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第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
第1课时 双曲线的简单几何性质
结合实例，能通过双曲线的标准方程确定双曲线的范围、对称性、顶点、实轴、虚轴、渐近线、离心率等性质；
理解渐近线的定义，会利用渐近线画出双曲线的草图；
掌握双曲线的几何性质，会根据几何性质求出双曲线的标准方程；
通过参与课堂活动，激发学习数学的兴趣，提高审美情趣，培养勇于探索的精神.
重点:双曲线的简单几何性质及其应用.
难点:双曲线渐近线、离心率的应用.
(一)创设情境
情境1：复习导入：
师生活动：教师给出双曲线定义和标准方程的部分内容，引导学生回顾与思考相关内容.
思考：双曲线的定义是什么？
答：一般地，把平面内与两个定点，的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
思考：根据所学内容，填写下表：
焦点位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
焦点
，，的关系
设计意图：通过让学生自主填空式复习，保持知识连贯，为本节课的内容做准备.
情境2：有一首歌，名字叫做《悲伤的双曲线》，歌词如下：如果我是双曲线，你就是那渐近线.如果我是反比例函数，你就是那坐标轴.虽然我们有缘，能够身在同一个平面；然而我们又无缘，漫漫长路无交点……
你能通过歌词体会双曲线的几何性质吗？
师生活动:教师出示歌词并提出问题，学生思考双曲线有哪些几何性质，尝试回答 ，教师不作评价.
设计意图:通过歌词意境，激发学生探求双曲线几何性质的兴趣，使学生主动、积极地参与到教学中来，为后续的学习做好准备.
(二)探究新知
任务1:双曲线的简单几何性质
探究1：从双曲线的方程上,能看出双曲线的范围吗 如何得出双曲线的范围？
师生活动:教师提出问题，并引导学生从双曲线的图形和方程两个角度探究双曲线的范围.学生通过观察双曲线的形状和由双曲线方程计算，得出双曲线的范围.
答：如图所示，观察双曲线，我们发现双曲线上点的横坐标的范围是，或，纵坐标的范围是.
下面利用双曲线的方程求出它的范围．
由方程可得
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式 即
所以或，.
这说明双曲线位于直线及其左侧和直线及其右侧的区域.
设计意图:研究双曲线的范围，实质上是利用图形或方程确定双曲线上点的横、纵坐标的取值范围.通过研究双曲线的范围，让学生进一步掌握怎样利用方程研究曲线性质.
探究2:类比研究椭圆对称性的方法,如何研究双曲线的对称性
师生活动:教师提出问题，学生回答，教师进行总结.
答：从双曲线的图形上看：双曲线关于轴、轴和原点都是对称的．这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心．
从方程上看：在双曲线的标准方程中，以代换，方程不变.这说明当点在椭圆上时，它关于轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于轴对称.同理，以代换，方程也不变，这说明如果点在双曲线上，那么它关于轴的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于轴对称.以代，以代换，方程也不变，这说明当点在双曲线上时，它关于原点的对称点也在双曲线上，所以双曲线关于原点对称.
设计意图:通过类比椭圆对称性的研究方法，探究得出双曲线的对称性，让学生明确研究双曲线的对称性的实质是研究双曲线上点的对称，知道怎样通过方程判断曲线是否关于原点或坐标轴对称.培养学生的探究能力及数学抽象核心素养 .
探究3:椭圆有四个顶点,双曲线有几个顶点？
师生活动:教师提出问题，并引导学生探究，提醒学生注意不同类型双曲线的顶点不同.学生完成关于双曲线的顶点的探究.
答：类比求椭圆顶点的方法，在方程中，令，得，因此双曲线和轴有两个交点．因为轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点．
令，得，这个方程没有实数解，说明双曲线和轴没有公共点，但我们也把两点画在轴上
线段叫做双曲线的实轴，它的长等于，叫做双曲线的实半轴长；线段叫做双曲线的虚轴，它的长等于，叫做双曲线的虚半轴长．
思考1：焦点在轴上的双曲线的顶点是什么？
答：
.，
思考2：椭圆的焦点永远在长轴上,双曲线的焦点在哪个轴上？
答：双曲线的焦点在实轴上.
设计意图:通过问题引导学生思考，明确双曲线顶点、实轴、虚轴的含义，已经知道怎样类比求椭圆顶点的方法，通过方程研究曲线的顶点.
探究4：利用信息技术画出双曲线线和两条直线．在双曲线的右支上取一点，测量点的横坐标以及它到直线的距离．沿曲线向右上方拖动点，观察和的大小关系，你发现了什么？
师生活动:教师出示问题，引导学生举具体的例子探究，然后师生共同归纳一般性的结论.
答：可以发现，点的横坐标越来越大，越来越小，但是始终不等于0．
实际上，经过两点，作轴的平行线，经过两点，作轴的平行线，四条直线围成一个矩形，矩形的两条对角线所在直线的方程是，即．可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交．
思考1：过双曲线的实轴、虚轴顶点作坐标轴的平行线得到矩形，矩形的对角线所在的直线方程分别是什么？双曲线与这两条直线有什么关系？
答：对角线所在的直线方程分别是，即.双曲线的范围在以直线和为边界的平面区域内，从，的变化趋势看，双曲线与直线逐渐接近.
【概念的形成】
1.双曲线渐近线的概念：一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交．
2.等轴双曲线：在双曲线中，如果，那么方程变为，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于．这时，四条直线，围成一个正方形，渐近线方程为，他们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角．实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．
总结：
1.双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
2.双曲线的渐近线方程为，即；
双曲线的渐近线方程为，即．
3.由渐近线方程可确定与或与的比值，但无法确定焦点位置.
4.两类渐近线方程容易混淆，可将双曲线方程中等号右边的1改为0，再因式分解求解.
思考2：具有相同渐近线的双曲线焦点位置都一样吗
答：由图可知，焦点位置不同的双曲线也可能有相同的渐近线，即具有相同渐近线的双曲线焦点位置不一定一样.
思考3：如何利用双曲线的渐近线作出双曲线的图形
答：利用双曲线的渐近线，可以帮助我们较准确地画出双曲线的草图.具体做法是：画出双曲线的渐近线；确定双曲线顶点及双曲线上第一象限内任意一点的位置，然后根据双曲线在第一象限内从渐近线的下方(或上方)逐渐接近渐近线的特点过这两点画出双曲线的一部分；最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
设计意图:通过对双曲线渐近线的研究，帮助学生认识到双曲线与渐近线无限接近而不相交的变化趋势，培养学生的直观想象核心素养.
探究5：椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画了双曲线的什么几何性质呢？
师生活动：可借助信息技术的演示，以增强学生对双曲线离心率是如何影响双曲线张口大小的直观认识.
答：双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
双曲线的离心率，离心率越大，渐近线的斜率越大，双曲线的“张口”越大．
思考：双曲线的离心率和渐近线的斜率之间有什么联系？
答：由得，，.
思考：椭圆与双曲线的离心率都是，其范围一样吗？
答：不一样.因为双曲线的标准方程中，，所以双曲线的离心率.而椭圆的离心率满足.
设计意图:通过对双曲线离心率的研究，引导学生学习用双曲线标准方程中的参数刻画双曲线的几何特征的方法，并明确双曲线与椭圆的离心率的取值范围不同，培养学生的数形结合思想，发展直观想象.
探究6：等轴双曲线的渐近线方程和离心率分别是什么？
师生活动：教师提出问题，学生思考并回答，教师补充并展示.
答：渐近线方程是,离心率是.
总结：关于等轴双曲线：
1.定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线；
2.等轴双曲线具有以下性质：
（1）方程形式为；
（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角；
（3）实轴长和虚轴长都是，离心率.
设计意图:通过问题，引导学生类比思考，得到等轴双曲线的几何性质，发展学生的数学抽象、直观想象等核心素养.
师生活动：师生共同总结双曲线的简单几何性质.
图形
方程
范围 或， 或，
对称性 关于轴、轴、原点对称 关于轴、轴、原点对称
顶点
离心率
渐近线
设计意图：结合双曲线的标准方程，运用方程与函数思想获得双曲线的几何性质，帮助学生进一步体会数形结合的数学思想.
(三)应用举例
例1:求双曲线的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．
师生活动:教师出示例1，学生独立完成，教师点评.
解：把双曲线化为标准方程
由此可知，实半轴长，虚半轴长，，
焦点坐标是，；离心率；渐近线方程为．
设计意图:通过例1的解答，帮助学生巩固双曲线中的几何要素与几何性质的认识，掌握确定双曲线几何性质的方法，培养学生的数学运算核心素养.
例2:双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面（如图1所示）它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为．试建立适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到）．
师生活动:教师出示例2，并引导学生分析、理解题意，然后由学生独立完成，教师点评.
解：根据双曲线的对称性，在冷却塔的轴截面所在平面建立如图所示的直角坐标系，使小圆的直径在轴上，圆心与原点重合这时，上、下口的直径都平行于轴，且，
设双曲线的方程为，点的坐标为，则点的坐标为．
因为直径是实轴，所以又，两点都在双曲线上，所以
由方程，得负值舍去代入方程，得
化简得．
解方程，得负值舍去．
因此所求双曲线的方程为．
设计意图:通过例2的学习，帮助学生尽快掌握求实际问题中双曲线的标准方程的方法，培养学生的数学建模、数学运算的核心素养.
例3：求证：双曲线的焦点到渐近线的距离为.
解：双曲线的渐近线方程为，则点到渐近线的距离．
设计意图:通过例3的学习，帮助学生发现和探索双曲线的其它性质，培养学生的观察、猜想、推理等核心素养.
(四)课堂练习
1.双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
解：由解得双曲线的渐近线方程为．
故选：．
2.已知双曲线的左焦点到其渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
解：根据双曲线的几何性质可知，左焦点，
其到渐近线的 距离为，
因为，所以．
故选：．
3.双曲线的渐近线方程为 ．
解：当时，双曲线方程可化为，
，
所以，，
所以渐近线方程为
同理，可求得当时渐近线方程也为
故答案为
4.已知双曲线的两个焦点分别为，，且过点．
求双曲线的虚轴长；
求与双曲线有相同渐近线，且过点的双曲线的标准方程．
解：由题意，易知，，且 ，
在中，，
由双曲线的定义可知，，，即 ，
双曲线的两个焦点分别为，， ，
又，，
故双曲线的虚轴长为；
由知双曲线的方程为 ，
设与双曲线有相同渐近线的双曲线的方程为，
将点的坐标代入上述方程，得，
故所求双曲线的标准方程为．
设计意图:通过课堂练习,进一步巩固本节课的内容，提高学生解决问题的能力.
(五)归纳总结
回顾本节课的内容,你都学到了什么
设计意图:通过对本节内容进行反思、归纳、总结，达到深化知识理解、构建知识网络、领悟思想方法的目的.第三章 圆锥曲线的方程
3.2.2双曲线的简单几何性质
第2课时 双曲线的简单几何性质
1.会求双曲线的渐近线方程及已知渐近线方程求双曲线方程等问题；
2.掌握直线与双曲线的位置关系及其判定；
3.理解并掌握直线与双曲线的交点个数的判断及求法；
4.会利用双曲线的简单几何性质求双曲线的弦长等简单的应用.
重点：直线与双曲线位置关系.
难点：结合图象讨论分析直线与双曲线位置关系.
复习导入
师生活动：教师提出问题，引导学生进行回顾与思考.
思考：根据所学的椭圆的简单几何性质的有关知识，填写下表：
图形
方程
范围 或， 或，
对称性 关于轴、轴、原点对称 关于轴、轴、原点对称
顶点
离心率
渐近线
设计意图：通过复习上一节课的内容，巩固椭圆有关的基础知识，为本节课进一步深入研究椭圆的几何性质相关的问题作铺垫.
（二）探究新知
任务1：双曲线渐近线的求法
探究：求满足下列条件的双曲线的标准方程：
以直线为渐近线，过点；
与双曲线具有相同的渐近线，且过点；
师生活动：教师给出探究问题，学生分析，自主作答，教师评价.
解：（1）由题意，可设所求双曲线方程为.
将点的坐标代入方程得，即.
因此，所求双曲线的标准方程为.
（2）设所求双曲线方程为.
由点在双曲线上得.
故所求双曲线的标准方程为.
总结：求双曲线渐近线的方法：
（1）已知双曲线方程求渐近线方程：
若双曲线方程为，则求其渐近线方程时，可令，则，得.
（2）已知渐近线方程求双曲线方程：
若双曲线的渐近线方程为，则可设双曲线方程为，
根据已知条件求出的值即可.
求与双曲线有公共渐近线的双曲线方程：
与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（0，焦点在轴上；0，焦点在轴上），根据已知条件求出的值即可.
设计意图：通过探究学习，让学生掌握双曲线的渐近线的求法，培养学生的计算能力.
任务2：直线与双曲线的位置关系的判断
思考：直线与椭圆的位置关系有几种？如何研究直线与椭圆的位置关系？
答：三种：相离、相切、相交；
有两种方法：
方法一：图象法；
方法二：判别式法：把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为一元二次方程，通过方程的判别式（或解的个数）来说明：
(1)当时，直线与椭圆有两个公共点.
(2)当时，直线与椭圆只有一个公共点.
(3)当时，直线与椭圆没有公共点.
设计意图：通过回忆、总结加强对直线与椭圆位置关系的感性和理性认知，并为学习直线与双曲线的位置关系做铺垫.
思考：类比直线与椭圆的位置关系的研究方法,如何研究直线与双曲线的位置关系？
探究1：图象法
师生活动：教师引导学生作图，教师评价.
答：一个交点
两个交点：
没有交点：
探究2：判别式法
已知直线与双曲线，当实数为何值时，直线与双曲线：（1）没有公共点；（2）有两个公共点；（3）有一个公共点.
师生活动：教师提出问题，学生思考，教师补充说明.
分析：联立方程组，消去，得-----①
若，即时，方程①为一次方程，只有一解，直线与双曲线有一个公共点；
若，，
当，即时，方程①无解，直线与双曲线没有公共点；
当，即时，方程①有两个相等的根，直线与双曲线只有一个公共点；
当，即或时，方程①有两个不相等的根，直线与双曲线有两个公共点.
答：（1）当时，直线与双曲线没有公共点；
（2）当或时，直线与双曲线有两个公共点；
（3）当或时，直线与双曲线只有一个公共点.
注意：（1）三个问题中，前两个问题类似直线与椭圆的位置关系，但问题（3）要对二次项的系数加以讨论，不同于前面的情况，比较特殊.
（2）直线与双曲线有一个公共点的情况有两种：一种是直线与双曲线的渐近线平行；另一种是直线与双曲线相切.
探究3：已知直线与双曲线，试探究其交点个数情况及位置关系.
答：联立，消去，得-------①
（1）若即，直线与双曲线的渐近线平行或重合.方程①为一元一次方程：
当时，方程无解.直线与 双曲线无交点，此时直线为，直线与渐近线重合，位置关系：相离.
当时，方程①有唯一解，直线与双曲线有唯一公共点，此时直线为，直线与渐近线平行，位置关系：相交.
若即，.
当时，只有一个公共点，直线与双曲线相切；
当时，有两个公共点，直线与双曲线相交；
当时，没有公共点，直线与双曲线相离.
结论：有一个公共点：①直线与渐近线平行；
②直线与双曲线相切.
有两个公共点：.
没有公共点：直线与双曲线相离①，即；
②
设计意图：通过类比直线与椭圆的位置关系的研究方法，从特例出发到一般情形的分析论证，得出直线与双曲线的位置关系，培养学生的类比推理能力.
探究4：已知直线与双曲线相交于两点，当满足什么条件时，点位于双曲线的同一支上？满足什么条件时，点位于双曲线的两支上？
师生活动：教师展示交点位于双曲线的同一支上与位于双曲线的两支上的图象，引导学生观察并思考它们有什么共同点和不同点，再归纳总结分析，得出结论.
答：共同点：都有两个公共点.
不同点：交点在同一支上时，两交点的横坐标同号，交点在两支上时，两交点的横坐标异号.由二次方程的根与系数关系，结合直线与双曲线的位置关系的条件可得：
①点在同一支上；
②点分别在两支上.
设计意图：通过数形结合，对比讨论的方式，让学生进一步理解直线与双曲线的位置关系，达到对知识的内化与延伸.
（三）应用举例
例1：已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的斜率的值．
师生活动：教师出示例1，引导学生求解，学生作答，教师评价.
分析：与判断直线与椭圆的位置关系不同，当直线与双曲线有一个公共点时，除了考虑联立直线和双曲线的方程，消元看一元二次方程的根的判别式外，还需考虑直线和渐近线平行，以及直线斜率不存在且与双曲线相切这两种特殊情况.
解：可分两种情况：
（1）当直线斜率不存在时，：与双曲线相切，符合题意；
（2）当直线斜率不存在时，设直线的方程为，联立整理得
若，即，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；
若，则，解得
综上可得，直线的斜率不存在或或
设计意图：通过对直线与双曲线有一个交点时复杂情况的讨论研究，让学生进一步理解直线与双曲线的位置关系.
例2：动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数，求动点的轨迹．
师生活动：教师出示例2，引导学生画图分析，学生作答，教师点评.
解：设是点到直线的距离，根据题意，动点的轨迹就是点的集合，
由此得．
将上式两边平方，并化简，得，即．
所以，点的轨迹是焦点在轴上，实轴长为、虚轴长为的双曲线．
思考：将这个例题与教材椭圆一节中的例6比较，你有什么发现？
师生活动：教师提出思考问题，学生对比两道例题，总结规律，尝试回答.
答：圆锥曲线的统一定义：平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是常数.
若常数，即，则点的轨迹为椭圆，方程为.
若常数，即，则点的轨迹为双曲线，方程为.
设计意图：通过例2的学习，获得求双曲线轨迹方程的方法，与教材椭圆一节的例6对比，总结规律，引出圆锥曲线的统一定义，提升学生的数学抽象能力，发展学生的逻辑推理和数学运算等核心素养.
例3：如图所示，过双曲线右焦点倾斜角为30的直线交双曲线于，两点，求.
师生活动：教师出示例3并指导学生类比椭圆的弦长求法，分析问题，然后由学生独立完成，教师视情况讲解、点评.
解：方法一：由双曲线的标准方程可知，双曲线的焦点分别为,.
因为直线的倾斜角是30，且经过右焦点，所以直线的方程为.①
由，消去，得，解方程，得 =.
将的值分别代入①，得
2， .
于是，两点的坐标分别为，，
所以，
方法二：由双曲线的方程得，，
，，．
直线的方程为．
设，，由得．
，．
．
总结：解决与双曲线有关的弦长问题和解决椭圆中的弦长问题类似，有两种方法：
（1）求出两个交点坐标，用两点间距离公式计算；
（2）“设而不求”，根据弦长公式
或计算.
设计意图：让学生熟悉直线与双曲线相交时弦长的求法，培养学生的逻辑推理与数学运算的核心素养.
（四）课堂练习
1.已知双曲线的离心率为分别为双曲线的左、右两个顶点，左顶点到双曲线渐近线的距离为；
求双曲线的方程；
若过点且斜率为的直线与双曲线仅有一个交点，求实数的值．
解：左顶点到双曲线渐近线的距离为；
由题意可知：，则得，双曲线的方程为；
设直线，
联立，消元可得，
，
，则．
综上，的值为或．
2.双曲线的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线的离心率为．
求双曲线的方程；
若双曲线的一弦中点为，求此弦所在的直线方程．
解：设双曲线的方程为，
椭圆的焦点为，，
，
双曲线的离心率为，即，
解得，，
双曲线的方程为；
设弦的两端分别为，．
则有：
所以，
即，
弦中点为，
故直线的斜率，
则所求直线方程为：，
即．
设计意图：通过课堂练习，帮助学生进一步巩固本节可所学的内容，提高学生解决问题的能力.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过课堂小结，帮助学生进一步巩固本节课的知识，构建自己的知识体系.

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