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第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
第1课时
1.通过实例，掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质；
2.通过探究，掌握的几何意义以及的相互关系；
3.通过对椭圆的几何性质的研究，初步学习利用曲线方程研究曲线性质的方法.
重点：椭圆的几何性质及其探究过程.
难点：利用曲线方程研究曲线的几何性质的基本方法，离心率的几何意义.
创设情境
情境：下图是中国国家大剧院的照片,为什么国家大剧院最终会选择了半椭球形设计呢 其根本原因是椭球形非常美观,这源于椭圆的美!那么椭圆到底美在何处 它又具有哪些特性
师生活动：通过观察椭圆的形状，师生讨论，明确本节课要研究的范围、对称性、顶点、扁平程度.教师给出研究的基本思路是数形结合，先“形”后“数”，即先观察椭圆的形状特征并提出猜想，再利用椭圆的标准方程进行推理验证.
设计意图：通过实例，明确本节课的研究问题和研究方法.
（二）探究新知
任务1：椭圆的简单几何性质.
探究1：观察椭圆的形状,你能从图上看出它的范围吗
师生活动：教师给出探究问题，学生思考，教师评价.
答：通过观察椭圆的形状,得出椭圆上点的横、纵坐标的取值范围是,,即椭圆位于直线和围成的矩形框里.如下图所示：
思考：你能利用方程给出椭圆范围的证明吗
答：由方程，可知 ，
所以,椭圆上点的横坐标都适合不等式，即.
同理有，即.
这说明椭圆位于直线 和围成的矩形框里.
设计意图：明确研究椭圆的范围的实质是利用椭圆的方程来确定椭圆上点的横，纵坐标的取值范围，让学生初步掌握怎样用曲线方程来研究曲线的范围.
探究2：观察椭圆的形状，它具有怎样的对称性
师生活动：教师引导学生观察椭圆的形状，启发学生思考.
答：它既是轴对称图形，又是中心对称图形.
思考：你能利用方程给出椭圆对称性的证明吗
答：在椭圆的标准方程中，以代换，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.
同理，以代换，方程也不变，这说明如果点在椭圆上，那么它关于轴的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于轴对称.以代 ，以代换，方程也不变，这说明当点在椭圆上时，它关于原点的对称点也在椭圆上，所以椭圆关于原点对称.
总结：椭圆关于轴、轴都是对称的.坐标轴是椭圆的对称轴，原点是椭圆的对称中心，椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
设计意图：明确研究椭圆的对称性的实质是研究椭圆上点的对称，让学生知道怎样通过曲线方程判断曲线是否关于原点或坐标轴对称.
探究3：观察下图,你认为椭圆上哪些点比较特殊 为什么
师生活动：师生讨论何为特殊点，即椭圆与坐标轴的交点.
答：.
思考：如何得到这些点的坐标
答：分别将与代入方程，得到椭圆与坐标轴的四个交点，
，.
总结：椭圆的顶点的定义：
椭圆与它的对称轴的四个交点叫做椭圆的顶点.
顶点坐标：，(a，0)，.
线段，分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
设计意图：明确椭圆的顶点的含义，让学生知道怎样通过曲线方程研究曲线的顶点.
探究4：在同一坐标系中作出和的图象(如图所示)，从图中可以发现两个椭圆的扁平程度不一，那么椭圆的扁平程度该如何刻画呢
师生活动：学生交流讨论，得出就结论后，教师请同学进行回答.
思考：在a不变的情况下，随着的变化椭圆的形状如何变化？
答：不变，越小，椭圆越扁；越大，椭圆越圆.
思考：上述问题中，能不能用和刻画椭圆的扁圆程度？为什么？
答：可以，因为，越接近，则越小，椭圆越扁；反之越大，椭圆越圆.
思考：当的值变化时,椭圆的形状如何变化 为什么？
答：因为，当越大，即越小时，椭圆越扁；当越小，即越大时，椭圆越圆；当不变，即不变时，椭圆的扁圆程度不变.
总结：(1)椭圆的扁平程度与，或与，有关；
(2)离心率的定义：椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率，用表示，即.
因为，所以，从而越接近1，椭圆越扁平；相反，越接近0，椭圆越接近于圆.
(3)当且仅当时，，这时两个焦点重合，图形变为圆，它的方程为.
设计意图：通过对椭圆离心率的研究，学生学习如何用参数 刻画椭圆的形状，同时体会用曲线方程中的参数刻画曲线的形状的方法.
师生活动：学生自行阅读教材相关内容，归纳概括得出椭圆的相关几何性质.教师结合椭圆的标准方程和下图进行讲解总结.
设计意图：结合椭圆的标准方程，运用方程与函数思想获得椭圆的几何性质，帮助学生进一步体会数形结合的数学思想.
任务2：椭圆的特征三角形
探究： 请观察如下图形，如果我们把短轴的一个端点与一个焦点连接起来，则短轴的端点、椭圆的中心、焦点构成一个直角三角形.显然，这个直角三角形的两直角边的长分别是和.那么，它的斜边是多长呢
师生活动：学生作图，确定三条线段的位置，分析关系，教师讲解.
答：由椭圆的对称性可知,椭圆短轴的端点到两个焦点的距离相等,且等于长半轴长,即,所以斜边长是.
在中,,即,这就是在上节中的几何意义.
我们把叫做椭圆的特征三角形.
设计意图：通过分析椭圆的特征三角形，巩固椭圆中的关系.
（三）应用举例
例1：求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.
师生活动：教师出示例1，学生尝试独立完成，教师点评，并给出完整解答过程.
解：把原方程化成标准方程，得.
于是.
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别为和，离心率，两个焦点坐标分别是和，四个顶点坐标分别是，，，.
总结：确定椭圆几何性质的四个步骤：
(1)化标准:把椭圆方程化成标准形式.
(2)定位置:根据标准方程中分母的大小确定焦点的位置.
(3)求参数:根据标准方程写出,的值,并求出的值.
(4)写性质:按要求写出椭圆的简单几何性质.
设计意图：通过例1的学习，让学生明确椭圆的简单几何性质，培养学生的数学运算核心素养.
例2：如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分.过对称轴的截口是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点.已知，，.试建立适当的平面直角坐标系，求截口所在椭圆的方程（精确到）.
师生活动：学生自主探究、交流，教师补充讲解.
解：建立如上图所示的平面直角坐标系，设所求椭圆方程为.
在中，.
由椭圆的性质知，，所以
；
.
所以，所求的椭圆方程为.
总结：求椭圆的标准方程的步骤：
若给定焦点坐标及椭圆上一点坐标求椭圆方程，可使用椭圆的定义先求出，再根据求出，然后写出椭圆的标准方程；
利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤：
确定焦点在哪个坐标轴上；
依据已知条件及确定的值；
写出椭圆的标准方程.
（3）求椭圆方程时，若没有指明焦点的位置，一般可设所求椭圆方程为，再根据条件确定的值，然后化成椭圆方程的标准形式.
设计意图：通过例2的学习，让学生掌握实际问题中椭圆标准方程的求法，培养学生的数学建模和数学运算核心素养.
（四）课堂练习
1.如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为( )
A. B. C. D.
解：由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示的坐标系，

则椭圆方程为，
则，且，解得，，
故该卫星远地点离地面的距离为，
又，所以．
故选：．
2.已知为椭圆：上一动点，、分别为其左右焦点，直线与的另一交点为，的周长为若的最大值为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解：由题意，得的周长为，则，
的最大值为，则，
故该椭圆的离心率为．
故选：．
3.已知是过椭圆左焦点的弦，且，其中是椭圆的右焦点，则弦的长是 ．
解：椭圆的方程为，
，，可得，
根据椭圆的定义，得，
得，
是过椭圆左焦点的弦，得，
．
故答案为：．
4.求符合下列条件的椭圆的标准方程．
与椭圆有相同离心率且经过点
离心率为，短轴长为．
解：若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入得，故所求方程为若焦点在轴上，设所求椭圆方程为，将点代入得，故所求方程为综上，椭圆的标准方程为或．
因为椭圆的离心率为，短轴长为，所以解得若椭圆的焦点在轴上，则方程为若椭圆的焦点在轴上，则方程为综上，椭圆的标准方程为或．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系.第三章 圆锥曲线的方程
3.1.2椭圆的简单几何性质
第2课时
1.会利用椭圆的简单几何性质求椭圆的离心率；
2.通过数形结合，掌握判断点与椭圆、直线与椭圆的位置关系的方法；
3.理解椭圆弦长公式的推导过程，会利用弦长公式求椭圆的弦长；
4.掌握利用点差法求中点弦的斜率.
重点：直线与椭圆的位置关系的判断、弦长公式.
难点：灵活运用曲线方程研究曲线的几何性质相关问题.
复习导入
师生活动：教师提出问题，引导学生进行回顾与思考.
回顾：根据所学的椭圆的简单几何性质的有关知识，填写下表：
标准方程
图形
焦点坐标
对称性
顶点 坐标
范围
长轴、短轴
总结：1.椭圆的几何性质与椭圆的形状、大小和位置的关系：
（1）椭圆的焦点决定椭圆的位置；
（2）椭圆的范围决定椭圆的大小；
（3）对称性是椭圆的重要性质，椭圆的顶点是椭圆与其对称轴的交点，是椭圆的重要特殊点，在画图的时候先确定这些点.
2.的几何意义
长度分别为的三条线段构成一个直角三角形，且长度为的线段是斜边，这就说明，以椭圆的任意一个短轴端点、任意一个焦点以及原点为顶点的三角形是一个直角三角形，且短轴端点与焦点的连线长为.
设计意图：通过复习上一节课的内容，巩固椭圆有关的基础知识，为本节课进一步深入研究椭圆的几何性质相关的问题作铺垫.
（二）探究新知
任务1：椭圆离心率的求法
探究1：已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线过与椭圆交于，两点，若为正三角形，求该椭圆的离心率.
师生活动：教师给出探究问题，学生分析，自主作答，教师评价.
分析：本题主要考查椭圆的几何性质，椭圆离心率的求解等知识．
设椭圆方程，根据椭圆的对称性可得垂直于轴，结合椭圆的定义，转化求解离心率即可．
解：不妨设椭圆的方程为，则
，，
因为为正三角形，即，所以，即为线段的中点，
根据椭圆的对称性知垂直于轴，
设，则，，
所以，即，所以．
总结：求椭圆离心率的值或取值范围的方法(1)：
直接法：若已知的值，则可直接利用求解；若已知或，则可借助
求出或，再代入公式求解.
设计意图：通过探究学习，让学生掌握根据椭圆的几何性质求椭圆的离心率的方法，培养学生的逻辑推理的核心素养.
探究2：已知椭圆的左顶点为，上顶点为，左焦点到直线的距离为．求该椭圆的离心率.
师生活动：学生作答，教师评价.
分析：本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的几何性质及离心率的求法，对计算能力有一定要求.由点到直线的距离公式列出方程，再结合，化简计算得到关于的二次方程，解方程即可求出离心率，注意.
解：依题意得，直线的方程为，即，
设点到直线的距离为，
，
,得
，
或舍去，
故椭圆的离心率为．
总结：求椭圆离心率的值或取值范围的方法：
方程法：若的值不可求，则可根据条件建立的关系式，借助，将它转化为的齐次方程或不等式，再将方程或不等式进行化简，得到关于的方程或不等式，即可求得的值或取值范围.
设计意图：通过探究2的学习，帮助学生巩固根据椭圆的几何性质求椭圆离心率的方法.
任务2：点与椭圆的位置关系的判断
思考：类比点与圆的位置关系，猜想：点与椭圆的位置关系如何判断
师生活动：学生举例说明，师生共同得出结论.
答：有两种方法：
(1)根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系：
点在椭圆内部；
点在椭圆上；
点在椭圆外部.
(2)根据标准方程（以为例）判断点与椭圆的位置关系：
点在椭圆内；
点在椭圆上；
点在椭圆外；
设计意图：让学生从数与形的角度认识点与椭圆的位置关系.
任务3：直线与椭圆的位置关系的判断
思考：类比直线与圆的位置关系，猜想：直线与椭圆的位置关系有几种 如何判断呢
师生活动：学生举例说明，师生共同得出结论.
答：直线与椭圆的位置关系有三种：相交、相离、相切.如图所示.
思考：直线与椭圆的位置关系与直线与椭圆的交点个数是否是等价对应的 为什么？
答：等价对应.
因为若已知直线的方程和椭圆的方程，可通过联立方程，消去未知数，得到关于的一元二次方程，由一元二次方程的解的情况，即计算的值来判断直线与椭圆的位置关系.
当，即一元二次方程有两个不相等的实数根时，直线与椭圆相交；
当，即一元二次方程有两个相等的实数根时，直线与椭圆相切；
当，即一元二次方程没有实数根时，直线与椭圆相离.
例如：已知直线和椭圆.为何值时，直线与椭圆
有两个公共点有且只有一个公共点没有公共点
解：由方程组
消去得
方程的根的判别式
由，得，此时方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．
由，得，此时方程有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点．
由，得，或此时方程没有实数根，直线与椭圆没有公共点．
设计意图：让学生从数与形的角度认识直线与椭圆的位置关系，培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养.
任务4：求椭圆的弦长.
思考：当直线与椭圆相交时，设直线交椭圆于，两点，如何求出弦长.
师生活动：教师设定数学模型，引导学生思考，教师评价.
探究1：当直线的斜率不存在时，怎样求弦长？
师生活动：学生作图，自主探究.
答：当直线的斜率不存在时，直线平行于轴，.
探究2：当直线的斜率存在时，怎样求弦长？
答：求弦长，本质上是求两点之间的距离.
方法一：联立直线与椭圆两个方程，求出交点坐标，然后使用两点间距离公式求解.但一般计算比较繁琐.
方法二：推导弦长公式，利用根与系数关系，设而不求，整体代入.
斜率存在时，设直线：，则
同理可得，.
例如：已知是经过椭圆的左焦点的弦，若直线的倾斜角为，求的长.
分析：用弦长公式求弦长，先写出直线的方程，再与椭圆联立方程组，整理成关于的一元二次方程，由根与系数的关系表示出两根和与积，代入弦长公式求出弦长．
解：由椭圆的左焦点，所以直线方程为：，
与椭圆联立方程组得：，
整理得，
设，所以，，
所以
．
设计意图：让学生熟悉直线与椭圆相交时弦长的求法，培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养.
（三）应用举例
例1：过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分.
求此弦所在的直线方程；
求此弦长．
师生活动：教师出示例1，引导学生求解，学生作答，教师评价.
（1）分析：联立方程，消元后利用根于系数关系和中点坐标公式求解；或点差法.
解：方法一（根与系数关系法）
设所求直线方程为，将直线的方程代入椭圆方程并整理，得
.----------①
设直线与椭圆的交点为，，则，是方程①的两个根，
于是，.
又是的中点，所以.
解得.
故所求直线的方程为，即.
方法二（点差法）
设直线与椭圆的交点为，.
因为为弦的中点，所以，.
又两点都在椭圆上，所以，，
两式相减得.
于是，.
所以，即.
又因为直线过点，故所求直线的方程为，即.
总结：解决椭圆中有关中点弦问题的两种方法：
（1）根与系数关系法：
联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式求解；
（2）点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系求解.
（2）分析：联立解方程组，求出直线与椭圆的交点坐标求解；或利用弦长公式.
解：方法一：（利用两点间距离公式）
联立，
消去，得，
即，；，．
所以．
方法二：（利用弦长公式）
设弦的两端点分别为，.
由，得，
所以，，，
所以．
设计意图：通过例1的学习，让学生学会求椭圆弦长的方法，同时了解利用点差法解决中点弦问题，培养学生逻辑推理与数学运算核心素养.
例2：动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹.
师生活动：学生自主探究、交流，教师补充讲解.
解：如图，设是点到直线：的距离，动点的轨迹就是集合.
由此得.
将上式两边平分，并化简，得，
即．
所以，点的轨迹是长轴、短轴长分别为的椭圆
设计意图：通过例2的学习，让学生掌握和椭圆有关的轨迹方程的求法，培养学生的数学建模和数学运算核心素养.
（四）课堂练习
1.已知为椭圆：上一动点，、分别为其左右焦点，直线与的另一交点为，的周长为若的最大值为，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解：由题意，得的周长为，则，
的最大值为，则，
故该椭圆的离心率为．
故选：．
2.已知，是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
解：椭圆，
，，
则，
，
，
，
且，
，
，
．
故选：．
3.椭圆被直线所截得的弦长 ．
解：联立，消去并整理得，，
解得或，
所以弦长，
故答案为．
4.已知椭圆的长轴长为，焦距为．
求的方程；
若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求的方程．
解：设的焦距为，长轴长为，
则，
所以，所以，
所以的方程为．
设，
代入椭圆方程得
两式相减可得，
即．
由点为线段的中点，
得，
则的斜率，
所以的方程为，
即．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系.

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