，半径为，直线恒过定点．
故圆心到直线的最大距离为，
圆上的动点到直线的最大距离为．
故选D．
5.当直线：被圆：截得的弦长最短时，实数 ．
解：
将直线：，化为，
令，解得，所以直线过定点，
又圆的标准方程为，则圆心为，
由，则点在圆内，
故当时，圆心到直线的距离取得最大值，此时直线被圆截得的弦长最短，
则，解得．
故答案为：．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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