资源简介

8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
一、学情分析
学生在前几节课学习了棱柱、棱锥、棱台的概念和结构特征，也学习了用斜二测画法画出立体图形的直观图，具有了基本的空间想象能力.本节课通过对棱柱、棱锥、棱台表面积和体积的学习,使学生对简单组合体表面组成和内部结构有更深入地理解，同时培养学生类比推理、空间想象能力、数学运算等数学能力.
二、教学目标
（一）、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积和体积的公式及其求法；
（二）、掌握与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法，并能够解决一些有关的实际问题；
（三）、通过学习逐步培养学生的数学运算、逻辑推理、直观想象等数学核心素养.
三、教学重难点
重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式的理解及其应用；
难点：实际生活中与多面体相关的简单组合体的表面积与体积的求法.
四、教学过程
（一）复习回顾
问题1：前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念，大家还记得
它们的结构特征吗？
师生活动：学生回忆思考回答棱柱、棱锥、棱台的结构特征，对于回答不全面的可以有其他同学补充.
设计意图：通过学生共同回忆所提问题，加深对棱柱、棱锥、棱台的机构特征的理解，便于后面教学中公式推导的理解.
（二）、棱柱、棱锥、棱台的表面积
从而引入本节课的内容，如何求这些多面体的表面积和体积呢？
问题2.还记得我们如何求正方体的表面积吗？
师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出正方体的表面积可以通过求其展开图的面积的方法求解.
（三）类比形成概念
多面体表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
问题3：棱柱、棱锥、棱台的展开图分别是怎样的？
师生活动：首先让学生思考，讨论，回答展开图形式.然后通过动画展示三棱柱、三棱锥、四棱台的展开图.
设计意图：让学生更好理解它们的表面积有哪些平面图形组成，提高学生空间想象能力.
例1 如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
追问：正四面体的展开图是怎样的？如何求展开图每部分的面积？
解:因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以因此，四面体P-ABC的表面积
（四）新知引入
问题4：你还记得正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？
师生活动：通过回忆得到正方体、长方体、圆柱的
体积公式是V=Sh.
追问：该公式能否推广到一般的柱体？
（五）实验探究——祖暅原理
问题5: 取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？
师生活动：学生思考，讨论，根据图形能直观理解体积没有发生变化，教师引导学生进行知识的迁移，有特殊到一般的转化.
设计意图：通过此实验可以形象的理解祖暅原理.
祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.
( 必修2(1) / 14空间几何体的体积 / 祖暅原理.gsp )
祖暅简介：我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri .B，1598年--1647年）提出上述结论.
（六）棱柱体积公式
一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的
体积 V=Sh
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
（七）棱柱与棱锥体积关系
问题6：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？
师生互动：学生小组讨论如何分割三棱柱，教师引导它们每部分什么关系？它们相等吗？如何证明？最后学生讨论得到结论.
设计意图：通过三棱柱和三棱锥的体积关系，从而更好的接受棱柱和棱锥的体积关系.
（八）棱锥的体积公式
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积公式V=Sh
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
（九）棱台的体积公式
棱台的体积公式
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高.
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
（十）棱柱、棱锥、棱台体积关系
问题7： 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
师生活动：学生讨论，思考.教师引导极限思维考虑.
设计意图：使学生建立棱柱、棱锥、棱台的体积之间关系的认识.
（十一）公式的应用
割补法——割
割补法——补
例3. 某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的. 如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少立方米？
如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有
∴这个石凳的体积为
五、课堂小结
六、课后作业
（一）.习题8.3复习巩固1-8题
（二）.观察校园里都有哪些简单组合体，你能求它们的表面积和体积吗？

展开更多......

收起↑