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第八章 立体几何初步
8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
1.通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握它们的表面积与体积的公式,并能简单应用.
2.利用表面积与体积公式能解决实际问题，并培养学生的实际应用能力.
3.通过学习感受一般化与特殊化、极限等数学思想方法，提高逻辑推理、直观想象等素养和空间想象等能力.
重点：棱台的表面积和体积公式．
难点：棱台、棱锥的体积公式的推导．
（一）创设情境
国家游泳中心俗称水立方，场馆外观如同一个冰晶状的立方体，造型简洁现代.金字塔的造型是一个三棱锥，占地面积五万二千平方公尺，这些物体的表面积和体积是怎么计算的呢？我们一起探究一下吧.
（二）探究新知
任务1：探究棱柱、棱锥、棱台的表面积公式.
思考：如何求一个多面体的表面积？如何求棱柱、棱锥、棱台的表面积呢？它们的展开图是怎样的呢？
小组讨论：
1.先独立思考，再小组内进行讨论分享.
2.以小组形式汇报展示组内观点与结论,其他小组认证倾听之后进行点评.
答：将多面体的各个面的面积相加即可.
说一说：下面都是棱长为a的立体图形，这些几何体的表面积分别是多少？
提示：以上几何体的各个面是什么形状，面积是怎么计算的呢？
答：
思考：直棱柱、正棱锥、正棱台的表面积如何计算呢？有更加简单的办法吗？
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究棱柱、棱锥、棱台的体积公式.
我们以前学习过正方体、长方体的体积公式.它们分别是什么？对柱体而言，又该如何求体积呢？
师生活动：回顾旧知识，直观回答柱体的体积公式.
答：(a是正方体的边长)
(a,b,c分别是长方体的长、宽、高)
设棱柱的底面积是S，高是h,
总结：对于直棱柱的体积等于底面积乘以高，侧棱柱的体积可以转化为直棱柱来解决，利用垂直于高的截面的面积乘以高即可.
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这一点与垂足之间的距离.
思考：棱锥的体积计算公式是什么呢？
答：一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 设棱锥的底面积是S，高是h, .
棱锥的高是指从顶点向地面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
设计意图：从熟悉的正方体和长方体的体积公式，得到一般的柱体的的体积计算公式，用类比的思想，由特殊到一般，发展学生的数学抽象的素养.
思考：棱台是由棱锥截成的，可以利用两个棱锥的体积查，得到棱台的体积计算公式.大家能自己推导一下么？
师生活动：画示意图，利用相似，引导学生独立推导.
答：以三棱台为例，设
，，
，，
，，
说一说：棱柱、棱锥、棱台的体积它们之间有什么关系？你能用棱柱、棱锥、棱台的结构 来解释这种关系吗？
答：当棱台的上底面扩大到与下底面全等时，即,
棱台公式转化成了棱柱公式. 当棱台的上底面缩小到一个点时，即，棱台的体积公式转化为棱锥的体积公式.
设计意图：使学生思考棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系，这种关系的产生的原因，以及与自身结构特征之间的联系，培养学生思考、归纳、总结等数学学习习惯和能力，让学生理解体会到转化的思想方法.
（三）应用举例
例1：一个漏斗的上部分是长方体，下面部分是一个四棱锥，两个部分的高都是0.5，公共面ABCD是边长为1的正方形，那么漏斗的容积是多少？
解：
总结：解决计算组合体的体积的相关问题，重要的环节是可以将组合体的体积转化为基本几何体的体积，将未知向已知转化.
例2 四棱台的上、下底面均是正四边形，边长分别是6cm和10cm，侧面是全等的等腰梯形高是12cm，求它的表面积？
解：如图所示，正四棱台A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6 cm，AB＝10 cm，
取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.
∴
∴，
，
，
总结：求多面体的表面积时，一般先分析展开图，将展开图的面积分割成规则图形面积计算即可.对于正棱台，侧面展开图是有若干个等腰梯形组成.
设计意图：感受简单几何体及其组合体的体积的求法，应用公式解决简单的实际问题.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）本节课我们掌握了哪些思想方法？
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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