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第八章 立体几何初步
8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
1.了解空间两条直线之间的位置关系，理解异面直线的概念以及简单应用．
2.掌握直线与平面的位置关系并能画图表示，能用数学符号准确表示出位置关系．
3.掌握平面与平面的位置关系并能画图表示，能用数学符号准确表示出位置关系．
4.能够综合处理点、直线、平面之间的位置关系，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力，帮助学生提升直观想象和空间观念等学科素养.
重点：空间直线、平面的位置关系
难点：会用三种语言（图形语言、文字语言、符号语言）描述空间直线、平面的位置关系并会简单应用.
（一）创设情境
情境：世界万物都可以看作是点、线、面、体等空间元素组成的，这些空间元素是如何有序排列的呢？他们之间的位置关系是怎样的呢？
当太阳从东方的地平线徐徐升起时，太阳与海平面的位置关系可以看作点与平面的关系；小鸟站在高压线上，小鸟和高压线的关系可以抽象出点与直线的位置关系，在繁华都市里，充满现代感的高楼大厦，楼顶与地面平行，相邻侧面相交，这些都是点、先、线、面的关系在生活中的体现.
那么，空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？这就是我们这节课所要学习的内容．
设计意图：通过感受生活实例，直观感知空间中物体之间的位置关系，抽象出平面中的点、直线、平面之间的位置关系，提出问题，引入新课．
（二）探究新知
任务一：借助长方体，探究空间中两直线之间的位置关系.
思考１：空间中点与直线的位置关系是怎样的？点与面的位置关系是怎样的？
答：空间中点与直线的位置关系有两种：点在直线上和点在直线外；
如：
空间中点与平面的位置关系也有两种：点在平面内和点在平面外；
如：
思考2：在长方体中，与直线AB平行的棱有哪些？相交的棱有哪些？
答案：与直线AB平行的棱：
与直线AB相交的棱：
思考3：直线AB与直线是什么位置关系呢？
答案：既不想交也不平行，它们是异面直线.
总结：我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫作异面直线．如：直线AB与直线既不平行，也不相交，是异面直线.
思考：你还能找出与直线AB异面的其它直线吗？空间两条直线的位置关系有几种情形？
答案：直线、直线、直线．
空间直线间的位置关系可分为共面直线和异面直线，其中共面直线又分为平行直线和相交直线．
相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点；
平行直线：在同一平面内，没有公共点；
异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点．
设计意图：通过层层递进的问题设置，引导学生得出直线与直线的位置关系的所有情形，培养学生探究学习的能力.
说一说：如果直线，为异面直线，为了表示它们不共面的特点，如何作图呢？
答案：通常用一个或两个平面衬托，如下图所示．
思考：分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗？
答案：不能把异面直线误认为是分别在不同平面内的两条直线，如图，虽然有，，即，分别在两个不同的平面内，但是因为，所以与不是异面直线．
设计意图：通过“说一说”设置，让学生尝试异面直线的作图以及对概念的辨析，进一步加深理解直线与直线的位置关系.
任务二 在空间中，探究直线与平面的位置关系
探究1：观察教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系，再观察你手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系．你发现了什么？
答案：教室两墙面的交线与地面的关系，墙面和天花板的交线与地面的关系如下图所示：
手中的笔与作业本所在平面可能的位置关系，如下图：
探究2：以长方体为例，进行探究，回答下列问题：
（1）直线与平面有几个公共点？
（2）直线与平面有几个公共点？
（3）直线与平面有几个公共点？
答：（1）直线与平面没有公共点．
（2）直线与平面只有一个公共点；
（3）直线与平面有无数个公共点；
说一说：直线与平面的位置关系有哪些？如何用图形表示呢？
直线与平面平行 直线与平面相交 直线在平面内
定义：
如果一条直线和一个平面没有公共点，那么称直线与平面平行；
如果直线与平面有且只有一个公共点，那么称直线与平面相交；
如果直线与平面有无数个公共点，那么称直线在平面内．
设计意图：通过生活中的案例，让学生感受直线与平面的位置关系，另外，从交点个数的角度再一次理解直线与平面的位置关系，最后形成结论.
任务三：探究平面与平面的位置关系
思考1：观察长方体，它的上、下底面有没有公共点？下底面与平面有没有公共点？
答案：长方体的上、下底面无论怎样延展都没有公共点，而它的下底面与平面有一条公共直线．
思考2：平面与平面的位置关系有哪些情形呢？如何判定平面与平面的位置关系呢？
答案：平行或相交；可以从两个平面有无交点来进行判定，如果两个平面有交点，则两个平面相交，交线必过该交点.如果两个平面没有交点，则说明两个平面平行.
总结：
如果两个平面没有公共点，那么称这两个平面互相平行．
如果两个平面有一个公共点，那么由基本事实3可知，它们相交于经过这个点的一条直线，此时称这两个平面相交．
设计意图：从熟悉的长方体入手，通过生活中的案例，让学生感受直线与平面的位置关系，另外，从交点个数的角度再一次理解直线与平面的位置关系，最后形成结论.
（三）应用举例
例1 用符号表示下列图形中直线、平面之间的位置关系．
分析：直线与平面的位置关系有几种情形呢？
直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.
解：在（1）中，，，．
在（2）中，，，，，，．
总结：判断直线与平面的位置关系，可以从判断直线与平面的交点个数入手.
例2 如图，，，，．直线与具有怎样的位置关系？为什么？
分析：判断直线AB与a的位置关系的突破口是什么？
两直线是否共面，或者两直线有无交点.
解：直线与是异面直线．理由如下：
若直线与直线不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为，则，．由于经过点与直线有且仅有一个平面，因此平面与平面重合，从而，进而，这与矛盾．所以直线与是异面直线．
总结：
判断异面直线的方法：
1.利用异面直线的定义判断；
2.与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线．
设计意图：通过例题，考查学生对空间中点、直线、平面的位置关系的理解，并锻炼学生三种语言的转化能力．
例3：如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，BB1的中点，则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么？
(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系；
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系；
(4)平面AMD1与平面BNC的位置关系
解 (1)AM所在的直线与平面ABCD相交．
(2)CN所在的直线与平面ABCD相交．
(3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．
(4)平面AMD1与平面BNC相交.
例4 在直三棱柱(侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．
求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．
分析：判定面面相交的突破口是什么？
通过推理论证这两个平面有交点即可.
证明：∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，
∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，
设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.
又AA1 平面ACC1A1，BE 平面BEF，
∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，
∴平面ACC1A1与平面BEF相交．
总结：判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．一般通过直线的交点来确定平面的公共点.
设计意图：通过3,4两个例题，考查学生对空间中点、直线、平面的位置关系的理解，并能够在常见几何体中识别这些位置关系，同时能够推导.锻炼学生解决问题的能力．
（四）课堂练习
1.，，，分别是下图中正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线，是异面直线的图形的是 填序号
解：由题意可得图中与平行，不合题意；
图中，，三点共面，但平面，直线与异面，符合题意；
图中连结，，因此与共面，不合题意；
图中，，共面，但平面，直线与异面，符合题意．
故答案为．
2.如图所示，在正方体中，是的中点，则直线与平面的位置关系是 ．
解：由于是的中点，延长，
则它与的延长线相交，于是与平面 有一个公共点，即与平面相交．
故答案为相交．
3.在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，如图所示，给出下列四个结论：
点的轨迹是一条线段；
与是异面直线；
与不可能平行；
三棱锥的体积为定值．
其中，所有正确结论的序号是 ．
解：对于，设平面与直线交于点，连接、，
则为的中点
分别取、的中点、，连接、、，
，故四边形为平行四边形，
则，平面，平面，
平面．
同理可得平面，
、是平面内的相交直线
平面平面，
根据题意可得平面，可得平面，
即点是线段上的动点．所以正确；
对于，和平面相交于，是平面内不经过的直线，
与是异面直线，所以正确．
对于，由知，点是线段上的动点，
当与重合时，与平行，所以错误．
对于，因为平面，则到平面的距离是定值，三角形面积为定值，三棱锥的体积为定值，所以正确；
故答案为：
4.如图，在正方体中，是的中点，则直线与平面的位置关系是 ，直线与平面的位置关系是 ．
解：是的中点，
直线与直线相交，
与平面有一个公共点，
与平面相交；
取中点，连接，，
，，
，，
，
四边形为平行四边形，
，又平面平面，平面．
故答案为相交；平行．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固点、直线、平面之间的位置关系，达到能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
本节课我们学习了哪些知识？体验了那些数学思想？
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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