资源简介

教案标题：幂函数
【教学目标】
1.了解幂函数的概念,会画出幂函数,,,,的图象,根据上述幂函数的图象,了解幂函数的变化规律和性质.
2.了解几个常见的幂函数的性质,会用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数式值的大小.
3.进一步加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的体验，培养学生的观察、分析、归纳能力，了解“类比”、“特殊到一般”、“数形结合”等思想方法在研究问题中的作用.
【教学重点】从具体幂函数归纳幂函数概念、图象及性质.
【教学难点】运用数形结合思想归纳幂函数的性质.
【教学方法】自主学习与探究学习相结合
【教学手段】多媒体辅助教学
【核心素养】数学抽象、直观想象、逻辑推理
【教学过程】
创设情境，引入课题
我们先看下面几个生活实际问题：
1.如果某人购买了每千克1元的蔬菜千克，则需要的钱数为 元；
2.如果某正方形的边长为，则面积为 ；
3.如果某正方体的棱长为，则体积为 ；
4.如果某正方形的面积为，则边长为 ；
5.如果某人秒内骑车行进了1公里，骑车的速度为公里／秒，那么 ；
问题：上述函数解析式有什么共同特征？
预案：
〖设计意图〗由生活实际问题入手，从熟悉的情景引入，激发学生学习兴趣，符合学生认知特点.
形成概念,探索性质
幂函数的概念：形如的函数叫做幂函数，其中是自变量，且
问题1：判断下列函数中哪些是幂函数？
① ②
③ ④
〖设计意图〗巩固概念，强化学生对概念形式特征的把握，总结幂函数的特征：整体为幂，变量在底，系数为1.同时调动学生思考问题的积极性，培养学生的创造性思维.
1.借助图象，直观感知
下面我们通过举例来研究这类函数的一些性质，
探究1：在同一坐标系内作出幂函数，，，的图象；
探究2：在同一坐标系内作出幂函数和的图象；
探究3：在同一坐标系内作出幂函数和的图象；
〖设计意图〗学生描点法作图，最后教师用几何画板展示，动态演示值变化时幂函数图象的变化，引导学生观察图象，归纳概括幂函数的图象变化规律及性质.
总结幂函数的性质：
⑴所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点；
⑵当时，图象都过点和且在上是增函数；
⑶当时，图象过点且在上是减函数；
2.探究规律，理性认识
问题：幂函数图象在四个象限分布情况如何，为什么会有这样的分布？
留给学生充足的时间观察函数图象并进行思考.
预设：第一象限一定有幂函数的图象；第四象限一定没有幂函数的图象；而第二、三象限也可能没有图象. 当时，不论取何值，函数值都不可能为负值.所以第四象限无函数图象.
问题：幂函数，，与的图象有何不同？
预设：当时，，幂函数的图象都在轴的下方，形状向下凸，越大，下凸的程度越大；当时，，幂函数的图象都在轴的上方，形状向上凸，越小，上凸的程度越大.
〖设计意图〗通过微问题链训练学生的观察能力和语言叙述能力，再次体会幂指数的不同情况对幂函数单调性的影响.
掌握证法，适当延展
例比较下列两个代数式值的大小：
⑴
⑵
⑶
⑷
解：⑴可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于底数，所以.
⑵可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于底数，所以.
⑶因为，可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递增，由于，所以.
⑷可看作幂函数的两个函数值.该函数在上递减，由于，所以.
〖设计意图〗训练学生用幂函数的性质进行比较两个代数式值的大小，利用幂函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.强化学生的逻辑推理、构造意识等.
例讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象并说明函数的单调性.
分析：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幂指数为负数时，根据负指数幂的意义将其转化为分式形式，根据分式的分母不能为0这一限制条件来求出对应函数的定义域.
拓展：若，试求实数的取值范围.
〖设计意图〗留给学生自己探索的空间，让每个学生都经历探索的过程．让每个学生根据自己的体验，用自己的思维方式自由地、开放地去探索、发现、创造，使学生探究问题落在实处.
四、归纳小结，提高认识
1.幂函数的概念，几个简单的幂函数的图象，幂函数图象的变化规律和性质；
2.思想方法方面：
数形结合
由特殊到一般
3.作业
求函数的定义域，并指出函数的单调区间.

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