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第八章 立体几何初步
8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1平面
1.理解平面的概念、三个基本事实及推论，会用图形、文字和符号三种语言性质表述三个基本事实和推论.
2.在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养.
重点：平面基本性质（三个基本事实）及其推论．
难点：对三个基本事实刻画平面基本性质的理解，三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）及其相互转化．
（一）创设情境
观察下面图形，有你熟悉的空间图形吗？构成这些几何体的元素有哪些？
点、直线、平面是空间图形的基本元素，它们构成了千姿百态的世界，初中我们已对点和直线进行了研究，今天我们继续探讨平面及其基本性质.
师生活动：教师展示图片可以让学生观察说出熟悉的空间图形，进一步可以通过探讨熟悉的长方体，让学生分析长方体是有哪些几何元素构成的，进而引出本节课的学习.
设计意图：结合身边的事物举例，引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究平面的含义及其表示方法
思考：(1)你能结合情境中的实例说出什么是平面吗
(2)为了画出直线，用直线的一部分(线段)表示直线，你能类比此方法将平面画出来吗？
(3)同样的类比直线，你能用符号语言表示出平面吗？
合作探究：先独立思考，再小组内交流，并汇报得出的结论.
师生活动：学生从情境视频中抽象出平面的概念，并由教师引导得到平面的是平面的，可以无限延伸的，类比画直线和表示直线的方法，鼓励学生画出平面并表示出平面，最后由教师归纳总结.
答：(1)平面是从湖面、操场、草原等物体中抽象出来的,
但几何中所说的平面具有以下两个特征：
一是：可以无限延展；二是：平的(没有厚薄).
(2)我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面.
①当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向；
②当平面竖直放置时，常把平性四边形的一边画成竖向；
(3)①用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ；
②用代表平行四边形的四个顶点，如平面ABCD；
③用平行四边形相对的两个顶点的大写英文字母，如平面AC或者平面BD
如下图的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.
设计意图：通过类比学习，建立知识之间的联系，更好地理解平面的本质特征，并提高学生概括、类比推理的能力.类比直线的图形和符号表示给出平面的图形和符号表示，使学生感悟数学研究方法的特点和一致性，平面的图形表示实际也是其直观图表示，也可以进一步发展学生直观想象素养.
任务2：探究平面的基本性质.
思考：我们知道，过两个点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面呢？
合作探究：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
(1)自行车两个车轮着地时，不能“站稳”，如果加上1个脚架，就可以“站稳”了，你知道为什么吗？
(2)支撑照相机的架子，为何选择三脚架呢？
答：(1)如果把地面看成一个平面，两个车轮着地地方看成两点，脚架着地地方看成1个点，由于两个点只能确定一条直线，这条直线所在的平面不确定，故两个车轮着地不能站稳；当增加1个脚架即1个不在此直线上的点时，3个不共线的点都在地面，从而自行车能站稳.
(2)由于三个支点在底面上且不共线保证了三脚架的稳定性.
基于此，我们可以归纳得出：
基本事实1 过不在同一直线上的三个点，有且只有有一个平面.
注意：“有且只有一个”必须完整表述，缺一不可.
“有”说明图形存在，强调了存在性；“只有一个”是说图形唯一，强调了唯一性
说一说：你能举出生活中的实例来说明基本事实1吗？
预设答案：如：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；将教室的门的两个铰链看成两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了．
思考：如何将这一事实用图形表示？又如何用符号表示点和直线、平面的位置关系呢？
提示：直线上有无数个点，平面内也有无数个点.因此，直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，故点与直线、点与平面的关系是元素与集合的关系，用“”或“”表示．
答：如图，不共线的三点，，确定一个平面，记为平面．
点在直线上，记作；点在直线外，记作；点在平面内，记作；点在平面外，记作．
这样，基本事实1也可以用符号表示为
设计意图：通过对上述问题的探索与研究,引导学生从生活实例中发现三个不共线的点可以确定一个平面,自己得出基本事实1,然后启发学生用三种语言描述基本事实1,形成对基本事实1的正确认识和理解,发展学生的数学抽象素养和直观想象等素养.
思考：如果直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？如果直线与平面有两个公共点呢？
答：如图，若直线上仅有一个点在平面内，则直线不在平面内.
若直线上有两个点（不妨设为、）在平面内，则直线在平面内．
将上述事实进行抽象，可得：
基本事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．
思考：如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示直线和平面的位置关系？
提示：直线与平面都可以看成是由无数个点构成的集合，故它们之间的关系可看成集合与集合的关系，用“”或“”表示．
答：如图直线上有两个点、在平面内，则直线在平面内．
直线上所有的点都在平面内，就说直线在平面内，记作；否则，就说直线不在平面内，记作．
这样，基本事实2也可以用符号表示为：，，且， ．
说一说：我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征，而基本事实2反映了直线与平面的位置关系，我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”？
答：如右图，由基本事实1，给定不共线三点，，，它们可以确定一个平面；连接，，，由基本事实2，这三条直线都在平面内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面．组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．
设计意图：结合基本事实1和2，用直线的“直”和“无限延伸”的基本特征说明平面的“平”和“无限延展”的基本特征，这也说明对于不加定义的“平面”概念，就是用刻画它的基本事实说明其基本特征的，从而也加深对于平面概念的理解．
思考：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？
答：不止一个公共点．因为平面是无限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”课桌，可以想象，这两个平面相交于一条直线．
由此，我们可以归纳出：
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
追问1：你能用符号表示基本事实3吗？
答：基本事实3也可以用符号表示为：若P∈，且P∈且P∈l．
设计意图：通过对上述问题的探索与研究,引导学生从自己身边熟悉的生活实例中发现和抽象出基本事实3,并学会运用三种语言描述基本事实3,以形成对基本事实3的正确认识和深刻理解,为运用基本事实3探究空间图形中的问题作好铺垫,发展学生的数学抽象和直观想象等素养.
追问2：你能给出两个平面相交的画法吗？
答：当在画两个相交平面时,如果其中一个平面的一部分被另一个平面挡住,通常把被挡住的部分画成虚线或不画,这样可使画出的图形立体感更强一些．
说一说：你还能举出生活中其它平面与平面相交的例子吗？
答：如教室相邻的两个墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线等．
追问：结合基本事实3，你能进一步说明平面的“平”和“无限延展”的特征吗？
答：基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”．
设计意图：结合基本事实3，用直线的“直”和“无限延伸”的基本特征说明平面的“平”和“无限延展”的基本特征，这也说明对于不加定义的“平面”概念，就是用刻画它的基本事实说明其基本特征的，从而也加深对于平面概念的理解．
任务3：探究平面的基本性质的三个推论.
合作探究：1.直线外一点和直线能确定一个平面吗 为什么
2.两条相交直线能不能确定一个平面
3.两条平行直线能不能确定一个平面 为什么
师生活动：学生结合基本事实1，2和“两点确定一条直线”进行思考、讨论、交流，得出三个推论，对于三个推论，教师要求学生画出图形，并结合图形，给出三种语言的描述，教师说明基本事实和推论在后续研究直线、平面之间的关系的作用.
1.直线外一点和直线能确定一个平面吗 为什么
答：能确定一个平面,如图，因为点A与直线BC上的两点B,C不共线,根据基本事实1,A,B,C三点能确定一个平面ABC.
总结：推论1：经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.
符号语言：A l 存在唯一的平面α,使A∈α,且l α.
图形语言:
2.两条相交直线能不能确定一个平面
答：能确定一个平面.因为直线AB,AC相交于点A,不共线的三点A,B,C确定的平面就是AB和AC确定的平面,由基本事实1可证得.
总结：推论2：经过两条相交直线,有且只有一个平面.
符号语言:l m=A 存在唯一的平面α,使l α,且m α.
图形语言:
3.两条平行直线能不能确定一个平面 为什么
答：能确定一个平面,因为这两条平行线中含有不共线的三点A,B,C,由基本事实1可知,这个平面是确定的.
总结：推论3：经过两条平行直线,有且只有一个平面.
符号语言:l∥m 存在唯一的平面α,使l α,且m α.
图形语言:
总结：
推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面；
推论2：两条相交直线确定一个平面；
推论3：两条平行直线确定一个平面．
以上三条推论与基本事实1都是确立平面的依据．
设计意图：．三个基本事实和三个推论，在后续的直线、平面位置关系的研究中发挥着基础作用，本活动引导学生从基本事实得到它们的三个推论，在这一过程中，进一步体会关于直线、平面的基本事实在得到确定平面的结论中的作用.由于推论的证明涉及存在性和唯一性两个方面，学生初次接触这样的证明比较困难.教学中采用说理的方式让学生确认其正确性即可，不必要求学生写出完整的证明.
（三）应用举例
例1 下列命题正确的是( )
A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面
C. 圆心和圆上两点可确定一个平面 D. 梯形可确定一个平面
提示：利用基本事实1及平面的性质推论进行判断.
解：对于，空间不共线的三点可以确定一个平面，所以错；
对于，在空间中，如果这个点在直线上，就不能确定一个平面，所以错；
对于，圆心和圆上的两点如果在一条直线上，就不能确定一个平面，故C错；
对于，梯形只有一组对边平行，所以梯形可以确定一个平面，故D正确；故选D．
例2 下列叙述中，正确的是( )
A. 若，，，，则
B. 若，，则
C. 若，，，，，，则，重合
D. 若，，，，则
提示：将符号语言转化为文字语言，再利用平面的性质进行判断.
解：若，，，，
根据平面性质的公理，可知正确，故A正确；
B.，，，两点不一定是两个平面的公共点，故B错误；
C.若，，，，，，
当，，在一条直线上时，则，不重合，故C错误；
D.若，，，，
则，两点是两个平面的公共点，
根据平面性质的公理，得到，故D正确．故选AD．
例3 已知在平面外，其三边所在的直线满足，，，如图所示．求证：，，三点共线．
证明：，
，平面，
又平面，
平面，
由公理可知，点在平面与平面的交线上，
同理可证，也在平面与平面的交线上，
，，三点共线．
总结：
证明点共线，常采用以下两种方法:
①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上;
②证明多点共线问题时,通常是过其中两点作一直线，再证明其他的点都在这条直线上.
设计意图：通过例题，熟悉平面的3个基本事实及其推论，并体会如何确定一个平面．
课堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画““错误的画““．
平面与平面相交，它们只有有限个公共点．______
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．______
经过两条相交直线，有且只有一个平面．______
如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．______
解：在中，平面与平面相交，它个相交于一条直线，有无限个公共点．故错误；
在中，由公理二的推论一得：
经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．故正确；
在中，由公理二的推论二得：
经过两条相交直线，有且只有一个平面．故正确；
在中，由公理三得：
如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合，故正确．
故答案为：，，，．
2.若线段在平面内，则直线与平面的位置关系是．( )
A. B.
C. 由线段的长短而定 D. 以上都不对
解：线段在平面内，直线上所有的点都在平面内，
直线与平面的位置关系：直线在平面内，用符号表示为：．
故选B．
3.如图所示，用符号语言可表示为( )
A. ，， B. ，，
C. ，，， D. ，，，
解：由图形可知，两个平面与相交于直线，直线在平面内，直线和直线相交于点，故用符号语言可表达为，，．
故选A．
4.当我们停放自行车时，只要将自行车的脚撑放下，自行车就稳了，这用到了( )
A. 三点确定一平面 B. 不共线的三点确定一平面
C. 两条相交直线确定一平面 D. 两条平行直线确定一平面
解：自行车前后轮与撑脚分别接触地面，此时三个接触点不在同一条线上，
所以可以确定一个平面，即地面，从而使得自行车稳定．
故选：．
5.如图：点、、、分别是空间四边形的边、、、上的点，且直线与直线交于点，求证：、、三点共线．
证明：平面平面，
点、、、分别是空间四边形的边、、、上的点，且直线与直线交于点，
，，
平面，平面，
又平面，平面，
，
、、三点共线．
6.如图，在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是，的中点．
求证：，，，四点共面；
设与交于点，求证：，，三点共线．
证明：根据题意，连接，
由于，分别是，的中点，则．
在中，，则有，
故有．
所以，，，四点共面．
，所以，
又由平面，则平面，
同理平面，则为平面与平面的一个公共点．
又平面平面则，即，，三点共线．
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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