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第二章 直线和圆的方程
2.5.2圆与圆的位置关系
1.理解圆与圆的位置关系，掌握对圆与圆的位置关系进行判断的两种方法培养学生应用数形结合思想解决问题的意识，提升数学素养.
2.类比直线与圆研究位置关系的方法，探究用方程判断两圆位置关系的方法.让学生经历类比探究的过程，提升学生知识迁移能力.
3.掌握用坐标法求动点的轨迹的基本方法,并应用轨迹思想解决综合问题提升学生解决较复杂问题的能力.
重点：圆与圆的位置关系及判定方法.
难点：掌握圆与圆的位置关系的代数判断方法与几何判断方法，能够利用上述方法判断两圆的位置关系．
（一）创设情境
回顾：直线和圆的位置关系有哪些？如何判断直线与圆的位置关系？
直线与圆的位置关系有相离、相切、相交三种；可以利用几何法、代数法两种方法来进行判断.
设计意图：通过复习回顾，不仅唤醒学生对直线与圆的位置关系的记忆，能够快速进入状态，同时检测学生对前面知识的掌握情况，而且为后面圆与圆位置关系的探究做好铺垫。
情境：日食分为日偏食、日全食、日环食、全环食。我们将月亮与太阳抽象为圆，观察到的这些圆在变化的过程中位置关系是怎样的
师生活动：教师课件展示日食图片，引导学生思考圆与圆的位置关系到底是怎样的？
设计意图：通过生活中的例子，体会圆与圆的位置关系其实就在身边，需要留心观察就可以发现。同时，激发学生的学习兴趣，为引出本节课的教学作出铺垫。
（二）探究新知
任务1：探究圆与圆的位置关系
探究：在平面中，圆与圆的位置关系有哪些？
要求：
1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
师生活动：学生思考并讨论，小组代表发言；教师动画演示，总结圆与圆的位置关系.
总结：
设计意图：通过图形直观判断两圆之间存在的位置关系，并思考求解位置关系的方法。
任务2：判断圆与圆的位置关系的方法
探究：类比直线与圆位置关系的判定方法，如何判断圆与圆的位置关系？
要求：
1.小组内交流讨论；
2.以小组为单位进行展示汇报；
3.师生共同归纳.
师生活动：小组交流讨论，合作学习，归纳判断圆与圆的位置关系的方法。
总结：判断圆与圆的位置关系的方法
(1)几何法：
圆O1：，圆O2：，
两圆的圆心距，则有
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图示
d与r1，r2 的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| d＜|r1－r2|
(2)代数法：圆O1：，圆O2：，两圆的方程联立得方程组，则有
方程组解的情况 2组 1组 0组
两圆的公共点 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含
设计意图：教师引导学生回顾学过的知识、举例,概括，通过观察图形、观察公共点个数或利用圆心距与两圆半径的和与差之间的关系判断.
思考：
1.当两圆外离、外切、相交、内切、内含时,公切线的条数分别是多少
答： 公切线的条数分别是4,3,2,1,0.
2.当两圆相交、外切、内切时,连心线有什么性质
答： 当两圆相交时,连心线垂直平分公共弦;当两圆外切时,连心线垂直于过两圆公共点的公切线;当两圆内切时,连心线垂直于两圆的公切线.
（三）应用举例
例1 设圆：,圆:,使判断圆与圆之间的关系.
分析：
思路1：圆与圆的位置关系由它们有几个公共点确定，而它们有几个公共点又由它们的方程所组成的方程组有几组实数解确定；
思路2：借助图形，可以依据圆心距与两半径的和或两半径的差的绝对值的大小关系，判断两圆的位置关系.
解法1:将圆与圆的方程联立，得到方程组
①—②得 ③
∴,
把上式代入①，整理后得
∵根据根的判别式
Δ=
∴方程有两个不相等的实数根，分别代入方程，可得。
∴圆与圆相交，有两个不相同的公共点A,B。
解法2：把两圆的方程化为标准方程，
圆:=25，
圆:=10，
∴圆的圆心是，半径长=5
圆的圆心是，半径长=，
两圆心之间的距离
=5，=5，
∵5
即
∴圆与圆相交。
【总结】判断圆与圆的位置关系的两种方法：
1.几何法：利用两圆半径的和或差与圆心距作比较,得到两圆的位置关系；
2.代数法：把两圆位置关系的判定完全转化为代数问题,转化为方程组的解的组数问题.
设计意图：通过例题将知识点融入题目，巩固知识。用例题更直观地比较两种求解方法，训练学生数形结合的思想。
思考：画出本例中两圆及解法1中的③的图象，你会发现什么？
【总结】当两圆相交时，两圆方程相减，所得二元一次方程是两圆公共弦所在直线的方程。
设计意图：引导学生对于中间过程中产生的代数结论，进行进一步思考，发掘其几何含义.看似代数运算的中间表达，但其仍具有几何意义，提醒学生在得到代数结论时，向它所表达的几何元素这个方向上进行思考.那么结合图像，可知，求得的直线方程表示的直线，就是两圆公共弦所在直线.
例2 已知圆和圆C2：.求两圆公共弦所在直线的方程及公共弦长.
分析: 两圆方程相减求出公共弦所在直线方程,再根据半径、弦心距、半弦长的关系求出弦长.
解：设两圆交点为，
则两点坐标是方程组 的解．
①－②，得0.
两点坐标都满足此方程，
即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆的圆心，
到直线的距离为，
，
即两圆的公共弦长为.
求公共弦长的另一种解法：
解方程组得或,
即,
.
即两圆的公共弦长为.
【总结】公共弦问题的解决方法：
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法:将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线方程,但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时,才能如此求解,否则应先调整系数.
(2)求两圆公共弦长的方法:一是联立两圆方程求出交点坐标,再用距离公式求解;二是先求出两圆公共弦所在的直线方程,再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解.
例3 圆：,圆:恰有三条公切线，求实数a的值.
解： 圆的标准方程为,
∵两圆有三条公切线，
∴=,
解得.
∴实数a的值是16.
【总结】
(1)与两个圆都相切的直线叫作两圆的公切线，两圆的公切线包括外公切线和内公切线两种.
①两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条;
②两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条;
③两圆相交时，只有2条外公切线;
④两圆内切时，只有1条外公切线;
⑤两圆内含时，无公切线.
(2)确定公切线的条数，应首先判断两圆的位置关系，从而防止漏解.
例4 已知圆O的直径AB=4,动点M与动点A的距离是它与点B的距离的倍，试探究点M的轨迹，并判断该轨迹与圆O的位置关系.
追问：什么是轨迹？
举例：平面内动点M到点C的距离等于，点M的轨迹是什么图形？
以点C为圆心,为半径的圆.
轨迹就是一个几何图形，是满足一定条件的点，常常把图形看成点的集合或点运动形成的轨迹. 所以求轨迹，就是求一个几何图形.求轨迹的方程就是求几何图形的方程。
分析：我们可以通过建立适当的平面直角坐标系，求得满足条件的动点M的轨迹方程，从而得到点M的轨迹;通过研究它的轨迹方程与圆O方程的关系，判断这个轨迹与圆O的位置关系。
解：以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系.由AB=4,得A(-2,0),B(2,0).设点M的坐标为(x,y)
,
化简，得，即
点M的轨迹是以P(6,0)为圆心，半径为的圆.
两圆圆心距,圆与圆半径和 ，
圆与圆半径差，
,
点M的轨迹与圆O相交.
【总结】
把几何问题求轨迹转化成代数问题求轨迹方程，再通过轨迹方程的代数特征回归到它是什么轨迹这个问题的结论中，这就是利用坐标法解决轨迹问题的基本步骤.
坐标法求轨迹方程的步骤：建、设、限、代、化、检。
设计意图：通过例题，熟悉圆与圆的位置关系及其判定方法，并强化数学运算的核心素养．
（四）课堂练习
1.已知圆的方程为，圆的圆心的坐标为，若两圆相交于，两点，且，则圆的方程为( )
A.
B.
C. 或
D. 或
解：由题意可设圆的方程为，
因为圆的方程为，所以圆的圆心为，半径为，
两式相减得直线的方程为，则圆心到直线的距离，
所以，即，
解得或，
故圆的方程为或．
故选：．
2.已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解：圆，即，其圆心，半径，
圆，即，其圆心，半径，
取线段的中点，连接，
则，
将圆与圆的方程作差可得公共弦的方程为，
则，
则，
所以．
故选：．
3.已知圆与圆，则下列说法正确的有( )
A. 若，则两圆外切
B. 若，直线为两圆的公切线
C. 若，则两圆的公共弦所在直线方程为
D. 若，则两圆外离
解：圆的圆心半径为，
圆的圆心，半径为，
选项，当时，，
所以两圆外切，故A正确；
选项，当时，直线与圆和圆均相切，
所以直线为两圆的公切线，故B正确；
选项，当时，圆的方程为，
圆的一般方程为：，
两圆方程相减，得，故C错误；
选项，当时，则，
此时，
所以两圆外离，故D正确．
故选：．
4.在平面直角坐标系中，为坐标原点，点，动点满足，若动点在圆：，则的取值范围为 ．
解：设 ，因为动点 满足 ，
所以 ，
化简得 ，即
若动点 在圆 上，
就是圆 与圆 有公共点，
所以 ，解得 ，
故答案为： ．
5.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足设点的轨迹为．
求曲线的方程；
若曲线和：无公共点，求的取值范围．
解：根据题意，设点，则由，
得，
化简可得，；
若曲线和没有公共点，两圆位置关系可以是外离或内含，
又：，圆心为，半径为，
当两圆外离时，两圆圆心距，
此时，且，
，解得，故，
当两圆内含时，两圆圆心距，
此时，，
综上所述，．
6.已知线段的端点的坐标是，端点在圆：上运动．
求线段的中点的轨迹的方程；
设圆与曲线交于，两点，求线段的长；
若点在曲线上运动，点在轴上运动，求的最小值．
解：设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，且点是线段的中点，
所以，．
于是有，
因为点在圆：上运动，
所以点的坐标满足方程，
即
把代入，得，
整理，得，
所以点的轨迹的方程为．
圆：与圆：的方程相减，得．
由圆：的圆心为，半径，且到直线的距离，
则公共弦长．
圆的圆心为，半径，
圆的圆心为，半径，
所以
当且仅当在线段上且在线段上时，取等号．
取关于轴的对称点，
当点为直线与轴的交点时，取得最小值，且，
所以的最小值为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固圆与圆的位置关系，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
1.研究两圆的位置关系的方法有哪些呢
2.两圆相交时，如何求公共弦所在的直线的方程和公共弦长呢
两个圆的方程相减就得到公共弦所在的直线方程；
通过联立弦所在直线的方程与圆的方程，求出交点坐标就可以求得公共弦长.

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