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第三章 直线和圆的方程
3.3.2 抛物线的简单性质
第1课时
1.通过数形结合的方法学习抛物线的性质，理解并掌握抛物线性质的内容，培养直观想象的核心素养；
2.结合具体的问题情境，掌握抛物线性质的应用，能够使用抛物线的性质求解几何问题，培养逻辑推理和数学建模的核心素养.
重点：借助图形，与之前所学内容相结合，掌握抛物线性质的内容及应用.
难点：掌握数形结合的学习方法，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通，并能够解决实际问题.
（一）创设情境
我们之前学习了椭圆性质和双曲线性质，同学们是否还记得它们的性质都有哪些？
先来看椭圆的性质，我们知道椭圆的性质有以下四种，分别是：
（1）范围：位于直线和围成的矩形框里.
（2）对称性：关于x轴与y轴和原点都是对称的.
（3）顶点：，，，.
（4）离心率：焦距与长轴长的比 .
再来看双曲线的性质，我们知道双曲线的性质有以下五种，分别是：
（1）范围：位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域.
（2）对称性：关于x轴、y轴和原点都是对称的.
（3）顶点：.
（4）渐近线：直线 和 (以焦点在轴上的双曲线为例)
（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比 ，且e＞1.
通过类比椭圆和双曲线的几何性质，你认为应该研究抛物线的哪些几何性质呢？我们又该如何研究这些性质？
让我们带着问题，进入本节课的内容！
师生活动：教师引导学生类比椭圆和双曲线的性质，引出本节课内容，方便学生理解.
设计意图：通过椭圆和双曲线，引出本节课的内容.使学生体会到知识点之间的联系，将知识融会贯通. 提升学生举一反三的能力和逻辑推理的核心素养.
（二）探究新知
任务1：理解抛物线的范围.
首先，让我们来看抛物线的图象：
思考1：观察给定的抛物线图象，我们发现抛物线位于y轴的右侧，并且其开口方向与x轴的正方向一致.现在，请你结合抛物线的标准方程来详细解释，为什么这条抛物线会呈现出这样的特征？
答：已知p＞0，由抛物线的标准方程可知，对于抛物线上的点M（x，y），x≥0，y∈R.当x＞0时，抛物线在y轴的右侧，开口与x轴的正方向相同.
思考2：当x增大时，y是如何变化的？你能否从中总结出抛物线的范围呢？
答：由于抛物线的标准方程是，所以当x的值无限增大时，的值也随之无限增大，并且，x≥0.与图象相结合就是，当图象向x的正方向延伸时，也同时向y轴的正方向和负方向无限延伸，即抛物线向右上方和右下方无限延伸，这就是抛物线范围.
师生活动：首先，教师通过图象向同学们直观的展示了抛物线的范围.然后，由抛物线的标准公式推理出抛物线的范围.通过两个问题，引导学生思考，逐步完成这部分的教学.
设计意图：通过数形结合的方式，帮助学生更加直观的理解抛物线的范围.在观察图象的过程中，培养学生直观想象的核心素养.在通过抛物线的标准方程推理出图象的范围的过程中，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：理解抛物线的对称性和顶点.
思考1：我们由抛物线的图象发现，抛物线可能是关于x轴对称的.你能根据抛物线的标准方程来验证这个结论吗？
答：由于抛物线的标准方程是，如果用-y代替y，我们发现方程是不变的，所以抛物线关于x轴对称.
提示：抛物线的轴：我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
思考2：我们知道椭圆的顶点，是图象与对称轴的交点；双曲线的顶点，是图象与对称轴的交点.
这节所学的抛物线的顶点也是图象与它的轴的交点.那么，请思考在抛物线的标准方程中，它的顶点坐标是什么？
答：由于抛物线的标准方程是，当x=0时，y=0，因此抛物线的顶点就是原点.
师生活动：首先用数形结合的方法，先由教师根据图象给出抛物线可能关于x轴对称的猜想，再由学生根据抛物线的标准方程来验证这个猜想，得出最后的结论.之后教师带领学生回顾椭圆与双曲线的顶点的概念，类比推理出抛物线顶点的概念，最后由学生自主求出在抛物线的标准方程下的顶点坐标.
设计意图：在继续培养学生数形结合能力的同时，引导学生独立思考，帮助学生了解类比法在数学学习过程中的应用.能够根据已有的知识体系推测出未知的知识内容，并且可以合理的验证自己的猜想，培养逻辑推理的核心素养和举一反三的能力.
任务3：理解抛物线的离心率.
对于椭圆而言，它的离心率就是焦距与长轴长的比，记作 ；
对于双曲线而言，它的离心率就是焦距与实轴长的比，记作 ，且e ＞1.
同样地，我们也可以类比推理出抛物线的离心率的概念：抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，叫做抛物线的离心率，同样也是用e表示.
思考：你能求出抛物线离心率的取值范围吗？
答：由抛物线的定义可以知道，抛物线上的点M永远有恒成立.又因为离心率就是抛物线上的点M与焦点F的距离和点M到准线的距离d的比，所以我们由此可以推断出且e =1也是恒成立的.
师生活动：教师带领学生回顾椭圆与双曲线的离心率的概念，类比推理出抛物线离心率的概念，最后由学生自主求出抛物线离心率的取值范围.
设计意图：通过类比椭圆与双曲线离心离的概念，帮助学生理解抛物线离心率的概念，引导学生独立思考抛物线离心率的取值范围，了解类比法的应用，使知识点之间不再孤立，培养学生逻辑推理的核心素养.
总结：抛物线的四个几何性质：
（1）范围：x≥0，y∈R.
（2）对称性：关于x轴对称.
（3）顶点：原点.
（4）离心率： ，e=1.
任务4：应用抛物线的简单几何性质解决问题.
思考：当抛物线为、以及时，抛物线的图象又是怎么样的呢？
答：图象如下图所示：
探究：顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线有几条？求出这些抛物线的标准方程.
提示：因为抛物线经过第四象限的点，所以抛物线开口向右或者向下.接下来进行分类讨论即可.
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
答：
情况一：当抛物线的开口向右时，设其标准方程为，把点M的坐标代入，得8=4p.所以2p=4，得.
情况二：当抛物线的开口向下时，设其标准方程为，把点M的坐标代入，得，所以，得.
故所求抛物线的标准方程为或.
师生活动：教师先引导学生思考其他三种抛物线的图象及标准方程，进一步提出问题，应用抛物线的性质解决问题.帮助学生在思考与应用的过程中，加深对抛物线性质的理解.
设计意图：通过总结概括抛物线的标准方程及图象，增强学生分析解释的能力，培养学生逻辑推理和数学抽象的核心素养.在使用抛物线的性质解决问题的过程中，增强学生的应用能力和分类讨论的能力，进一步培养学生的逻辑推理和数学运算的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，求它的标准方程.
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点，所以可设它的标准方程为，因为点在抛物线上，所以2，解得p=2.因此，所求抛物线的标准方程是.
总结：用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
第一步，定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向.
第二步，设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程.
第三步，寻关系：根据条件列出关于p的方程.
第四步，得方程：解方程，将p代入所设方程，即为所求.
例2：斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：
由题意可知p=2，，焦点F的坐标为(1，0)，准线方程为x=-1.如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为，.由抛物线的定义，可知，，于是.因为直线l的斜率为1，且过焦点，所以直线l的方程为y=x-1.①
将①代入方程，得，化简，得.所以，.所以，线段AB的长是8.
总结：设直线经过抛物线焦点，并与抛物线相交于两点，则可由抛物线的方程直接得出A、B两点的距离：
注意，直线必须满足“经过抛物线焦点”这一条件.
例3：已知为抛物线：的焦点，过点的直线交抛物线于，两点，若，则线段的中点的横坐标为 ( )
A. B. C. D.
解：由题意，抛物线的焦点为，如图所示：线段AB的中点为Q，准线为l，分别作，，，M、N、P为垂足，若，由抛物线的性质可得，所以，设，则，解得，故选B.
总结：
抛物线的焦点弦：过焦点的直线与抛物线相交所得的弦叫做焦点弦，
若抛物线的焦点弦的端点为则
1.；
2.当垂直于对称轴时，焦点弦最短，最短长度为.此时称为通径.
3.；
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.已知点在抛物线上，点M到抛物线C的焦点的距离是( )
A. B. C. D.
解：由点在抛物线上，可得，抛物线，焦点坐标，准线方程为，点M到抛物线C的准线方程的距离为4，则点M到抛物线C焦点的距离是4.故选A .
2.已知直线l经过抛物线的焦点F，且l与C相交于A，B两点，若弦AB中点的纵坐标为3，则( )
A. 14 B. 12 C. 10 D. 8
解：设，则，所以.故选：C．
3.若抛物线上横坐标为的点到焦点的距离为5，则p的值为( )
A. B. 2 C. 4 D. 5
解：由题意，得，解得.故选D．
4.设经过点的直线与抛物线相交于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为2，则( )
A. B. C. D.
解：易知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，代入抛物线方程得，设，因为线段AB的中点的横坐标为2，所以，解得，因此故选C
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第三章 直线和圆的方程
3.3.2 抛物线的简单几何性质
第2课时
1.结合抛物线的标准方程和性质，能够通过方程计算证明直线与抛物线的综合问题，培养数学运算与逻辑推理的核心素养；
2.能够通过数形结合的方法解决与抛物线有关的轨迹问题，培养直观想象和逻辑推理的核心素养；
3.结合问题情境，能够使用抛物线的标准方程及性质解决数学综合问题，培养数学建模的核心素养.
重点：借助图形，与之前所学内容相结合，掌握直线与抛物线位置关系的证明以及解决与抛物线有关的轨迹问题.
难点：能够利用抛物线的标准方程及其简单几何性质解决实际问题，培养数学建模的能力，掌握数形结合的解题方法，面对问题能够举一反三，使知识融会贯通.
（一）创设情境
如图，在我们生活中，经常会看到这样的拱桥结构，它与抛物线之间有着密切的关联，我们称其为“抛物拱”.除此之外，“抛物拱”在现实中还有着许多的原型，比如卫星接收天线，抛掷出去的铅球在空中划过的轨迹等，也是“抛物拱”的一部分.
抛物线的标准方程与简单几何性质都有哪些综合的应用呢？
这节课，就让我们学以致用，进一步学习抛物线的相关内容！
师生活动：教师将抛物线与生活实际相结合，同时给出了“抛物拱”概念，引导学生将数学知识与生活实际相结合，提升学生的应用能力，引出本节课内容，方便学生理解.
设计意图：通过给出生活中的现实案例，引出本节课的内容.使学生体会到生活处处有数学，加深学生对数学的学习兴趣，增强对抛物线的理解.提升学生的应用能力和数学建模的核心素养.
（二）探究新知
任务1：直线与抛物线的综合应用.
思考1：问题1.类比直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系，思考直线与抛物线有几种位置关系？怎样判断其位置关系？
提示：直线与抛物线的位置关系有相离、相交、相切三种.判断方法是联立直线与抛物线方程，转化为关于x(或y)的方程，利用方程的解来判断.
问题2.设直线与抛物线，两方程联立消去y，会得到一个什么样的方程？怎样判断这个方程的解的个数？
提示：两方程联立消去y，得.
当时，方程有一解；
当时，，方程有两解；，方程有一解；，方程无解.
问题3.如果直线与抛物线只有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？
提示：可能相切，也可能相交，当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点.
总结：直线与抛物线的位置关系：
(1)直线与抛物线的位置关系有相离、相交、相切三种.
(2)直线l：与抛物线两方程联立消去y，得.
当时，直线与抛物线有一个公共点；
当时，，直线与抛物线有两个不同的公共点；，直线与抛物线有一个公共点；，直线与抛物线无公共点.
(3)当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与抛物线可能相切，也可能相交.
设计意图：通过师生问答的方式，引导学生思考直线与抛物线的位置关系.同时指出易错点，即直线与抛物线只有一个公共点时的位置关系，帮助学生理解本节所学内容，培养学生举一反三的能力.
思考2：现在有一个抛物线，它的焦点是F，准线是l，现在有一条直线与抛物线相交于A、B两点，经过点A和抛物线顶点的直线与抛物线的准线相交于点D，过DB做一条直线.要求证明直线BD与抛物线的对称轴平行，你能想到什么方法？
提示：证明两直线平行，除了直接使用几何知识进行证明之外，还有最常用的两种方法，分别是坐标法和向量法，具体使用哪种方法需要根据实际情况来判定.
回答2：我们可以考虑使用坐标法证明这个结论，使用坐标法的关键是建立合理的平面直角坐标系.以抛物线的对称轴为x轴，抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系Oxy.然后设出抛物线的方程为，通过建立抛物线及直线的方程，运用方程思想进行计算证明，如图所示：
思考3：现在问题变成了要证明直线BD与x轴平行，请同学继续思考，我们有哪些方法可以证明直线BD平行于x轴呢？
提示：如果BD是平行于x轴的直线，那么BD两点的坐标有什么特点呢？
回答3：我们可以通过证明B、D两点的纵坐标相等来证明直线BD平行于x轴.
【师生活动】在面对一个复杂的新问题时，教师带领学生逐步分析题干，理清思路.在一问一答之间，解题思路跃然纸上.为接下来的解题和学习做好了准备.
设计意图：通过数形结合的方式，帮助学生更加直观的理解问题，培养学生直观想象的核心素养.在教师的引导之下，学生分析出解题方法，培养了学生逻辑推理的核心素养.
思考4：由于直线过定点A，我们可以考虑设出A的坐标，从而求出OA的方程.你知道该怎么求出A的坐标及OA的方程吗？
回答4：由于点A在抛物线上，所以我们可以设出点A的坐标为
，则根据直线的两点式方程，可以计算出直线OA的方程为.
思考5：现在我们要求出D的纵坐标，你有什么方法吗？
提示：仔细观察图象，通过直线方程进行计算得出.
回答5：由于点D是直线OA与准线 的交点，所以我们可以联立两个直线方程，得到，解得点D的纵坐标为.
思考6：现在已经知道了点D的坐标，只要再求出点B的纵坐标，然后比较两个点的纵坐标是否相等，即可证明本题.参考上面求解点D坐标的思路，你有什么方法可以求出点B的坐标吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
提示：我们发现点B是直线AF与抛物线的交点，现在已知抛物线的方程，只要再求出直线AF的方程，然后联立两个方程，就可以求出点B的纵坐标.
回答6：已知点F是抛物线的焦点，坐标为，当时，直线AF的方程为.联立直线AF的方程与抛物线的方程，得到，解得点B的纵坐标为 .因为点D的纵坐标与点B的纵坐标是相等的，所以可以证明直线DB平行于x轴.
总结：求解直线过定点问题常用方法如下：
（1）“特殊猜想，一般验证”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；
（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程来计算.
【师生活动】教师逐步引导学生求出直线方程，然后利用方程思想求出焦点D与焦点B的纵坐标.使用问答的形式，帮助学生证明直线BD平行于x轴，即直线BD平行于抛物线的对称轴.最后，给出知识总结，帮助学生掌握求解直线过定点问题常用方法.
设计意图：利用方程思想，结合图象，帮助学生求出B、D两点的纵坐标，培养学生数学运算的核心素养.在教师的引导之下，学生根据B、D两点的纵坐标证明出本题，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：与抛物线有关的轨迹问题.
请看下图，定点B的坐标是（a，-h），BC⊥x轴于点C，M是线段OB上任意一点，MD⊥x轴于点D，ME⊥BC轴于点E，OE与MD相交于点P.
思考1：假设点P的坐标是（x，y），点M的坐标是（x，m），其中，则点E的坐标是（a，m）.你能求出m的值吗？
提示：由于点M的坐标是（x，m），并且点M在线段OB上，所以求出OB的方程，即可求出m的值.
回答1：由于点B的坐标是（a，-h），所以直线OB的方程是 .因为点M在OB上，所以将点M的坐标代入OB的方程，得.
思考2：现在已经知道了m的值，你能求出直线OE的方程吗？
回答2：由于，所以点M的坐标是，点E的坐标是，根据两点式方程可以计算出直线OE的方程为.
思考3：你能求出点P的轨迹方程吗？
合作探究：
1. 先独立思考，然后小组内交流思路；
2. 小组合作完成探究；
3. 选派代表并汇报得出结论.
回答3：我们通过图象观察到，由于MD⊥x轴于点D，OE与MD相交于点P，所以点P的横坐标与点M的横坐标相同，又由于点M的横坐标满足，所以点P的横坐标也满足.由于点P在直线OE上，则点P的坐标也满足.联立方程，消去m，得，这便是点P的轨迹方程.
总结：与抛物线有关的轨迹方程问题，通常涉及到根据给定的条件（如距离、角度、比例等）来求解动点的轨迹方程.这类问题要求我们熟练掌握抛物线的标准方程、性质以及坐标变换、距离公式、中点公式等基础知识.以下是一些常见的与抛物线有关的轨迹方程求解方法：
（1）定义法：
根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点和准线的距离相等.利用这一性质，可以直接求出满足条件的动点轨迹方程.
（2）相关点法（代入法）：
如果动点M(x，y)与另一个已知轨迹上的点N有某种关系（如中点、距离、比例等），且点N的坐标满足某个方程，则可以通过这种关系将N的坐标代入方程，得到动点M的轨迹方程.
（3）参数法：
当动点的坐标之间的关系不易直接找出时，可以引入一个或多个参数来表示动点的坐标，然后根据题目条件建立参数方程，最后消去参数得到普通方程.
（4）交点法：
如果动点是两条曲线的交点，则可以通过联立这两条曲线的方程来求解动点的坐标，进而得到动点的轨迹方程.
【师生活动】教师先从图像出发，通过直观的感受带领学生求出m的值，从而得出点M和点E的坐标.再通过两点式方程求出直线OE的方程.然后，带领学生一起讨论，得出点P的轨迹方程，在讨论过程中，教师巡回解疑.最后，教师总结出解决与抛物线有关的轨迹方程的常用方法，帮助学生进一步增强应用抛物线解题的能力.
设计意图：结合图象，帮助学生求出m的值，进而求出点M与E的坐标，利用两点式方程求出OE的直线方程.培养了学生数学运算与直观想象的核心素养.最后通过讨论，逐步求出点P的轨迹方程，培养了学生逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，与抛物线交于，两点点在第一象限，与抛物线的准线交于点，若，则下列说法正确的是( )
； 为的中点；； ．
A. B. C. D.
解析：设抛物线的准线与轴交点为，过点作垂直轴于点，过点作垂直抛物线准线于点，
直线的斜率为且经过点，即直线的倾斜角为，
点的横坐标，
又，
即，则，故正确；
，
由三角形全等判定定理可知，，
，故F为中点，故正确；
由题意可知，在直角三角形中，，
则．
又．
，故正确，
又，
，故错误．
总结：抛物线的焦点弦问题：
如图
若AB交准线于点P，则 ，
例2：点是抛物线上一动点，若点，记点到直线的距离为，则的值可以取( )
A. B. C. D.
解析：如图，由抛物线定义可知，．
故答案选ABC．
总结：抛物线定义的两种应用：
（1）实现距离转化，根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线的定义可以实现点与点之间的距离与点到准线的距离的相互转化，从而简化某些问题；
（2）解决最值问题，在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.动点到点的距离比它到直线的距离大，则动点的轨迹是( )
A. 椭圆 B. 双曲线 C. 双曲线的一支 D. 抛物线
解析：由题意可知，动点到点的距离等于它到直线的距离，
由抛物线定义知，动点的轨迹是抛物线.故选：．
2.设为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，若，则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
解析：根据题意，不妨设，，因为，可得，所以，故，所以抛物线，所以抛物线的焦点坐标为.故选B．
3.若点到点的距离比它到直线的距离大，则点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
解析：动点到点的距离比它到直线的距离大，动点到点的距离与它到直线的距离相等，根据抛物线的定义可得点的轨迹为以为焦点，以直线为准线的抛物线，其标准方程为.故选D．
4.设圆与轴交于，两点在的上方，过作圆的切线，若动点到的距离等于到的距离，则动点的轨迹方程为( )
A. B. C. D.
解析：由题意可知，，，则：，动点的轨迹为抛物线，且其焦点为，准线为，故点的轨迹方程为．
5.抛物线上到直线距离最近的点的坐标是( )
A. B. C. D.
解析：因为直线的斜率，又因为，则，令，解得，此时，可知抛物线上到直线距离最近的点的坐标是.故选：C.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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