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第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1椭圆及其标准方程 共2课时
第1课时 椭圆及其标准方程
1.了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2.经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义；
3.了解椭圆的标准方程的推导过程，并渗透数形结合、等价转换的数学思想方法；
4.掌握椭圆的标准方程的两种形式，会运用待定系数法求椭圆的标准方程；
5.通过参与课堂活动，激发学习数学的兴趣，提高审美情趣，培养勇于探索的精神.
重点：椭圆的定义及其标准方程.
难点：椭圆标准方程的推导.
创设情境
情境一：某天文台对海尔-波普彗星进行了长期的观测，经天文学家计算，我们得知从1997年2月中旬起，海尔-波普彗星将逐渐接近地球，4月过后又将渐渐离去，并且大约两千多年后，它将再次光临地球上空.天文学家是根据什么得出这样的结论呢 原来，海尔-波普彗星的运行轨道是一个椭圆，通过推算它的运行轨道的方程，算出它的运行周期及轨道的周长，即可得出这一结论.可见只要你留心，就能发现椭圆离我们的生活并不遥远.那么在数学方面，我们应学习和掌握椭圆的哪些内容呢
设计意图：通过生活中的实例，激发学生探求问题的兴趣，引入课题.
情境二：用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.如果改变圆锥的轴与截平面所成的角，那么会得到怎样的曲线呢
答：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、抛物线和双曲线.我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
设计意图：通过问题和图片引发学生思考，让学生初步了解了圆锥曲线，同时激发学生探究问题的兴趣，使学生积极、主动地参与教学，为后继的学习做好准备.
（二）探究新知
任务1：椭圆的定义.
探究1：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是什么 移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
师生活动：教师给出探究要求，学生动手操作，并注意观察.
答：笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是到定点的距离等于定长.
探究2：如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点，((如图)，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线 在这一过程中，移动的笔尖(动点)满足的几何条件是什么
师生活动：教师给出探究要求，学生按小组进行操作.
思考：（1）在画图的过程中，细绳的两端是固定的还是运动的
在画图过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系
在画图过程中，绳子的长度变了没有 说明了什么
答：（1）细绳的两端是固定的.
（2）绳子长度大于两定点距离.
（3）绳子的长度不变，说明移动的笔尖(动点)到两个定点的距离的和等于常数.
总结：探究2所得到的图形就是椭圆.满足的几何条件有三个：定点、距离的和等于常数、常数要大于两定点之间的距离.
【概念的形成】根据上述探究过程，类比圆的定义，可以得出椭圆的定义.
椭圆的定义：
把平面内与两个定点，的距离的和等于常数(大于||)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距.
探究3：（1）若绳长等于两定点之间的距离，画出的图形还是椭圆吗 若不是，是什么图形
答：不是，是线段.
（2)若绳长小于两定点之间的距离呢
答：无轨迹.
【总结】设集合，，其中，均为大于0的常数.当时，点集为椭圆；当时，点集为线段；当时，点集为空集，即动点的轨迹不存在.
设计意图：以探究活动为载体，让学生在做中学数学，通过画椭圆，小组讨论，让学生经历知识的形成过程，积累感性经验.
任务2：椭圆的标准方程
思考：用坐标法解决平面几何问题的步骤是什么？
答：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，把平面几何问题转化为代数问题.
第二步：通过代数运算，解决代数问题.
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
思考：观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可能使所得的椭圆方程形式简单
答：观察图形，可以发现椭圆具有对称性，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以以经过椭圆两焦点，的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，可能使所得的椭圆方程形式简单.如图.
思考：椭圆上动点满足什么条件 根据这个条件可得到什么方程
答：设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点，的坐标分别为.根据椭圆的定义，设点与焦点，的距离的和等于.
由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集.
因为.
所以.--- -----
思考：如何化简这个方程呢
答：为了化简方程①，我们将其左边的一个根式移到右边，
得.
对方程②两边平方，得.
整理，得.----------------③
对方程③两边平方，得.
整理，得.-----------④
将方程④两边同除以，得.----⑤
由椭圆的定义可知，，即，所以.
思考：观察下图，你能从中找出表示，的线段吗
答：由图可知.
令，那么方程⑤就是.------------⑥
由于方程②③的两边都是非负实数，因此方程①到方程⑥的变形都是同解变形.这样，椭圆上任意一点的坐标都满足方程⑥；反之，以方程⑥的解为坐标的点与椭圆的两个焦点的距离之和为，即以方程⑥的解为坐标的点都在椭圆上.我们称方程⑥是椭圆的方程，这个方程叫做椭圆的标准方程.它表示焦点在轴上，两个焦点分别是的椭圆，这里.
思考：如图所示，如果焦点，在轴上，且，的坐标分别为，，，的意义同上，那么椭圆的方程是什么
答：以经过椭圆两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，可以求出椭圆的标准方程为，这个方程也是椭圆的标准方程，它表示焦点在轴上，两个焦点坐标分别是的椭圆.
师生活动：教师依次给出问题，引发学生思考.
学生先独立思考，然后小组讨论，选出小组代表回答问题，教师评价补充.
总结：对椭圆的标准方程的理解：
(1)椭圆的标准方程中，“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴.
(2)椭圆的标准方程中，右边是1，左边是关于的平方和，并且分母不相等.椭圆的焦点在轴上时，标准方程中项的分母较大；椭圆的焦点在轴上时，标准方程中项的分母较大.
(3)椭圆的标准方程有两种形式.若已知焦点在轴或轴上，则标准方程唯一；若无法确定焦点的位置，则需要考虑两种形式.
(4)在椭圆的两种标准方程中，总有，且三个量满足.
设计意图：通过探究得出椭圆的两种标准方程，并进行对比反思，让学生经历利用对称性进行推导的过程，培养学生的思维能力.这样可加深学生对椭圆定义和标准方程的理解，有助于教学目标的实现，并为后边双曲线、抛物线及其他知识的学习打下基础.
（三）应用举例
例1：已知椭圆的两个焦点坐标分别为，，并经过点，求它的标准方程.
师生活动：教师出示例1，学生尝试独立完成，教师点评，并给出完整解答过程.
解：由于焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
由椭圆的定义知.
所以.
所以.
所以，所求椭圆的标准方程为.
师生活动：你还能用其他方法求出它的标准方程吗？
学生尝试用不同的方法解答，并比较不同方法的特点，教师点评.
设计意图：通过例1的学习，帮助学生巩固椭圆的定义、标准方程以及的关系.
例2：求适合下列条件的椭圆标准方程
（1）焦点分别为，，经过点；
（2）经过两点，.
师生活动：教师给出例2，学生分析，自主解答，教师点评 .
分析：求椭圆的标准方程的步骤是先定型，后计算.即先确定椭圆焦点所在的坐标轴，然后根据题意求出，的值，当不确定椭圆焦点所在的位置时，要注意分类讨论.
解：（1）方法一（定义法）：
因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为.
由椭圆的定义可知，.得.
又，所以.
所以，所求椭圆的标准方程为.
方法二（待定系数法法）：
因为椭圆的焦点在轴上，所以可设它的标准方程为.
由题意得，解得，
所以，所求椭圆的标准方程为.
（2）方法一（分类讨论）：
若椭圆的焦点在轴上，设椭圆的标准方程为.
由已知条件，得，解得，
所以，所求椭圆的标准方程为.
同理，若椭圆的焦点在轴上，此时椭圆方程不存在.
综上，所求椭圆的标准方程为.
方法二（设椭圆的一般方程）：
设椭圆的一般方程为.
将两点，代入，得，解得.
所以，所求椭圆的标准方程为.
总结：求椭圆的标准方程的步骤：
若给定焦点坐标及椭圆上一点坐标求椭圆方程，可使用椭圆的定义先求出，再根据求出，然后写出椭圆的标准方程；
利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：
确定焦点在哪个坐标轴上；
依据已知条件及确定的值；
写出椭圆的标准方程.
（3）求椭圆方程时，若没有指明焦点的位置，一般可设所求椭圆方程为，再根据条件确定的值，然后化成椭圆方程的标准形式.
设计意图：通过例2的学习，帮助学生掌握利用待定系数法等求椭圆的标准方程的方法与步骤，培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
（四）课堂练习
1.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
解：表示焦点在轴上的椭圆，
，解得，
实数的取值范围是．
故选：．
2.经过椭圆的右焦点的直线，交椭圆于，两点，是椭圆的左焦点，则的周长为 ．
解：由椭圆，可得；
椭圆的定义可得：，
的周长
故答案为．
3.方程化简后为 ．
解： ，
故令 ， ，
，
方程表示的曲线是以 ， 为焦点，长轴长 的椭圆，
设其方程为，
则 ， ， ，
方程为 ．
故答案为： ．
4.求适合下列条件的椭圆的标准方程．
两个焦点的坐标分别是，并且椭圆经过点；
经过点．
解：根据题意，设椭圆方程为，
， 解得，所以椭圆方程为
设方程为，
，解得，所以椭圆方程为 ．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：师生共同完成归纳小结，通过对本节内容进行反思、归纳、总结，帮助学生深化对知识的理解、构建知识网络、领悟思想方法.
第三章 圆锥曲线的方程
3.1.1椭圆及其标准方程
第2课时
1.进一步深化对椭圆定义的理解，并能应用椭圆的定义解决实际问题；
2.能利用所学的知识，选择适当的方法解决简单的轨迹问题；
3.在解决问题的过程中进一步体会“坐标法”在解决几何问题中的作用.
重点：简单的轨迹问题.
难点：选择适当的方法解决轨迹（轨迹方程 ）问题.
复习导入
师生活动：教师提出问题，引导学生进行回顾与思考.
思考：椭圆的定义是什么？需要满足哪些几何条件？
答：平面内与两个定点,的距离的和等于常数(大于||)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,焦距的一半称为半焦距.
满足的几何条件有三个：定点、距离的和等于常数、常数要大于两定点之间的距离.
思考：根据所学的椭圆标准方程的有关知识，填写下表：
椭圆的标准方程 图形 焦点坐标 焦距 之间的关系
焦点在x轴上
焦点在y轴上
思考：待定系数法求椭圆轨迹方程的一般步骤是什么？什么情况下可以使用待定系数法求动点的轨迹方程？
答：利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤为：
确定焦点在哪个坐标轴上；
依据已知条件及确定的值；
写出椭圆的标准方程.
待定系数法求动点的轨迹方程使用的前提条件是已知轨迹类型.
思考：动点的轨迹问题可分为两大类：已知动点的轨迹类型与未知动点的轨迹类型，使用待定系数法可以解决已知轨迹类型的求轨迹问题，那未知轨迹类型的求轨迹问题如何求解呢？
设计意图：通过复习上一节课的内容，巩固椭圆有关的基础知识，为本节课进一步深入研究椭圆相关的问题作铺垫，同时给出问题，引发学生的积极思考，激发学生探究问题的兴趣，明确本节课的研究方向.
（二）探究新知
任务1：利用坐标法求椭圆的轨迹方程.
探究：用坐标法求动点的轨迹方程的步骤是什么？
答：第一步：建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,把平面几何问题转化为代数问题.
第二步：通过代数运算,解决代数问题.
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
探究：圆的标准方程是什么？它是如何推导的？
答：圆的标准方程为.
求圆的标准方程本质上就是求平面内满足到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的动点的轨迹方程，推导过程采用的是坐标法.
探究：椭圆的标准方程是如何推导的？
答：求椭圆的标准方程本质上就是求平面内到两个定点,的距离之和为常数(大于||)的动点的轨迹方程，推导过程采用的是坐标法.
归纳：上述两个问题中，虽然已经知道轨迹类型，但它们的方程未知，所以不能使用待定系数法求出轨迹方程，只能使用坐标法，坐标法可以解决一些未知动点轨迹类型或未知方程的轨迹方程问题，是求轨迹方程的一般方法.
探究：已知，，，分别为的外心和重心，且，求点的轨迹的方程.
思考：动点的轨迹类型是已知还是未知？能不能使用待定系数法？
答：未知，不能使用待定系数法.
思考：如何求动点的轨迹方程？
师生活动：学生独立思考，尝试解答，教师评价并给出详细解答过程.
答：使用坐标法.
设，则的重心，
，，
又为的外心，，
，
化简得，
所以，点的轨迹的方程为，是焦点在轴上的椭圆.
设计意图：通过探究活动，让学生进一步掌握利用坐标法求轨迹方程的方法.
任务2：利用定义法求轨迹方程
探究：如图，已知一个动圆过定点，且与定圆：内切，求动点的轨迹方程.
师生活动：教师依次给出问题，引发学生思考.
学生先独立思考，然后小组讨论，选出小组代表回答问题，教师评价补充.
思考：（1）动点的轨迹类型是否已知？
答：未知轨迹类型.
思考：（2）根据相切的性质，的和是不是常数？它与的大小关系怎样？
答：由相切的性质，得.
思考：（3）根据思考（2）的结论，你能得出动点的轨迹类型吗？用什么方法可求出动点的轨迹方程？
答：动点的几何特征满足椭圆的定义，可得点的轨迹是椭圆，因此，可以利用待定系数法求出的轨迹方程.
具体过程如下：
设，圆的方程可化为，则圆心，半径为.
因为圆与圆内切，所以.
所以，.
由椭圆的定义可知，点的轨迹是以为焦点的椭圆.
因为焦点在上，设椭圆的方程为.
由题意可知，，，得3，.
所以.
所以，动点的轨迹方程为.
总结：（1）有些未知轨迹类型的问题，可以通过分析，利用已学特殊曲线的定义转化为已知轨迹类型，然后采用待定系数法求其轨迹方程，这种求轨迹的方法通常称为定义法.
（2）定义法求动点轨迹方程的一般步骤：
建立恰当的坐标系；
根据题意，列出动点满足的几何关系，根据某些已知曲线动点定义确定动点的轨迹形状；
利用待定系数法求出轨迹方程，并检验所求的轨迹上的点是否都符合题意.
设计意图：通过探究，帮助学生掌握利用椭圆的定义求轨迹方程的方法，培养学生的数学运算、逻辑推理等核心素养.
任务3：利用相关点法求动点的轨迹方程
探究：如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段,为垂足.当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹是什么？为什么？
师生活动：教师引导学生利用中间变量求点的轨迹，学生尝试独立完成，教师点评并给出完整解答过程.
思考：（1）所求动点是由那个点的运动引起的？根据题意它们的坐标之间存在什么数量关系？
答：点的运动引起点的运动，由为线段的中点得到点与点坐标之间的关系：，.其中与称为一组相关点（是主动点，是从动点）.
（2）相关点与的轨迹情况怎样？
答：主动点的轨迹方程已知，从动点的轨迹方程未知，是本题需要求解的.
怎样通过点的轨迹求动点的轨迹方程？
答：点在圆上运动，可以由点与点坐标之间的关系式，并由点的坐标满足圆的方程得到点的坐标满足的方程.具体过程如下：
解：设点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为，由点是线段的中点，得，.
因为在圆上，所以.------①
把，带入方程①，得即1.
所以，点的轨迹是椭圆.
上述求动点轨迹的方法，称为相关点法.
思考：（4）能利用相关点法求动点轨迹的问题有什么特征？
答：问题中包含一对相关点，且已知主动点的轨迹方程，求从动点的轨迹方程.
总结：相关点法求动点轨迹方程的一般步骤：
设所求轨迹的动点坐标为，已知轨迹的动点坐标为；
根据两动点的关系用表示出；
将关于的表达式代入已知轨迹方程并化简可得所求动点的轨迹方程.
思考：椭圆与圆之间有什么关系？
答：圆是特殊的椭圆，但椭圆不是圆，椭圆可以看成是把圆“压缩”或“拉伸”后所成的曲线.
设计意图：通过探究的学习，帮助学生巩固利用中间变量求点的轨迹方程的方法（相关的法），并理解椭圆与圆之间的关系.
（三）应用举例
例1：已知点，是圆：()上一动点，线段的垂直平分线交于，求动点的轨迹方程.
师生活动：教师出示例1，学生尝试独立完成，教师点评，并给出完整解答过程.
解：如图，由题意知，，，
所以，，且，
所以动点的轨迹是以为焦点的椭圆.
由于焦点在轴上，设点的轨迹方程为.
由椭圆的定义知.
所以动点的轨迹方程为.
设计意图：通过例1的学习，帮助学生进一步利用定义法求轨迹方程的方法.
例2：若是椭圆上一动点，为坐标原点，是线段的中点，求动点的轨迹方程.
师生活动：教师出示例2，学生独立完成，教师点评，并给出完整解答过程.
解：设，，
由中点坐标公式，得，从而，
又因为点在椭圆上，所以，即.
设计意图：通过例2的学习，帮助学生进一步利用相关点法求轨迹方程的方法.
例3：如图，设两点的坐标分别为.直线相交于点且它们的斜率之积是求点的轨迹方程.
师生活动：教师引导学生分析问题，学生独立完成解答，教师视情况讲解、点评，并提醒学生注意曲线与方程是否等价.
分析：设点的坐标为，那么直线的斜率就可用含的关系式分别表示.由直线的斜率之积是可得出之间的关系式，进而求出点的轨迹方程.
解：设点的坐标为，因为点的坐标分别为
所以直线的斜率.
同理，直线的斜率.
由已知，有，化简，得点的轨迹方程为1.
点的轨迹是除去两点的椭圆.
设计意图：通过例3的学习，深化学生对利用直接法求轨迹方程的理解，强化学生对椭圆的几何特征的认识.
（四）课堂练习
1.已知动圆过点，并且在圆：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
解：由圆 ，则其圆心 ，半径为 ，
设动圆的圆心为 ，半径为 ，
由圆 在圆 的内部与其相切，则 ，
由圆 过点 ，则 ，即 ，
所以动点 的轨迹为以 为焦点的椭圆，设其标准方程为，
则 ， ， ，
所以其轨迹方程为 ．
故选：．
2.椭圆上动点与定点的连线段的中点所形成的曲线的方程为 ．
解：设是的中点，，
由，是的中点，故有，
又为椭圆上一动点，
，
整理得，
故AB的中点的轨迹方程是．
故答案为：．
3.已知，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是，点的轨迹是什么？为什么？
解：设，因为直线的斜率与直线的斜率的商是，
所以，
所以，，
整理解得．
所以点的轨迹是直线，并除去一点．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：师生共同完成归纳小结，通过对本节内容进行反思、归纳、总结，帮助学生深化对知识的理解、构建知识网络、领悟思想方法.

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