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第五章 三角函数
5.4.3正切函数的性质与图象
1.理解并掌握正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性，培养数学抽象的核心素养；
2.会利用正切线及正切函数的性质作正切函数的图象，提升直观想象的核心素养；
3.能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题，提升数学运算的核心素养
重点：正切函数的周期性、定义域、值域、奇偶性和单调性 .
难点：能够应用正切函数的图象和性质解决相关问题．
（一）创设情境
情境：孔子东游，见两小儿辩斗，问其故.
一儿曰：“我以日始出时去人近，而日中时远也。”
一儿曰：“日初出大如车盖。及日中，则如盘盂，此不为远者小而近者大乎？”
一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？” 孔子不能决也。两小儿笑曰：“孰为汝多知乎？”
事实上，中午的气温较早晨高，主要原因是早晨太阳斜射大地，中午太阳直射大地.在相同的时间、相等的面积里，物体在直射状态下吸收的热量多，这就涉及太阳光和地面的角度问题.
研究太阳光和地面的角度问题常常用到那个函数的性质与图象呢？
答：正切函数.
回顾：结合所学，你能说出正弦函数（余弦函数）的图象与性质的研究过程吗？
答：作函数图象→根据图象研究性质
y=sin x，x∈[0，2π]→y=sin x，x∈R→正弦函数的性质
根据研究正弦函数和余弦函数的经验，你认为应该如何研究正切函数的图象和性质？
答：正切函数的定义→部分性质→图象
研究图象→正切函数的性质
设计意图：通过重温“正弦函数的图象”，类比得出探索正切函数的图象与性质的可能思路：思考正切函数的部分性质（定义域和周期性），借助单位圆作出一个周期内的。第二步，根据图象探索新的性质.
探究新知
任务1：探索正切函数的周期性、奇偶性
思考：根据已有的知识准备，你能得到正切函数的哪些性质？
要求：
1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
答：定义域：
周期性：由诱导公式且可知：
正切函数是周期函数，周期是π；
奇偶性：由诱导公式且可知，
正切函数有奇偶性，是奇函数.
师生活动：通过回顾诱导公式，引导学生归纳正切函数的周期性与奇偶性．
设计意图：通过对已有的知识进行回顾，探究正切函数的性质，并为利用这些性质画出正切函数的图象作出铺垫．
任务2：探索正切函数的图象
探究：如何画出函数, ∈ 的图象的图象？
答：设∈ ，在直角坐标系中画出角的终边与单位圆的交点B（, ）过点B作轴的垂线，垂足为M；过点作轴的垂线与角的终边交于点，则
；由此可见，当∈ 时，线段AT的长度就是相应角的正切值．我们可以利用线段AT画出函数, ∈ 的图象.
如图所示：
当∈ 时，
1.随着x的增大，线段AT的长度也在增大
2.且当x趋向于时AT的长度趋向于无穷大
3.函数, ∈的图象从左向右呈不断上升趋势，且向右上方无限逼近直线 x =.
师生活动：学生观察图象，讨论交流.
思考：你能借助以上的结论，并根据正切函数的性质，画出正切函数的图象吗？
答：根据正切函数是奇函数，只要画出, ∈的图象关于原点的对称图形，就可得到, 的图象.
借助正切函数的周期性，只要把函数, 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到函数的图象.
思考：类比五点法作图，正切函数的图象是否也能抓住几个关键点？
答：“三点”：
“两线”：直线
师生活动：引导学生观察总结图象特征：正切曲线是由相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成，每支曲线向上、向下可无限接近相应的两条直线。
设计意图：培养学生的总结归纳能力．
任务3：探索正切函数的单调性与值域
做一做：观察正切函数的图象，完成下列填空.
函数
单调性 上都是单调递增
值域 R
总结：正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线 所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的，图象无限接近这些直线但永不相交.
思考：正切函数在在整个定义域内是增函数吗？
正切函数在每一个区间上都单调递增；但是在整个定义域上不是增函数.
总结：
解析式 y=tanx
图象
定义域
值域 R
周期
奇偶性 奇函数
对称性 对称中心：
单调性 在开区间内都是增函数
设计意图：通过对正切函数图象的分析，归纳总结单调性和最值，使学生理解正切函数的性质，突破难点．发展学生直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养．
任务4：探索正切函数的对称性
探究：正切函数是奇函数，而奇函数的图象关于原点对称，除了原点之外，正切函数还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？
师生活动：学生观察正切函数的图象，分组讨论，共同归纳总结.
总结：正切函数的对称中心是；无对称轴.
设计意图：学生通过观察正切函数的图象，尝试总结正切函数的对称性，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象等核心素养，同时培养他们的团队合作意识.
（三）应用举例
例1求函数的定义域．
解：由，得，
所以函数的定义域为.
总结：函数的定义域是
设计意图：通过例1的巩固训练，让学生加深对正切函数定义域的理解.并掌握“整体代换”思想.
例2 求函数的值域.
解：由题意，得，
因为，
所以，
所以原函数的值域为.
总结：
1.求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tanx有意义，即，(k∈)，而对于构建的三角函数不等式，常利用三角函数的图象求解．
2.求解与正切函数有关的函数的值域时，要注意函数的定义域，在定义域内求值域；对于求由正切函数复合而成的函数的值域时，常利用换元法，但要注意新“元”的范围．
例3 比较大小：tan1与tan4．
解：因为，
因为，
且y＝tanx在区间 上单调递增
所以，，
即，.
师生活动：师生共同分析此问题，然后共同完成求解．
设计意图：初步应用正切函数的单调性解决比较大小的问题．
总结：运用正切函数单调性比较大小时，先把各角转化到同一个单调区间内，再运用单调性比较大小.
例4 求函数的定义域、周期及单调区间．
分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论.
解：自变量的取值应满足;
+；即+2
所以，函数的定义域是
设z=，又，
所以=
即 =
因为,
都有=
所以，函数的周期为2．
由
解得
因此，函数在区间(, ), k∈, 上单调递增．
设计意图：通过对典型问题的分析解决，提高学生对函数性质的理解。发展学生数学建模、逻辑推理，直观想象、数学抽象、数学运算等核心素养.
（四）课堂练习
1.函数的图象上的相邻两支曲线截直线所得的线段长为，则的值是 ( )
A. B. C. D.
解：的图象的相邻两支截直线所得的线段长度为函数的最小正周期，
所以该函数的周期是，
，
解得，
故选C．
2.若函数的图象与直线没有交点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
解：函数的图象与直线没有交点．
若函数的图象与直线没有交点，
则，，又，
则的最小值为．
故选：．
3.已知函数，下列结论正确的是( )
A. 函数恒满足
B. 直线为函数图象的一条对称轴
C. 点是函数图象的一个对称中心
D. 函数在上单调递增
解：对于，根据正切型函数的周期公式，的最小正周期为，A正确；
对于，正切型函数无对称轴，B错误；
对于，由，所以点是函数图象的一个对称中心，C正确；
对于，区间的长度为，而的最小正周期为，故在该区间上不可能单调递增，D错误．
故选AC．
4.已知函数．
求的最小正周期和单调递减区间；
试比较与的大小．
解：函数，
所以最小正周期．
由，，
解得，
单调递减区间为，．
因为，
又，函数在上单调递减，
所以，即．
5.设函数．
求函数的定义域、最小正周期．
求不等式的解集．
解：对于函数，
由，，解得，，
所以函数的定义域为，
函数的最小正周期；
由不等式，得，，
解得，，
所以不等式的解集为．
设计意图：通过课堂练习，巩固本节所学知识，巩固对正切函数图象与性质的理解，增强学生的直观想象、数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？

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