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第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第1课时
1.类比指对数函数、幂函数的研究方法，通过观察、探究正余弦函数的图象得到正余弦函数的性质：通过直观感知——操作确认——严格证明的认识方法体会正余弦函数的周期性“周而复始”的特点，然后从周期性出发，探究奇偶性、对称性.
2.初步掌握用正余弦函数的性质来简化正余弦函数的研究过程，并灵活应用.通过观察图象、诱导公式恒等变形等数形结合的手段，培养学生自主探究和逻辑思维、体会整体代换（换元法）的精妙之处.
重点：结合图象探究、理解正余弦函数的周期性、奇偶性与对称性.
难点：理解周期函数的意义、最小正周期的意义．
（一）创设情境
情境：你能举出生活中的周而复始，循环往复现象吗？
我们称这种周而复始，循环往复的变化规律为周期性，那么正弦函数、余弦函数是否有这样的周期性呢
设计意图：从生活中的简单例子引入本节新课，让学生意识到数学与生活息息相关，培养学生学习数学的兴趣.
（二）探究新知
任务1：了解正弦函数、余弦函数的周期性
思考：回忆正弦函数（余弦函数）图象的作图顺序，我们先画哪个区间的图象？为什么？
答：先画区间[0，2π]上的图象，再画整个定义域的图象.
思考：由诱导公式一： .结合正(余)弦曲线，可以看出正(余)弦函数怎样的特征 图象变化趋势是怎样的
师生活动：教师利用多媒体演示图片，以正弦函数为例，在以2π长度的区间内的一段函数图象在整个定义域区间内“平移”得到整个正弦函数.也就是说：每隔2π个单位长度，函数值就一样（即纵坐标相同的点）.同学不难发现，这一点可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映，即自变量的值增加2π整数倍时所对应的函数值，与x所对应的函数值相等.即()
设计意图：通过观察图象，从“形”上对周期性有初步了解，再通过诱导公式1定性的分析函数的周期性，归纳总结确定周期函数的对应法则满足的条件.这样从“形”到“数”为周期性定义的给出做好铺垫.
形成概念：一般地，设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D，都有x＋T∈D，且 f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫作这个函数的周期．
师生活动：学生观察正弦函数图象，教师引导学生得到2π就是它一个周期.同理请学生思考余弦函数的一个周期可以是多少，选派学生代表来回答.
注意：周期函数的周期不止一个.如：以及 都是正弦函数的周期；
事实上且 常数 2kπ 都是它的周期.
如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
设计意图：最小正周期的介绍是在学生对周期函数有一个初步认识的基础上，一切水到渠成．
总结：正弦函数是周期函数，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
类似地，余弦函数是周期函数，2kπ( k∈Z，且 k ≠ 0)都是它的周期，最小正周期是2π.
思考：，
那么是正弦函数的一个周期吗？为什么？
答：不是，因为当时，，
所以，不是正弦函数的一个周期.
设计意图：高一的学生对于“任意”“存在”的理解是比较困难的，教学中让更多的学生参与概念的生成过程，让学生提出想法，并让学生辨析这个想法是否科学.充分认识概念中提到的关键条件，特别是对“任意”二字的理解.
思考：如果函数f(x)的周期为T，那么2T是不是它的周期？3T、4T呢？你能发现什么规律吗？
答：2T是它的周期，3T、4T也是它的周期，kT(k∈Z且k≠0)都是函数的周期．
思考：一个周期函数的周期有多少个？周期函数的图象具有什么特征？
答：有无数个，周期函数的图象周期性重复出现.
设计意图：通过对函数周期不唯一性的探究，让学生认识到函数的周期不止一个，它们有无数个周期，周期函数的图象周期性重复出现.
任务2：探索正弦函数、余弦函数的奇偶性
探究：仔细观察正弦、余弦函数的图象，说说它们分别关于什么对称？
答：正弦曲线关于原点O对称，所以正弦函数是奇函数；
余弦曲线关于y轴对称，所以余弦函数是偶函数.
思考：如何从代数角度证明正弦函数、余弦函数的奇偶性？
证明：函数定义域为
为奇函数.
函数定义域为
为偶函数.
总结：正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
设计意图：从几何与代数的角度，分别探究正弦函数与余弦函数的奇偶性，加深学生对正余弦函数奇偶性的理解.
任务3. 探索正弦函数、余弦函数的对称性.
探究：容易知道，正弦函数是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心.除原点外，正弦曲线还有其他的对称中心吗？如果有，那么对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，那么对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？对余弦函数，讨论上述同样的问题.
答：正弦曲线的对称中心；对称轴
余弦曲线的对称中心；对称轴
师生活动：学生通过观察图象先独立思考，再小组讨论教师适时点拨，共同总结归纳.
设计意图：学生通过观察正弦函数、余弦函数的图象，尝试总结对称性，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象、等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.
（三）应用举例
例1求下列函数的周期：
，x
f(x)=cos2x，x
解：（1）任意 x∈，有 3(x+ 2π ) = 3x ，
由周期函数的定义可知，y = 3x，x∈的最小正周期为2π ；
(2)令 z = 2x，由 x∈，得 z∈，且 y=cosz的周期为2π；
由周期函数定义知，的周期为π；
（3）令，由 ，得 ，且 的周期为即周期为2π；
即：
所以，.
由周期函数的定义知，原函数的周期为 4π .
设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对周期概念的理解.并通过运用周期定义的证明来训练同学们的逻辑推理素养.
总结：
1.形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A，ω，φ是常数， A≠0，ω≠0)的函数的周期为
2.正弦函数、余弦函数的周期性，实质上是由终边相同角所具有的周期性决定的.
设计意图：推导出三角函数模型的周期，让学生明确只有ω对周期产生影响，培养学生由特殊到一般的归纳能力，以及严密地逻辑推理能力.
总结：对周期函数中“周期” 理解
自变量x本身加的常数才是最小正周期；即f (2x+T)= f (2x)中T不是最小正周期；如：f (2x+T)= f [2(x+)]=f (2x)，即 才是最小正周期.
② 周期函数的周期不唯一；若T是函数f (x)的最小正周期，则kT (k∈Z且k ≠ 0) 也是函数f (x)的周期；
③ 不是所有的周期函数都有最小正周期；对于函数f(x)=c (c为常数，x∈R)所有非零实数T都是它的周期，故最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小正周期.
例2 判断下列函数的奇偶性，并说明理由.
（1）y = 2sinx，x∈[0，2π]； （2）y = 1 – cosx，x∈R；
（3）y = x + sinx，x∈R； （4）y = – sinx·cosx，x∈R.
解：（1）定义域关于原点不对称，所以函数 y = 2sinx，x∈[0，2π] 无奇偶性；
（2）定义域关于原点对称，又 y = f (x)且f (– x) = 1 – cosx = f (x)；偶函数；
（3）定义域关于原点对称，又 f (– x) = – x – sinx = – f (x)；奇函数；
（4）定义域关于原点对称，又 f (– x) = sinx · cosx = – f (x)；奇函数.
总结：
1.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：
一看函数的定义域是否关于原点对称；二看f (x)与f (-x)的关系.
2.对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
设计意图：巩固学生对奇偶性的理解.
例3 已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.图象关于点对称 B.图象关于点对称
C.图象关于直线对称 D.图象关于直线对称
解：由题可得，设，解得，
所以函数f(x)的对称中心为.
设，解得，
所以函数f(x)的对称轴为.
通过对比选项可知，f(x)的图象关于点对称.
故选B.
设计意图：加深学生对正弦函数、余弦函数的对称性的理解，突出重点.
例4 定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当时，f(x)=sin x，则等于（ ）.
A. B. C. D.
解：
故选D.
设计意图：在掌握正弦函数与余弦函数的周期性与奇偶性基础上，灵活运用，考查学生的融会贯通情况和综合素养.
（四）课堂练习
1.已知直线和都是函数图象的对称轴，则的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
解：由题可知，当或时，取得最值，
对于选项对应的函数，，，符合题意，
验证可知，，选项对应的函数均不符合题意．
故选：．
2.已知函数的最小正周期为，则图象的一个对称中心的坐标为( )
A. B. C. D.
解：由，得，所以．
令，则，
当时，，
所以图象的一个对称中心的坐标为．
故选D.
3.下列函数中最小正周期为，且为偶函数的是( )
A. B. C. D.
解：对于，定义域为，因为，所以函数为偶函数，因为的图象是由的图象在轴下方的关于轴对称后与轴上方的图象共同组成，所以的最小正周期为，所以A正确，
对于，定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以B错误，
对于，定义域为，，最小正周期为，因为，所以函数为偶函数，所以C正确，
对于，定义域为，最小正周期为，所以D错误，
故选：
4.设函数是以为最小正周期的周期函数，且当时，求，的值．
解：的最小正周期为，且当时，．
，
．
5.已知函数．
求函数的定义域并判断函数的奇偶性
求函数的最小正周期．
解：由，得，，
所以函数的定义域为，
．
因为，且函数的定义域关于坐标原点对称，故函数为偶函数．
因为，
所以的最小正周期为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性和对称性，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：及时巩固所学，加深理解.第五章 三角函数
5.4.2正弦函数、余弦函数的性质
第2课时
1.了解正弦函数和余弦函数的单调性，并能利用单调性比较大小.
2.了解正弦函数和余弦函数的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值.
3.借助图象理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上并延伸至R的性质.
4.体会数学抽象的过程，提升逻辑推理和数学运算素养.
重点：正弦函数、余弦函数的单调性、最值，研究函数的思想方法.
难点：利用正弦函数、余弦函数的周期性来研究它们的单调性、最值．
（一）创设情境
情境：过山车是一项富有刺激性的娱乐工具，该运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下过山车那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)，几个循环路径．
这种爬升和滑落体现了函数的什么性质？
回顾：1.正弦函数、余弦函数的周期性：
（1）
（2）
2.正弦函数、余弦函数的奇偶性：正弦函数为奇函数；余弦函数为偶函数.
3.正弦函数、余弦函数的对称性：
（1）y=sinx对称中心为(kπ，0)，k∈Z对称轴为
（2）y=cosx对称中心为(，0)，k∈Z对称轴为x=kπ，k∈Z
设计意图：从生活中的简单例子引入本节新课，让学生意识到数学与生活息息相关，培养学生学习数学的兴趣.
探究新知
任务1：探究正弦函数的单调性与最值
思考：上节课已经学习过周期性、奇偶性和对称性，那还有哪些性质需要我们研究？
答：单调性、最值
思考：利用周期性，我们可以先研究正弦函数一个周期内的单调性再进行推广，你觉得选取哪一段比较合适？
答：
探究：观察正弦函数y=sinx，的图象，研究函数的单调性与最值.
师生活动：观察正弦函数y=sinx，的图象.
答：当时，曲线逐渐上升，是增函数，sinx的值由-1增大到1；
当时，曲线逐渐下降，是减函数，sinx的值由1减小到-1.
当x=时，ymax=1；当x=或时，ymin=1
用表格表示为：
师生活动：通过观察图象，引导学生用语言描述函数图象中蕴含的变化．
设计意图：引导学生认真观察图象，并用自己的语言叙述．
思考：根据正弦函数的周期性，你能说说正弦函数y=sinx，的单调性吗？
答：当时，正弦函数y=是增函数，函数值由-1增大到1.
当时，正弦函数y=是减函数，函数值由1减小到-1.
师生活动：引导学生观察，先找到一个单调区间，再寻找每一个单调区间的之间的关系，然后用完善的形式表达出来．提醒学生区间中的k是整数，这一点不可缺少．
设计意图：将正弦函数的单调性总结归纳出来．
总结：正弦函数 y = sin x，x∈R的单调性
上单调递增；上单调递减.
正弦函数 y = sin x，x∈R的最值
当x=，取到最大值：1；当x=，取到最小值：-1；
任务2：探究余弦函数的单调性与最值
探究：类比正弦函数研究单调性（最值）的方法，请大家以小组形式进行探究余弦函数的单调性（最值）
（1）画出余弦函数在区间 [– π，π]上的图象，并总结函数的特征，归纳函数的性质（单调性、最值）；
（2）画出余弦函数在定义域 (x∈R)上的图象，总结归纳函数的性质.
要求：先独立思考，再交流讨论.
总结：余弦函数 y =cos x，x∈R的单调性
上单调递增；上单调递减.
余弦函数 y = cos x，x∈R的最值
当x=，取到最大值：1；当x=，取到最小值：-1；
总结：正弦函数、余弦函数的图象与性质
函数 y=sinx y=cosx
图形
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
周期性 最小正周期为2π 最小正周期为2π
奇偶性 奇函数 偶函数
对称性 对称中心(kπ，0)(k∈Z) 对称轴为直线x=+kπ(k∈Z) 对称中心(+kπ，0)(k∈Z) 对称轴为直线x=kπ(k∈Z)
最值 时， 时， 时， 时，
单调性 增函数 减函数 增函数 减函数
设计意图：学生通过观察正弦函数、余弦函数的图象，尝试总结性质，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.
（三）应用举例
例1下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出最大值、最小值时自变量x的集合，并求出最大值、最小值.
（1）y = cosx+1，x∈R； （2）y = -3sin 2x，x∈R.
解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值
（1）使函数y = cosx+1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y = cosx，x∈R取得最大值的x的集合{x|x=2kπ，k∈Z}；
使函数y = cosx+1，x∈R取得最小值的x的集合，就是使函数y = cosx，x∈R取得最小值的x的集合{x|x=(2k+1)π，k∈Z}.
函数y = cosx+1，x∈R的最大值是1+1=2；最小值是-1+1=0.
（2）令z=2x，使函数y = -3sin 2x，x∈R取得最大值的z的集合，就是使y =sinz，z∈R取得最小值的z的集合.
由，得.所以，使函数取得最大值的x的集合是 .
同理，使函数y = -3sin 2x，x∈R取得最小值的x的集合是.
函数y = -3sin 2x，x∈R的最大值是3，最小值是-3.
总结：
1.求解例题的基本依据是正弦函数、余弦函数的最大（小）值.
2.对于形如y=Asin(ωx+φ)+B的函数，一般通过变量代换（如设z=ωx+φ）化归为y=Asinz+B的形式，然后利用正弦函数的最大（小）值求解.
3.余弦函数类似.
设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对最大小值的理解.并掌握取得最值时的x的取值.
例2 不通过求值，比较下列各数的大小.
（1） sin ( ) 和 sin ( )； （2）cos ( ) 和 cos ( ).
分析：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小.为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小.
解：（1）因为 ，
正弦函数 y = sin x 在上是增函数，所以
sin ( ) >sin ( ).
（2）cos ( )＝cos，
cos ( )=cos ( 6 )=cos ，
∵π＜＜＜2π，且函数y＝cos x在[π，2π]上单调递增，
∴cos＜cos，即cos ( )师生活动：学生独立完成，教师进行指导.本例中，对于（1），可直接应用函数的单调性求解；对于（2），首先要将所给的角化简，使之位于同一个单调区间内，即转化为第（1）题之后求解．
设计意图：初步应用正余弦函数的单调性解决比较大小的问题．
总结：比较三角函数值大小的应对策略
1.比较同名三角函数值的大小时，首先应把三角函数转化为同一单调区间上的同名三角函数，利用单调性，由自变量的大小，确定函数值的大小.
2.比较不同名的三角函数的大小时，应先化为同名三角函数，然后再进行比较.
例3 求函数 的单调递增区间．
分析：令 ，当自变量x的值增大时，z 的值也随之增大，因此若函数 y = sin z 在某个区间上单调递增，则在相应的区间上也一定单调递增；
解：令 z =，x∈[ – 2π，2π ]，则
因为 y = sin z，的单调递增区间是 ，
且由，得
所以，函数 ，的单调递增区间是.
师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解．
设计意图：类比例3求解，进一步熟练换元转化的思想方法；通过变换自变量系数的符号，提高学生思维的深刻性，提升学生的逻辑推理和数学运算素养．
总结：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间的应对策略
1.求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的函数的单调区间时，若ω为负数，则要先把ω化为正数．对于y＝Asin(ωx＋φ)，如果ω<0，可以利用正弦函数为奇函数将负号移到函数符号外面，对于y＝Acos(ωx＋φ) ，如果ω<0，可以利用余弦函数为偶函数将负号直接调整．
2.当A＞0时，把ωx＋φ整体放入y＝sin x或y＝cos x的单调增区间内，求得的x的范围即函数的增区间；整体放入y＝sin x 或y＝cos x的单调减区间内，可求得函数的减区间．
当A＜0时，上述方法求出的区间是其单调性相反的区间．
例4 (1)y=cos(x+)，x∈[0，]；(2)y=cos2x-4cos x+5.
解：(1)由x∈[0，]可得x+∈[，]，
函数y=cos x在区间[，]上单调递减，所以函数的值域为[-，].
(2)y=cos2x-4cos x+5，令t=cos x，则-1≤t≤1.y=t2-4t+5=(t-2)2+1，
当t=-1时，函数取得最大值10;
当t=1时，函数取得最小值2，
所以函数的值域为[2，10].
总结：求三角函数值域的常用方法
1.求解形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)的函数的最值或值域问题时，利用正、余弦函数的有界性(－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．
2.求解形如y＝asin2x＋bsin x＋c(或y＝acos2x＋bcos x＋c)，x∈D的函数的值域或最值时，通过换元，令t＝sin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t＝sin x(或cos x)的有界性．
设计意图：在掌握正弦函数与余弦函数的单调性与最值基础上，灵活运用，考查学生的融会贯通情况和综合素养.
（四）课堂练习
1.函数的值域为 ( )
A. B. C. D.
解：令，，
则．
，
．
2.下列关于函数，的单调性的叙述，正确的是( )
A. 在上单调递增，在上单调递减
B. 在上单调递增，在上单调递减
C. 在及上单调递增，在上单调递减
D. 在上单调递增，在及上单调递减
解：正弦函数在及上单调递增，在上单调递减．
所以函数在及上单调递增，在上单调递减．
故选C．
3.若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是
解：，
，
，
又，
，
又在区间上是单调函数，
，
解得
故答案为：．
4.已知函数，其中
若对任意都有，求的最小值；
若函数在区间上单调递减，求的取值范围．
解：由已知在处取得最大值，，
解得，，又，当时，的最小值为
设，，
，
由已知，，
又
.
5.已知函数是奇函数．
求函数最大值与最小值，并写出取得最大值、最小值时自变量的集合；
求函数，的单调递增区间．
解：由，得，故，，
故，而，
故时，，
故，
当即时，取最大值，
当即时，取最小值，
故取最大值时，自变量的取值集合是，
取最小值时，自变量的取值集合是；
由题意，，
，令，可得：，令，可得：，
故函数，的单调递增区间为
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固正弦函数、余弦函数的单调性与最大小值，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
函数 y=sinx y=cosx
图形
定义域 R R
值域 [-1，1] [-1，1]
最值 时， 时， 时， 时，
单调性 增函数 减函数 增函数 减函数

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