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第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
第2课时
1.利用斜二测画法画出常见立体图形的平面直观图，培养学生的空间想象能力.
2.经历长方体、圆柱、圆锥、球等几何体的直观图的画法，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力，帮助学生提升直观想象和空间观念等学科素养.
重点：画常见几何体和组合体的直观图.
难点：根据直观图能够求出图形的相关长度和面积等.
(一)创设情境
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征，为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要利用斜二测画法画出几何体的平面直观图.
如图，下面几何体的直观图是怎样的呢
设计意图：教师通过提问，让学生意识到，画几何体直观图是我们生活中解决立体图形相关问题的必备能力.
复习回顾：
前面我们学习了斜二测画法，利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤是怎样的？比如，如何画下面这个图形的直观图呢？
作图步骤：
(1)画轴：画直观图时，先画出和轴,且（或），它们确定的平面表示水平面.
(2)画线：将平行于x、y轴的线段，画成平行于和轴的线段.且平行于x轴的线段保持原长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半.
(3)连线成图：将确定的图形的端点顺次连接，形成所要画的图形.
设计意图：通过复习本节课涉及的重要知识点，顺利过渡到本节课的学习.
（二）探究新知
任务1：探究立体图形的直观图的画法
思考：(1)我们已经学会了利用斜二测画法画平面图形的直观图，那么立体图形
的直观图如何画呢？如何画出下图所示包装箱的直观图呢？
小组讨论：
1.先独立思考，再小组内进行讨论分享.
2.以小组形式汇报展示组内观点与结论,其他小组认证倾听之后进行点评.
答案：
需要画一个与x、y轴都垂直的z轴，而且平行于z轴的线段保持平行性和长度都不变.
具体画法：
(1)画轴：画x、y、z轴，使∠xoy=45°∠xoz=90°.
(2)画底面：利用斜二测画法画出包装盒的底面ABCD.
(3)画侧棱：过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上截取包装盒的高，画出4条侧棱.
(4)成图：顺次连接A1, B1 ,C1, D1，即可得到直观图.
设计意图：通过生活中的例子，引入长方体直观图的画法，我们可以得到所有直棱柱直观图的画法，让学生体会特殊到一般的思想.
任务2：探究圆柱、圆锥、球等直观图的画法
思考：如何画圆柱、圆锥、球等的直观图呢？
小组讨论：
1.先独立思考，再小组内进行讨论分享.
2.以小组形式汇报展示组内观点与结论,其他小组认证倾听之后进行点评.
答案：
方法总结如下：
（三）应用举例
例1 已知长方体的长、宽、高分别为3、2、1.5，用斜二测画法画出它的直观图.
小组讨论：
1.先独立思考，再小组内进行讨论分享.
2.以小组形式汇报展示组内观点与结论,其他小组认证倾听之后进行点评.
提示：哪些长度保持不变,哪些长度变为一半？
长、高不变，宽变为原来的一半.
解：画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使; 按照画底面、画侧棱、成图的步骤作图即可.
设计意图：长方体是最典型的空间几何体，画它的直观图，可以较为完整的呈现斜二测画法画直棱柱的直观图过程，长方体直观图画法也可以迁移到直棱柱直观图的画法.
例2：已知圆柱的底面半径为1，母线为3，画出它的直观图.并保留痕迹.
思考：圆柱直观图的底面是什么图形？圆柱直观图的底面是椭圆.
解：按照画轴、画下底面、画上底面、画母线、成图的步骤即可完成.如下图：
总结：画几何体的直观图时，如果不要求保留要求，可以将坐标系擦除．
例3：一个几何体的三视图如图所示，画出它的直观图.
解：(1)画圆锥的底面.
(2)画球的轮廓线大圆，注意与圆锥底面椭圆长轴相切
(3)确定圆锥的顶点，画出圆锥的母线，画球过球心的截面圆，以衬托球的立体感，从而得到这个几何体的直观图.
总结：空间几何体的三视图与直观图有密切联系. 三视图从细节上刻画了空间几何体的结构，根据三视图可以得到一个精确的空间几何体， 直观图是对空间几何体的整体刻画.
例4：某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合．
解：先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到该几何体的直观图（如图）
总结：画组合体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图．
设计意图：通过例题讲解，让学生熟悉简单组合体和常见的几何体的直观图的画图方法．
（四）课堂练习
1.如图所示，表示水平放置的的直观图，在轴上，和轴垂直，且，则的边上的高为( )
A. B. C. D.
解：设 的边 上的高为 ，因为 ，
所以 ，又 ，所以 ．
故选：．
2.关于斜二测画法，下列说法正确的是( )
A. 在原图中平行的直线，在对应的直观图中仍然平行
B. 若一个多边形的面积为，则在对应直观图中的面积为
C. 一个梯形的直观图仍然是梯形
D. 在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中不再垂直
解：对于，根据斜二测画法知，直观图中平行关系不会改变，A正确；
对于，对于平面多边形，不妨以三角形为例，
如图，
在中， ，其面积 ，
在其直观图图中，
作 ，则直观图的面积
，
因为平面多边形可由若干个三角形拼接而成，
在直观图中，每个三角形的面积都为原三角形面积的 ，
故平面多边形直观图的面积也为原来平面多边形面积为 ，B正确；
对于，梯形的上、下底平行且长度不相等，在直观图中，两底仍然平行，且长度不相等，
故一个梯形的直观图仍然是梯形，C正确；
对于，空间几何体的直观图中，在原图中互相垂直的两条直线在对应的直观图中可以垂直，如长方体的长和高，D错误．
故选：．
3.已知矩形，采用斜二测画法作出其直观图，若其直观图的面积为，则矩形的周长可以为 ．
解：设矩形的长与宽分别为，，
根据斜二测画法可知，
直观图的面积与原图的面积之间满足，即，所以，
则，当且仅当时取得等号，
所以矩形周长的最小值为，
故矩形的周长可以为，，等．
故答案为答案不唯一，大于或等于即可
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，回答下面问题.
本节课我们学习了哪些知识？
本节课我们掌握了几种常见的平面直观图的画法以及具体的画图步骤.
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.第八章 立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
第1课时
1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤；
2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形的直观图.
重点：平面图形的斜二测画法的步骤；
难点：用斜二测画法画平面图形的直观图
（一）创设情境
在日常生活中你注意过大家是怎样画立体图形的吗？
师生活动：师生分享日常生活所看到的立体图形的平面图.
设计意图：一方面通过了解生活中的数学，以增加学生对数学兴趣.另外可以为深入研究提供直观感受.
（二）探究新知
任务1：探究平面图形的斜二测画法.
思考1：矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状？眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
答：通常情况下是一些平行四边形.
师生活动：独立观察思考，回答想法.
思考2：矩形的投影一定是一个平行四边形吗？想一想，一个物体的投影与哪些因素有关？
说一说：同学们把一本书分别在点光源、平行光源下的投影，然后旋转书继续观察投影，说一说你观察到了哪些有趣的现象.
答：不一定；物体的投影不仅与物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置关系有关.
师生活动：小组内讨论并汇报结论.
要求：1.认真先观察，并做好记录；
2小组内讨论，补充完整自己的记录.
3.分析、讨论、总结并汇报结论.
设计意图：通过学生自主回忆、思考、相互讨论养成勤于探索的习惯，林一方面认识到投影受到诸多因素的影响.
思考3：如果一个矩形垂直于投影面，投影线不垂直投影面，那么矩形的投影是什么形状？
答：平行四边形
设计意图：让学生体会在平行投影所画出的直观图，既保持了空间图形的直观性，又能很好的反映几何特征.
斜二测画法的步骤：
(1)在已知图形中取互相垂直的x和y轴，两轴相交于O.画直观图时，画成对应的和轴,且使得（或），它们确定的平面表示水平面.
(2)已知图形中平行于x和y轴的线段，直观图中画成平行于和轴的线段.
(3)已知图形中平行于x轴的线段，直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，直观图中长度为原来的一半.
总结：可以总结为画轴、画线、取长度三步；
所谓斜二测画法，是指轴不是直角，且两轴上的测度是不同的，是两种“测度”.
做一做：根据上述步骤，用斜二测画法画出水平放置的正方形ABCD的直观图.
师生活动：学生根据以上步骤，逐步操作，老师指导，强调容易出错的点.
横向线段
纵向线段
想一想：如何画圆的直观图呢？
答：一般用椭圆作为圆的直观图，可以用椭圆模板来画.
设计意图：让学生了解常用的方法还有正等测画法.
（三）应用举例
例1用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
画法：（1）在正方形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，它的垂直平分线MN为y轴，两轴相交于O.画相应的和轴，两轴相交于，使得
(2)以为中点，在轴上取，在轴上,以点为中点，分别作和平行于x轴，并且
(3)连接，擦去辅助线和轴，便得到了正六边形ABCDEF水平放置的直观图.
注意：
（1）在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点；
（2）画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段（平行性不变），与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段.
设计意图：通过思考和运用斜二测画法步骤实际操作，熟悉斜二测画法的实际应用.
例2用斜二测画法画边长为4 cm的水平置的正三角形ABC的直观图.
解：（1）如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴建立直角坐标系
（2）画对应的和轴,且使得
（3）在轴上截取 ,在轴上截取，连接，，则三角形为正三角形ABC的直观图.
设计意图：进一步体会常见简单平面图形的斜二测画法.
例3：如图所示，梯形是水平放置的四边形根据斜二测画法得到的直观图，其中，，，
画出原四边形；
分别求出原四边形与梯形的面积．
解：如图，建立平面直角坐标系，
在轴上截取，．
在过点的轴的平行线上截取．
在过点的轴的平行线上截取，连接，
即可得到原四边形．
原四边形是直角梯形，且，，．
所以其面积为．易得直观图中梯形的高为，
又，，所以其面积为．
注意：在还原平面图的时候，要先找到与轴、轴平行的直线或线段，注意与轴平行的线段还原的时候要乘以2，找到相应端点，即可还原图形.
（四）课堂练习
1.利用斜二测画法得到的：
三角形的直观图是三角形；平行四边形的直观图是平行四边形；
正方形的直观图是正方形；菱形的直观图是菱形．
以上结论，正确的是( )
A. B. C. D.
2.用斜二测画法作出一个三角形的直观图，则原三角形面积是直观图面积的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
3.如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是( )
A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 一般的平行四边形
4.等腰梯形中，上底，腰，下底，以下底所在直线为轴，则由斜二测画法画出的直观图的面积为 ．
5.如图，是用“斜二测画法”画出的直观图，其中，，那么的周长是 ．
答案
1. 解：由斜二测画法规则知：正确；平行性不变，故正确；正方形的直观图是平行四边形，错误；因为在轴上或平行于轴的线段长减半，在轴或平行于轴的线段长不变，故错误．
故选A．
2. 解：以三角形的一边为轴，高所在的直线为轴，
由斜二测画法知，三角形的底长度不变，高所在的直线为轴，长度减半，
所以三角形的高变为原来的，
所以直观图中三角形面积是原三角形面积的，
即原三角形面积是直观图面积的倍．
故选：．
3. 解：矩形是一个平面图形的直观图，其中，，
又，，
在直观图中，，高为，，
．原图形是菱形．
故选：．
4.解：如图所示，
，，
，因为，所以，所以，在直观图中，
．
故答案为．
5. 解：把直观图还原出原图形，如图所示：
则，
，所以的面积是．
故答案为：．
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
常见的直观图都有哪些画法？
斜二测画法的步骤有哪三步？
用斜二测画法画平面图形要注意哪些问题？
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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