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第三章 圆锥曲线的方程
3.3.1 抛物线及其标准方程
1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程，四种不同标准方程形式的特点.
3.理解抛物线方程系数的几何意义，能解决求抛物线标准方程问题．
重点：抛物线的定义及焦点、准线的概念.
难点：的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．
（一）创设情境
情境：前面已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，这些图形都可以用数学语言来表达和研究，同样的研究过程也适用今天的内容——抛物线.
观察下图，模仿学过的圆锥曲线学习过程，我们该如何学习下图曲线？
师生活动：教师给出两幅图案，并提出问题，引导学生对圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线知识进行回顾与思考，梳理出前面学习圆锥曲线的过程.
答：通过“定义——方程——性质——应用”四个环节学习和研究圆锥曲线.
回顾：我们知道，椭圆、双曲线的有共同的几何特征：
在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹. (其中定点不在定直线上).
一个动点M到一个定点F和一条定直线l的距离之比为常数e， 点M的轨迹是什么？
答：当01时，轨迹是双曲线；
当e=1时，轨迹是什么形状？
设计意图：通过烟花桥梁这些和抛物线关联的场景引出本节课的研究对象，让同学们回顾前面学习过的圆锥曲线知识和几何意义和研究过程，通过类比从而展开教学.
（二）探究新知
任务1：抛物线的概念感知和理解.
思考：利用信息技术作图.如图右F是定点，l是不经过点F的定直线，H 是直线l上任意一点，过点l 作MH⊥L，线段FH 的垂直平分线m交MH于点M.施动点H，观察点M的轨迹，它是什么形状？你能发现点M 满足的几何条件吗？
答：点M 的轨迹形状与二次函数的图象相似；点M 随着点H 运动的过程始终有|MF |=|MH |；点M与定点F 的距离等于它到定直线l 的距离.
【概念形成】
定义：我们把平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线.
思考：当直线l经过点F 时，点的轨迹是什么？
答：过定点F且垂直于定直线l的一条直线.
师生活动：教师提出问题，根据抛物线的图像特征给予引导总结出几何特征，拓展引出抛物线的定义.
设计意图：通过图像和几何特征总结感知抛物线，总结出抛物线的定义.针对定义中的前提条件，提出新问题让学生拓展思考，加深对定义的理解和记忆.
任务2：抛物线的标准方程.
思考1：我们是如何求轨迹方程的？
答：求轨迹方程的流程：建(坐标系)；设(动点坐标)；限(限制条件，动点、已知点满足的条件)；代(动点、已知点坐标代入)；化(化简整理).注意检验.
思考2：类比求椭圆、双曲线标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出抛物线的方程？
合作探究：请先独立思考，再小组内交流；选派代表全班展示成果；时间2分钟.
答：考虑抛物线的对称性，采用方法1建系最恰当.
具体方法如下：
根据抛物线的几何特征，如下图，我们取经过点且垂直于直线的直线为轴，垂足为，并使原点与线段的中点重合，建立平面直角坐标系.
设.那么焦点的坐标为，准线的方程为.
设是抛物线上任意一点，点到准线的距离为.
由抛物线的定义，抛物线是点的集合.
因为，，
所以.
将上式两边同时平方并化简，得 ①
从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都是方程①的解，以方程①的解为坐标的点与抛物线的焦点的距离和它到准线的距离相等，即以方程①的解为坐标的点都在抛物线上.
【概念形成】
定义：我们把方程叫做抛物线的标准方程.它表示焦点在轴正半轴上，焦点是，准线是的抛物线.
p的几何意义：焦点F到准线l的距离.
填一填：
标准方程 焦点坐标 准线方程
答：的焦点坐标为，准线方程为；
的焦点坐标为，准线方程为.
师生活动：教师提出问题，引导学生回顾轨迹方程求解方法，回顾椭圆、双曲线标准方程的求解过程，一同推导出双曲线的标准方程，以及抛物线的焦点、准线、p的几何意义.同时让学生进行简单练习.
设计意图：通过回顾相关知识和过程，推导出抛物线方程并总结相关知识点，简单练习加深理解和记忆.
任务3：几种不同形式的抛物线的标准方程辨析.
思考：在平面直角坐标系中，类比椭圆、双曲线，抛物线的焦点位置会有些什么情况？要怎样求不同开口方向的抛物线的标准方程呢？
答：
探究：在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程，抛物线的标准方程有哪些不同的形式 请探究之后填写下表.
答：
思考1：抛物线的四种标准方程形式上有什么共同特点
答：左边都是平方项，右边都是一次项
思考2：如何根据抛物线的标准方程来判断抛物线的焦点位置及开口方向？
答：①焦点在一次项字母对应的坐标轴上.
②一次项系数的符号决定了抛物线的开口方向.
任务4：二次函数再认识
思考：二次函数的图象是抛物线吗？如果是，请写出它的焦点坐标、准线方程.
答：∵ ∴ .
当时，表示开口向上的抛物线， ， 焦点坐标为，准线方程为 ；
当时，表示开口向下的抛物线， ， 焦点坐标为，准线方程为 ；
（三）应用举例
例1：(1)已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程；
(2)已知抛物线的焦点是F(0，-2)，求它的标准方程.
解：(1)因为，抛物线的焦点在轴正半轴上，
所以它的焦点坐标是(，0)，准线方程是.
(2)因为抛物线的焦点在轴负半轴上，且，，
所以抛物线的标准方程是.
总结：抛物线方程的焦点位置由一次项和一次项系数的正负决定.
例2：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
(1)；(2)；(3).
解：(1)因为，所以，即，
所以它的焦点坐标是，准线方程是.
(2)因为，所以，即，
所以它的焦点坐标是，准线方程是.
(3)因为，所以，所以，即，
所以它的焦点坐标是，准线方程是.
例3：一抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，过焦点作垂直于轴的直线交抛物线于，两点，的长为8，则抛物线的方程为________．
解：∵抛物线的顶点在原点，焦点在轴上，
∴设所求抛物线的方程为.
∵，所以．
故所求抛物线的方程为．
总结：确定抛物线方程时，一般先定位(抛物线焦点位置)，后定量(参数的值).
例4：一种卫星接收天线如图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如图.已知接收天线的口径(直径)为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标.
解：如图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使天线的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，焦点在轴上.
设抛物线的标准方程是.
由题知点的坐标是，代入方程，得，即.
所求抛物线的标准方程是，焦点坐标是.
设计意图：通过4个层层渐近的例题，帮助学生及时巩固所学知识，加深理解，提升学生运用所学知识解决问题的能力.
（四）随堂练习
1.若抛物线上一点到其焦点的距离等于，则( )
A. B. C. D.
解：因为抛物线的标准方程为，其准线方程为，
由于抛物线上一点到其焦点的距离等于，
由抛物线的定义可得，，解得．
2.若抛物线上一点到轴的距离为，则点到抛物线的焦点的距离为( )
A. B. C. D.
解：抛物线的准线方程为，
抛物线上一点到轴的距离为，则，
到抛物线的准线的距离为：，
点到抛物线的焦点的距离为．
故选：．
3.若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于( )
A. B. C. D.
解：抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，
则，，，，，
故选D．
4.若抛物线的焦点到准线的距离为，且顶点是坐标原点，抛物线的开口朝上，则的标准方程为 ．
解：依题意可设的标准方程为，
因为的焦点到准线的距离为，所以，
所以的标准方程为
故答案为：
5.已知抛物线上一点到焦点的距离是，则其准线方程为( )
A. B. C. D.
解：因为抛物线的准线为：，
根据抛物线的定义，可得到准线的距离为，即．
所以准线方程为．
故选：．
6.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是( )
A. B. C. D.
解：因为抛物线的焦点坐标为，
双曲线的渐近线方程为，
由对称性可得点到直线的距离与点到直线的距离相等，
由点到直线的距离公式可得点到直线的距离．
故选：．
设计意图：及时进行课堂练习，趁热打铁，巩固所学知识.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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