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第八章 立体几何初步
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，能够使用公式计算这些几何体以及它们的组合体的表面积和体积；
2.通过研究圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，渗透转化、类比、一般化与特殊化等数学思想方法；
3.通过研究球的体积公式，使学生体会极限的数学思想以及利用极限方法解决数学问题的一般思路.
重点：柱体、锥体、台体、球的表面积公式和体积公式.
难点：球的体积公式的推导.
（一）创设情境
在我们实际生活中，经常会遇到求表面积和体积的实际需求，比如，计算一桶矿泉水的容积、计算装饰蒙古包圆锥型顶棚需要多少材料、圆台型花盆的容积，等等，都是求基本旋转体的表面积和体积的问题.这些问题如何解决呢？
说一说：前面已经学习了多面体的表面积与体积公式，那么该如何推导圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积公式？
要求：让学生自由发言，教师不做判断，而是引导学生进一步观察研探.
师生活动：教师引导学生回忆之前或能够想到的研究求体积与表面积公式的方法.
设计意图：通过引导学生小初阶段探究圆柱圆锥体积、表面积相关方法；探究棱柱、棱锥、棱台等求体积和面积的方法引出对本节课方法的思考.
（二）探究新知
任务1：探究圆柱、圆锥、圆台的表面积公式及它们之间的联系
思考：如何求圆柱、圆锥、圆台的表面积呢？
师生活动：引导学生回顾小学、初中所学相关推导方法，让同学们小组内交流，并汇报展示.
我们之前知道，
圆柱的侧面展开图是矩形，其侧面积是
圆锥的侧面展开图是扇形，其侧面积是
圆台可以看成是大圆锥截去一个小圆锥所得，其侧面积为
圆柱、圆锥、圆台表面积公式：
(r是底面半径，l是母线长)
(r是底面半径，l是母线长)
(、r分别是上、下底面半径，l是母线长)
设计意图：通过学生自主回忆得出圆柱、圆锥表面积公式，推导得出圆台表面积公式，提高学生数学逻辑思维.
思考2：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式和它们的结构特征有怎样的关系呢？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并展示所得结论.
答：当圆台的上底面缩小成一个点，即，圆台的表面积公式就转化成圆锥的表面积公式；当圆台的上底面扩大到和下底面全等时，即，圆台的表面积公式就转化成圆柱的表面积公式.
任务2：圆柱、圆锥、圆台体积公式及之间的关系
思考1：类比棱台的体积公式的计算方法，棱台的体积公式是如何推导的？圆柱、圆锥的体积公式分别是什么？
答：由于棱台是由棱锥截成的，利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
(r是底面半径，h是高)
(r是底面半径，h是高)
说一说：该如何推导圆台的体积公式.
答：
圆锥的高，圆锥的高
公式也可表示为：
（S为底面积，为柱体高）；
（S为底面积，为锥体高）
（分别为上、下底面面积，为台体高）
思考2：类比探究圆柱、圆锥、圆台表面积公式之间的关系，它们体积公式之间有类似的特征吗？
答：圆台的体积公式中，当和即和，圆台的体积公式分别与圆锥、圆柱的体积公式相同.
任务3：球的表面积公式和体积公式
师生活动：先让学生看课本，引导学生回答下列问题
极限思想是重要的数学思想，球的体积公式是和如何利用这一思想推导出来的？
答：通过无限切割球体，转化为计算棱锥体积进而得到.
把球O分成n个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体被分割成n个小锥体.
当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于棱锥，
小锥体体积为：
n个小椎体底面积之和就近似为球体表面积，即
球的体积就是这n个 “小锥体”的体积之和，
其体积为.
球的表面积和体积公式：球的半径R，
设计意图：利用无限切割的方法推导球的体积，渗透极限思想，使学生体会极限思想以及利用极限方法解决问题的基本思路.
（三）应用举例
例1圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积比.
思考：圆柱和球相关联的关键纽带是什么？
答：球的直径、圆柱底面直径、圆柱的高三个量相等，可以设为2R
解：设球的半径R，则圆柱的底面半径R，高2R，
设计意图：通过思考和运用球和圆柱的体积公式，发现球的体积与圆柱的体积有内在联系，提高数学运算和空间想象数学学科素养.
例2如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱粘合而成，半球的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14）
思考：该如何求浮囊的表面积？
答：浮囊的表面积为圆柱的侧面积和两个半球即一个球的表面积之和
解：一个浮标的表面积为2×0.15×0.6＋4×0.152＝0.8478（）
所以给1000个这样的浮标涂防水漆约需涂料0.8478×0.5×1000＝423.9（kg）．
设计意图：通过球和圆柱组合体涉及表面积求法的举例，一方面熟悉球和圆柱的表面积，另一方面培养学生解决实际问题的能力.
例3.如图四边形为梯形，，，，，，图中阴影部分梯形剪去一个扇形绕旋转一周形成一个旋转体．
求该旋转体的表面积；
求该旋转体的体积．
思考：上图旋转后形成了怎样的几何体？
答：形成的几何体为中间去掉了半个球的圆台，球的半径为圆台上底面圆的半径.
解：该旋转体为一个圆台从上面挖去一个半球，圆台的上下底面半径为，，高为，半球的半径为，
所以圆台的母线长为，
所以， ，
所以该旋转体的表面积为.
，
所以该旋转体的体积为．
总结：求圆柱、圆锥和圆台的侧面积和表面积，时常借助轴截面来求上、下底面半径和母线长.
例4如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为，圆锥底面半径为．
试确定与的关系
若小圆锥、大圆锥的侧面积为、，球的表面积为，求；
求出两个圆锥的总体积即体积之和与球的体积之比．
解：由几何体的特征知为直角三角形，
又大圆锥轴截面为等边三角形，
，
，，
，
球心到圆锥底面的距离，
所以，小圆锥高为，
所以，小圆锥母线长为，
大圆锥母线长为，
；
；
；
．
由可得两个圆锥的体积和为：，球的体积为：，
故两个圆锥的体积之和与球的体积之比为：．
总结： 与球有关的组合体一般有两类：
一是与球内接的组合体，在此类组合体中，球心与多面体顶点的连线是半径；
二是与球外切的组合体，在这一类组合体中，球心与各切点的连线是半径，在解答与球有关的组合体问题时，要注意这些半径的应用.
（四）课堂练习
1.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱侧棱垂直于底面且底面为正方形的四棱柱的高为，这个球的表面积为，则这个正四棱柱的体积为( )
A. B. C. D.
解：，
设正四棱柱的底面边长为
可知球的直径为正四棱柱的对角线长，
所以 ，因此正四棱柱的体积为 ，
选B．
2.圆台的上、下底面半径和高的比为，母线长为，则圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
解：圆台的上、下底面半径和高的比为：：，
母线长为，设圆台上底面的半径为，
则下底面半径和高分别为和，
由 得，，
故圆台的侧面积等于，
故选：．
3.已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为( )
A. B. C. D.
解：设圆锥底面圆半径为，球的半径为，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的截面是该等边三角形的内切圆，
所以，，
，
所以球与圆锥的表面积之比为．
故选B．
4.民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知．底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是( )
A. B. C. D.
解：由题意可得圆锥体的母线长为，
所以圆锥体的侧面积为，
圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，
所以此陀螺的表面积为，
故选：．
5.已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若该球的表面积为，则圆柱的侧面积为 ．
解：设球的半径为，
因为球的表面积，
所以，
所以圆柱的底面直径与高都为，
所以圆柱的侧面积：．
故答案为：．
6. 如图，在底面半径为，母线长为的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积．
解：设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为，
底面半径为，母线长为的圆锥的高为，
则圆柱的上底面为中截面，可得 ，
，
故．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
(1)圆台的表面积公式是什么？它是如何推导出来的？
(2)圆台的体积公式是什么？是如何推导出来的？
(3)圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间，体积公式之间有什么关系？
(4)球的表面积公式是什么？是如何推导出来的？

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