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第三章 圆锥曲线的方程
3.2.1双曲线及其标准方程
通过双曲线画法的分析，掌握双曲线的定义；
理解双曲线标准方程的推导过程，进一步掌握利用坐标法求曲线方程，并渗透数形结合、等价转化的数学思想方法；
掌握双曲线标准方程的两种形式，会运用待定系数法求双曲线的标准方程；
通过参与课堂活动，激发学生学习数学的兴趣，提高审美能力，培养勇于探索的精神.
重点：双曲线的定义和标准方程.
难点：双曲线标准方程的推导过程.
(一)创设情境
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线,如发电厂冷却塔的外形 美丽的花瓶、台灯的光束等.本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题.
师生活动：教师展示有关双曲线的实物图,引导学生发挥想象力，找到更多优美的双曲线.
设计意图：通过直观感知，引导学生了解生活中的双曲线，激发学生探究双曲线的兴趣，使学生主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备.
(二)探究新知
任务1：双曲线的定义
探究：如图，在直线上取两个定点是直线上的动点,在平面内,取定点,,以点为圆心 线段为半径作圆,再以为圆心、线段为半径作圆.
思考1：随着点的运动，两圆交点满足什么条件？其轨迹是什么形状？
答：，轨迹是椭圆.
思考2：两圆一定相交吗？当满足什么条件时，两圆相交？
答：如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是椭圆；如果，两圆不相交，不存在交点轨迹.
探究：改变条件：在的条件下，让在线段外运动，如图：
思考1：随着点的运动，两圆交点满足什么条件？其轨迹是什么形状？
答：，轨迹是左右两支曲线.
思考2：同样地，两圆一定相交吗？什么条件下才能相交？
答：如果，那么两圆相交，其交点的轨迹是不同于椭圆的曲线（即双曲线）；如果，两圆不相交，不存在交点轨迹.
探究2：你能利用拉链等日常生活中的物品作出双曲线吗？
答：如图1所示，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点，上，把笔尖放在点处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就形成一条曲线，这就是双曲线的一支.把拉链上两个固定点的位置交换，如图2所示，类似可以画出双曲线的另一支.这两条曲线合起来就是双曲线.
师生活动：实验过程可让学生参与，教师引导学生找出双曲线定义的关键.
【概念的形成】
双曲线的定义：一般地，我们把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数（小于）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考1：在双曲线的定义中，去掉“绝对值”可以吗？
答：不可以.因为双曲线有两支，当，是右支；当，是左支.
思考2：在双曲线的定义中，去掉“小于”，则点的轨迹是怎样的？
答：若，则的轨迹是双曲线；
若，则的轨迹是两条射线；
若，则的轨迹不存在；
若，则的轨迹是线段的中垂线.
设计意图：通过探究，引导学生类比思考，抽象得出双曲线的定义，培养学生的动手能力，发展学生的数学抽象、直观想象等核心素养.
任务2：双曲线的标准方程
师生活动：教师提出思考问题，学生思考并讨论，教师讲授.
思考：类比椭圆，你认为怎样建立坐标系可以使所得的双曲线方程形式简单？
答：双曲线也具有对称性，直线是它的一条对称轴，取经过两焦点和的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系.
思考：双曲线上动点满足什么条件 如何得出双曲线的标准方程？
答：设是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为，则双曲线的焦点分别为 ，，又设2a（为大于的常数，）.
由双曲线的定义，双曲线就是下列点的集合：
因为
所以 ------------①
类比椭圆的标准方程的化简过程，化简①，得
两边同除以，得 .
由双曲线的定义可知，，即，所以.
类比椭圆标准方程的建立过程，令，其中,代入上式，得
------------②
总结：从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都是方程②的解；以方程②的解为坐标的点与双曲线的两个焦点 , 的距离之差的绝对值都为，即以方程②的解为坐标的点都在双曲线上.我们称方程②是双曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程.它表示焦点在轴上，焦点分别是 , 的双曲线，这里.
思考：类比焦点在轴上的椭圆标准方程，焦点在轴上的双曲线的标准方程是什么？
答：设双曲线的焦点为，焦距为,且双曲线上的动点满足2a，其中 ，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，此时，双曲线的方程是
总结：
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
焦点
a,b,c的关系
思考：如何根据双曲线的标准方程判断双曲线焦点的位置？
答：在双曲线的标准方程中，如果项的系数是正的，那么焦点在轴上；如果项的系数是正的，那么焦点在轴上.
总结：对双曲线标准方程的认识：
(1)只有当双曲线的两焦点在坐标轴上，并且线段的垂直平分线也是坐标轴时，得到的方程才是双曲线的标准方程.
(2)标准方程中的两个参数和，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件.这里，与椭圆中不同，且椭圆中，双曲线中，大小关系不确定.
(3)焦点的位置是双曲线的定位条件，它决定了双曲线标准方程的类型.“焦点跟着正项走”，若项的系数是正的，则焦点在轴上；若项的系数是正的，则焦点在轴上.
(4)双曲线的标准方程都可化为一个统一的形式，即.
思考：你能结合椭圆与双曲线的定义和标准方程，找出它们有哪些相同和不同之处吗
椭圆 双曲线
定义
焦点在x轴上
焦点在y轴上
a,b,c的关系
一般方程
设计意图：类比椭圆标准方程的推导过程，推导得出双曲线的标准方程，培养学生的类比思维，发展学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养.与椭圆的定义和标准方程进行对比分析，使学生进一步理解区分椭圆和双曲线.
(三)应用举例
例1：已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于，求双曲线的标准方程．
师生活动：教师出示例1，学生独立完成，教师点评.
分析：与求椭圆标准方程类似，可用定义法或待定系数法求双曲线的标准方程．解题的关键是掌握双曲线的定义及标准方程中，和的关系．先根据焦点坐标求得，进而根据求得，最后根据和求得，则双曲线的方程可得．
解：方法一：（定义法）依题意可知双曲线的，
根据双曲线定义及可知，，
所以，又因为双曲线的焦点在轴上，
所以双曲线的标准方程为.
方法二：（待定系数法）
因为双曲线的焦点在轴上，所以设它的标准方程为.
由，，得，又，因此.
所以，双曲线的标准方程为.
总结：求双曲线标准方程的方法：
(1)定义法：如果已知双曲线上一点到两焦点距离的差(或其绝对值)，可确定的值，再根据焦点坐标或焦距得到的值，利用 求出(或)的值，就可得到双曲线的标准方程.
(2)待定系数法：求双曲线的标准方程与求椭圆的标准方程的方法类似，可以先根据其焦点位置设出标准方程的形式，然后用待定系数法求出的值，若焦点位置不确定，可分焦点在轴和轴上两种情况讨论求解，或者将双曲线方程设为.
设计意图：通过例1的学习，帮助学生形成求解双曲线标准方程的基本解题思路，进一步理解双曲线的定义和标准方程.
例2：已知，两地相距，在地听到炮弹爆炸声比在地晚，且声速为，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
师生活动：教师出示例2，并引导学生画图分析.学生作答，教师点评.并强调炮弹爆炸点的轨迹是双曲线的一支，方程后面必须加上的范围.
分析：先根据题意判断轨迹的形状.由声速及、两处听到炮弹爆炸声的时间差，可知、两处与爆炸点的距离的差为定值，所以爆炸点在以、为焦点的双曲线上.因为爆炸点离处比离远，所以爆炸点应在靠近处的双曲线的一支上.
解：如图所示，建立平面直角坐标系，使、两点在轴上，并且原点与线段的中点重合.
设炮弹爆炸点的坐标为，则
，即.
又，所以，
因为，所以点的轨迹是双曲线的右支，因此.
所以，炮弹爆炸点的轨迹方程为
设计意图：通过例2的学习，实现用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题的教学目标.提升学生的数学建模能力，发展学生的数学建模、直观想象和数学运算能力等核心素养.
(四)课堂练习
1.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：由，得，
因为方程表示焦点在轴上的双曲线，
所以，解得．
故选：．
2.已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线上，，则( )
A. B. C. D. 或
解：由题意得焦距为，由双曲线定义可得，
所以或，又因为在双曲线中，所以，故 A正确．
故选A．
3.如图，椭圆和双曲线的公共焦点分别为，，是椭圆与双曲线的一个交点，则
解：因为是椭圆 和双曲线 的一个公共点，
所以由椭圆的定义可得 ，
由双曲线的定义可得 ，
解得 ， ，
所以 ，
答案为．
4.在下列条件下求双曲线标准方程．
经过两点，；
焦点在轴上，双曲线上的点到两焦点距离之差的绝对值为，且经过点．
解：由于双曲线过点，则该双曲线的焦点在轴上，
设双曲线标准方程为，
由题意可得，解得
因此，所求双曲线的标准方程为；
由双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为，
由双曲线的定义可得，则，所以，双曲线的标准方程为，
将点的坐标代入双曲线的标准方程得，解得，
因此，所求双曲线的标准方程为．
设计意图：通过课堂练习,进一步巩固本节课的内容，提高学生解决问题的能力.
(五)归纳总结
回顾本节课的内容,你都学到了什么
设计意图：通过对本节内容进行反思、归纳、总结，达到深化知识理解、构建知识网络、领悟思想方法的目的.

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