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第八章 立体几何初步
8.1基本立体图形
第1课时
1.了解多面体和旋转体的结构特征，理解棱柱、棱锥和棱台的结构特征.
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类.
3.经历从物体到几何体的抽象过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养.
重点：认识多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
难点：多面体、旋转体、棱柱、棱锥、棱台的结构特征的抽象概括．
（一）创设情境
观看视频
想一想：几何体的组成元素有哪些呢？
师生活动：教师播放视频，让学生初步感受生活中的几何图形.
设计意图：通过生活中的真是物体抽象出的几何图形，让学生了解生活中处处有数学，数学是与我们生活息息相关的．
（二）探究新知
任务1：探究几何体的定义和分类
思考：回忆一下我们在小学和初中接触过哪些几何体？数学是从生活而来的，你能根据经验尝试总结出几何体的概念吗？
答：正方体、长方体、圆柱、圆锥、球.如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.
设计意图：引出本节研究内容，给出几何体的概念以及认识几何体的角度.
说一说：观察下面的图片，尝试描述它们的形状.将这些几何体进行分类，说一说他们具有什么样的结构特征？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：
概念：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，如面ABE，面BAF；两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AE，棱EC；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的轴.图中的旋转体就是由平面曲线OAA'O'绕轴OO'旋转形成的，图中的纸杯、奶粉罐、篮球和足球、铅锤等物体都具有旋转体的形状.
师生活动：教师展示生活中的物品图片，让学生进行对几何体分类，先独立思考，再以小组为单位进行交流分享自己的分类标准.
设计意图：通过对这些物体的分类，让学生从中找到几何体的分类，了解几何体的分类的依据，更好的理解什么是多面体和旋转体，为后面总结棱柱、棱锥、棱台的概念特征分类做好铺垫．
任务2：探究棱柱的定义、分类及其特征.
思考：观察长方体，它的每个面是什么样的多边形？不同的面之间有什么位置关系？类比一般多面体的面、棱、顶点，棱柱的面、棱、顶点有什么特点？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：1.可以发现，它们每个面都是平行四边形（矩形），并且相对的两个面，如面ABCD和面A'B'C'D'，给我们以平行的形象.①有两个面互相平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行.满足这三个特征的多面体叫做棱柱.
2.在棱柱中，两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.
表示：棱柱用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱柱记作棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'.
说一说：尝试从它们的底面多边形的边数或侧面与底面的关系的角度对它们进行分类.
答：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…….
一般地，我们把侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱（图（1）（3）），侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱（图（2）（4））.底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱（图（3））.底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体（图（4））.
思考：尝试用集合之间的关系表示平行六面体、直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
师生活动：教师提出思考，先让学生独立思考，再在小组交流分享.
设计意图：以棱柱为载体，师生共同深入认识一个基本几何体，在教学棱柱过程中，渗透认识一个几何体的基本内容和方法，认识一个几何体，主要从其结构特征，从组成这个几何体的要素以及要素之间的位置关系的角度进行，除把握几何体的结构特征外，一般我们还要弄清其相关概念，表示以及分类，在认识几何体的过程中，要注意实物以及立体模型的作用，在这一过程中，发展学生的数学抽象、直观想象素养.
任务3：探究棱锥的定义、分类及其特征.
思考：观察图中金字塔这样的多面体类比棱柱的学习过程，尝试给出棱锥的相关概念.
答：像图中金字塔这样的多面体，均由平面图形围成，其中一个面是多边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点.
一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥.
这个多边形面叫做棱锥的底面；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示，如图中的棱锥记作棱锥S-ABCD.
说一说：类比棱柱的学习过程，尝试给棱锥进行分类.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：棱锥的底面可以是三角形、四边形、五边形……，我们把这样的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……，其中三棱锥又叫四面体.
底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
师生活动：教师提出问题，类比对棱柱的研究方法，研究棱锥，先让学生独立思考，然后再小组内交流讨论，最后以小组形式汇报展示.
设计意图：类比棱柱的学习，在把握棱锥的结构特征的基础上，了解棱锥及其相关概念、表示和分类.
任务4：探究棱台的定义、分类及其特征.
思考：类比棱柱与棱锥，你能给出棱台的相关概念吗？棱台如何表示，并尝试对它进行分类.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：发现用平行于底面的平面截掉三棱锥上面一部分后可以得到棱台. 所以我们可以通过判断一个多面体侧校的延长线是否交于一点来判断其是否为棱台.
如图，用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台.
在棱台中，原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面.
类似于棱柱、棱锥，棱台也有侧面、侧棱、顶点.
表示：棱台用表示底面各顶点的字母来表示，如图中的棱台记作棱台ABCD-A'B'C'D'，由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……
师生活动：教师提出问题，类比对棱柱的研究方法，研究棱锥，先让学生独立思考，然后再小组内交流讨论，最后以小组形式汇报展示.
设计意图：对于棱台，其定义与棱柱和棱锥不同，它是从截棱锥的角度定义的，教学中要注意到这种差别，可以利用动画展现截棱锥得到棱台的过程，对于棱台的相关概念、分类与表示，可以类比棱柱与棱锥完成.
任务5：探究棱柱、棱台和棱锥的关系
思考：棱台与棱柱、棱锥在结构上有哪些相同点和不同点？当底面发生变化时，它们能否互相转化呢？
答：棱柱、棱锥、棱台都是多面体.棱柱有两个大小相同的底面，棱台有两个大小不同的底面，棱锥有一个底面.
从相互联系的观点看：棱台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到棱柱；棱台的上底面缩小为一个点，就得到棱锥.
设计意图：一是通过建立棱柱、棱锥、棱台之间的联系，引导学生用运动、变化、联系的观点去看棱柱、棱锥、棱台，体会从量变到质变的过程，渗透辩证的观点.
（三）应用举例
例1 将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来；多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.
提示：每次添加一个条件如何将平行六面体变成正方体呢
解：
设计意图：通过例题、练习巩固本节知识，深化对相关概念的理解.
例2 如图，在三棱柱中，，分别是与的中点，试判断几何体是什么几何体，并指出它的底面与侧面．
提示：怎么判断呢？
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是平行四边形，两个底面相互平行；
②棱锥的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形;
③棱台的上、下底面相互平行，各侧棱的延长线交于同一点．
解：∵，分别是，的中点，且，，，．
且，，延长后交于一点．又平面平行于平面，∴几何体是三棱台．其中是下底面，是上底面，四边形，四边形，四边形是侧面．
（四）课堂练习
1.下列说法不正确的是( )
A. 直四棱柱是长方体 B. 正方体是平行六面体
C. 长方体是平行六面体 D. 平行六面体是四棱柱
解：对于A，直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故A错误；
对于B，正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确；
对于C，长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；
对于D，平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故D正确．
故选A．
2.下列关于几何体特征的判断正确的是( )
A. 一个斜棱柱的侧面不可能是矩形
B. 底面是正多边形的棱锥一定是正棱锥
C. 有一个面是边形的棱锥一定是棱锥
D. 平行六面体的三组对面中，必有一组是全等的矩形
解：对于A中，斜棱柱的侧面中，可以有的侧面是矩形，所以A不正确；
对于B中，根据正棱锥的定义，底面是正多边形且顶点在底面的射影为底面多边形的中心的棱锥是正棱锥，所以B不正确；
对于C中，在棱锥中有一个面是 边形，则此面一定是棱锥的底面，所以棱锥一定是 棱锥，所以C正确；
对于D中，平行六面体的三组对面中，可以没有矩形，所以D错误．
故选：C．
3.设：四棱柱是正方体，：四棱柱是长方体，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解：正方体是特殊的长方体，而长方体不一定是正方体，
所以是的充分不必要条件．
故选：A．
4.一个几何体由个面围成，则这个几何体不可能是( )
A. 四棱台 B. 四棱柱 C. 四棱锥 D. 五棱锥
解：对于A，四棱台是上下两个四边形，四个侧面，共有6个面，满足题意；
对于B，四棱柱是上下两个四边形，四个侧面，共有6个面，满足题意；
对于C，四棱锥有一个底面，四个侧面，共有5个面，不满足题意；
对于D，五棱锥有一个底面，五个侧面，共有6个面，满足题意．
故选：C
5.如图，在正四棱台中，与棱平行的棱有 条，分别是 ．
解析：因为正四棱台中两底面都是正方形，侧面是等腰梯形，
所以，，
所以
故与棱平行的棱有，，，共条．
故答案为：；，， ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
认识一个几何体，基本思路：
先由实物抽象出几何体，再从几何体的整体人手，关注每个面的形状、面与面之间的关系，归类总结出它的概念，研究其表示、分类以及相互之间的关系.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.第八章 立体几何初步
8.1基本立体图形
第2课时
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的的结构特征.
2.类比几何体棱柱、棱锥、棱台的研究方法，经历从物体到几何体的抽象过程，提升直观想象和数学抽象素养.
重点：圆柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征．
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的抽象概括.
（一）创设情境
观看视频
让我们一起探究圆柱圆锥圆台和球吧！
师生活动：教师播放视频，让学生初步感受生活中的旋转体.
设计意图：通过生活中的真是物体抽象出的几何图形，让学生了解生活中处处有数学，数学是与我们生活息息相关的.
（二）探究新知
回顾：研究棱柱、棱锥、棱台的结构特征的方法是什么？什么是旋转体？
答：先从几何实物出发感受空间几何体的整体结构，然后再从几何体的组成要素及位置关系出发，抽象出空间几何体的结构特征.
一条平面曲线（包括直线）绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
这条定直线叫做旋转体的轴.
师生活动：教师先让学生回顾之前所学，为这节课的新知做好铺垫.
设计意图：回顾上节课的研究方法和旋转体的概念，为圆柱、圆锥、圆台的学习做好铺垫.
任务1：探究圆柱的定义和特征
思考：请你例举生活中的圆柱体，类比旋转体的概念，尝试给出圆柱的概念.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，旋转轴叫做圆柱的轴.垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，平行于轴的边都叫做圆柱侧面的母线.圆柱用表示它的轴的字母表示，如图中的圆柱记作圆柱.
任务2：探究圆锥的定义和特征.
思考：请你例举生活中的圆锥，并观察圆锥的结构特征给出它的概念.尝试在图中标出圆锥的轴、底面、侧面、母线.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：旋转轴叫做圆锥的轴；直角三角形的另一条直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；直角三角形的斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；无论旋转到什么位置的斜边都叫做圆锥侧面的母线. 表示：圆锥.
师生活动：教师提出问题，学生以小组为单位进行合作，先独立思考，再小组讨论分享.
设计意图：通过对事物的观察，归纳得出定义和特征，培养了学生的数学抽象的学科核心素养能力.
任务3:探究圆台的定义和特征.
思考：请你例举生活中的圆台，并类比棱台给出圆台的概念.尝试在图中标出圆台的轴、底面、侧面、母线.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.表示：圆台.
师生活动：教师提出问题，学生以小组为单位进行合作，先独立思考，再小组讨论分享.
设计意图：通过对事物的观察，归纳得出定义和特征，培养了学生的数学抽象的学科核心素养能力.
探究：圆锥可以由直角三角形旋转得到，圆台可以用平行于圆锥底面的平面去截圆锥得到，那么圆台是否也可以由平面图形旋转得到？如果可以，由什么平面图形旋转得到？如何旋转？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：用平行于直角边的直线去截直角三角形，可以得到直角梯形.圆台可以由直角梯形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体就是圆台.
任务4：探究圆柱、圆台和圆锥的关系
思考：通过上节的学习我们已经知道了棱柱棱锥棱台的关系，那么圆柱圆锥圆台之间有什么样的关系呢？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：圆台的上底面扩大，使上下底面全等，就得到圆柱；圆台的上底面缩小为一个点，就得到圆锥.
任务5：探究球的定义和特征.
思考：请你例举生活中的球并尝试给出球的概念.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球，半圆的圆心叫做球的球心；连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径；连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.
表示：球常用表示球心的字母来表示，如图中的球记作球O.
任务6：探究简单组合体.
思考：图中各几何体是由哪些简单几何体组合而成的？
答：简单组合体的构成有两种基本形式： 一种是由简单几何体拼接而成，如图（1）（2）中物体表示的几何体；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，如图（3）（4）中的几何体.
现实世界中的物体大多是由具有柱体、锥体、台体、球等结构特征的物体组合而成.
设计意图：通过观察生活中的物体，让学生说出构成这些物体的几何体构成，可以培养学生直观想象的数学核心素养能力.
（三）应用举例
例1 判断下列说法是否正确，并说明理由：
（1）矩形绕一直线旋转所成的旋转体是圆柱；
（2）直角三角形绕其一边所在的直线旋转所成的旋转体是圆锥；
（3）直角梯形绕其一腰所在直线旋转所成的旋转体是圆台；
（4）圆面绕其任意一条直径旋转都能形成球．
解：（1）错．矩形绕其一边所在直线旋转形成的才是圆柱．
（2）错．直角三角形绕斜边所在的直线旋转形成的是两个同底圆锥的组合体．
（3）错．直角梯形绕垂直于底的腰所在直线旋转形成圆台，若绕另一腰所在直线旋转形成的是组合体．
（4）正确．符合球的定义．
例2 已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm，2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm．求圆台的母线长．
解：如图是几何体的轴截面，由题意知2 cm，＝1 cm，＝12 cm．
由，得2=6（cm），
∴（cm）．
∴圆台的母线长为6 cm．
总结：求圆台母线长
求法：平行线段成比例
步骤：①找平行线②线段成比例③求解
例3请描述如图所示的组合体的结构特征．
解：（1）是由一个圆锥和一个同底的圆台拼接而成的组合体；
（2）是由一个圆台挖去一个同底的圆锥后剩下的部分得到的组合体；
（3）是由一个四棱锥和一个同底的四棱柱拼接而成的组合体．
例4 如图，以直角梯形ABCD的下底AB所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，说出这个几何体的结构特征.
解：几何体如图所示，其中，垂足为E.
这个几何体是由圆柱BE 和圆锥AE组合而成的，其中圆柱BE的底面分别是B和E，侧面是由梯形的上底CD绕轴AB旋转形成的；圆锥AE的底面是E，侧面是由梯形的边AD绕轴AB旋转而成的.
设计意图：通过例题、练习巩固本节知识，深化对相关概念的理解.
（四）课堂练习
1.已知圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长度为，则底面半径为( )
A. B. C. D.
解：圆锥的侧面展开图是一个半圆，
由已知可得，
，解得．
故选A．
2.(多选)以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是( )
A. 两个圆锥拼接而成的组合体 B. 一个圆台
C. 一个圆锥 D. 一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
解：以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；
以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除，；故选：．
3.一个球体被平面截下的一部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高，球缺曲面部分的体积，其中为球的半径，为球缺的高．如图，若一个半径为的球体被平面所截获得两个球缺，其高之比为，则体积之比 ．
解：因为 ， ，所以 ，
则 ．故答案为： ．
4.我国古代数学名著九章算术对许多几何体的体积计算问题有深入的研究，如方亭、圆亭、鳖臑、阳马等，其中圆亭是指圆台如图，在圆亭的轴截面中，，点为弧上一点，且，若，则 ．
解：连接，，，如图，
因为在等腰梯形中，，
所以，，则四边形为平行四边形，
所以．
因为，，所以，
在中，．
由，，可得，D.
在中，，
解得，故BC．
5.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因为一丈等于十尺，则该圆柱的高为尺，底面周长为尺，有葛藤自点处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点处，则问题中葛藤的最短长度是 尺
解：如图，一条直角边即枯木的高长尺，另一条直角边长尺，
因此葛藤的最短长度为尺．故答案为：．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固圆柱、圆锥和圆台、球以及简单组合体的定义和特征，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
认识一个几何体，基本思路：先由实物抽象出几何体，类比棱柱、棱锥、棱台结合旋转体的概念逐个探究了圆柱、圆锥、圆台、球的相关知识.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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