资源简介

第八章 立体几何初步
8.5.1直线与直线平行
1.通过复习平面内直线与直线平行的情形，理解基本事实4，并能应用基本事实4解决线线平行的相关问题.
2.理解等角定理，并会应用这个定理解决相关问题，通过经历等角定理的假设、推导过程，进一步培养学生的探究、发现、解决问题的能力，提升学生的学科素养.
重点：基本事实4和等角定理．
难点：利用基本事实4和等角定理解决相关问题．
创设情境
复习回顾：
1.在平面几何的学习中，我们研究过两条直线的位置关系，同一平面中，两条直线的位置关系有哪些呢？
答：平行、相交
2.在同一平面中，如何判定两条直线平行呢？
答：
(1)定义法：如果两直线没有交点，那么两直线平行.
(2)定理法：
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
平行公理：平行于同一条直线的两直线平行.
思考：如何判定空间中两直线平行呢？这些方法仍然适用吗？
答：利用平行直线的定义或基本事实4证明；仍然适用.
设计意图：通过复习同一平面内直线平行的相关知识，制造认知冲突，引出新课．
探究新知
任务1 在空间中，探究平行于同一条直线的两条直线的关系
探究1：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，DC//AB，A1B1//AB ，则DC与A1B1平行吗？观察你所在的教室，你能找到类似的实例吗？
答：通过观察，可以发现，DC// A1B1,，
在教室里，黑板边所在直线AA'和门框所在直线CC'都平行于墙与墙的交线BB'，可以发现CC'//AA'．
探究2：如图，将一张长方形的纸如图进行折叠 , 则各折痕 a, b, c, d, e, … 之间平行吗？
答：a//b// c//d//e
设计意图：通过生活案例的设计，探究基本事实4，从而培养学生的观察能力，思考能力以及抽象思维．
思考：通过任务一，你能得到怎样的结论呢？
基本事实4 平行于同一条直线的两条直线平行．
符号表示： a//b，b//c a//c．
【总结】基本事实4的作用
含义：空间中平行于同一条直线的所有直线都互相平行．
作用：判断空间两条直线平行的依据．
判定空间中两直线平行的2种方法：
1.两直线没有交点
2.基本事实4
设计意图：通过对基本事实4的剖析，培养学生辨析能力，以及对知识的归纳总结能力．
任务二：类比平面中的等角定理，探究空间中的等角定理
思考1：如图,四棱柱ABCD-A'B'C'D'的底面是平行四边形，∠ADC与∠A'D'C'，∠ADC与∠B'A'D'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何
答：
图(1)中，∠ADC=∠A'D'C'
图(2)中，∠ADC与∠B'A'D'互补
思考2：如图，当空间中两个角的两条边分别对应平行时，这两个角有怎样的关系呢？请你说说理由．
答：
对于图（1），可以构造两个全等三角形，使 和是它们的对应角，从而证明．
如下图，分别在 和的两边上截取AD，AE和，，使得，．连接，，，，．
∵∥且，
∴四边形是平行四边形．
∴∥且．
同理可证 ∥．
∴∥且．
∴四边形是平行四边形．
∴．
∴．
∴．
对于图（2），同理可证．
思考1：通过任务二的探究过程，你能得到怎样的结论呢？
等角定理 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
2.如何理解等角定理的实质呢？
若一个角的两边与另一个角的两边分别平行且方向都相同(或方向都相反)，则这两个角相等,如图：
若一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补．如图：
设计意图：通过在长方体中角之间的关系，探究等角定理，接着通过全等三角形证明定理，最后深度剖析定理，形成完整的学习闭环，培养学生逻辑思维能力，以及归纳总结能力．
（三）应用举例
例1：如图，空间四边形ABCD中， E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，求证：EFGH是平行四边形．
分析：判定平行四边形的依据是什么？利用平行四边形的判定定理来证明
证明：连接BD．
是的中位线，
∥，且.
同理∥ ，且 .
∥且．
∴四边形EFGH为平行四边形．
【总结】基本事实4是证明空间中直线的平行关系的重要依据，有时也叫平行线的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．
例２：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1．
证明：(1)∵ABCD A1B1C1D1为正方体．
∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，
又M，M1分别为棱AD，A1D1的中点，
∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，∴四边形AMM1A1为平行四边形，
∴MM1＝AA1且MM1∥AA1．
又AA1＝BB1且AA1∥BB1，
∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，∴四边形BB1M1M为平行四边形．
【总结】通过基本事实4证明空间中的直线平行，常常借助平行四边形性质，三角形中位线性质等．
(2)法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM．∵∠BMC和∠B1M1C1方向相同，∴∠BMC＝∠B1M1C1．
法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1＝BM．
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1＝CM．
又∵B1C1＝BC，
∴△BCM≌△B1C1M1，∴∠BMC＝∠B1M1C1．
【总结】利用等角定理证明空间角相等时，需要说明角的两组对应边分别平行，且同向或方向相反．
例3：如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线平行直线有多少对 异面直线呢？
分析：得到正确解答的关键点是什么？做到不重不漏.
解：平行直线有1对，异面直线有3对.
设计意图：通过例题，熟悉直线与直线平行的相关解题方法，培养学生解决问题的综合能力．
（四）课堂练习
1.如果，，那么和( )
A. 互补 B. 可能相等，也可能互补
C. 大小无关 D. 相等
解：若和方向相同，则；
若和方向相反，则．
故选B．
2.下列命题正确的是
A. 不共线的三点确定一个平面
B. 平行于同一条直线的两条直线平行
C. 经过两条平行直线，有且只有一个平面
D. 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等
解：在中，由基本事实，不共线的三点可以确定唯一的一个平面，故A正确；
在中，由基本事实可知，平行于同一条直线的两条直线平行，故B正确
在中，由推论可知，经过两条平行直线有且仅有一个平面，C正确
在中，由等角定理，如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角一定相等或互补，故D错误．
故选：．
3.四面体中，分别是各边、、、的中点，若，则是 形填四边形的形状
解：证明：四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，，，
，平行于同一条直线的两直线平行
四边形是平行四边形，
四边形中，点、、、分别是、、、的中点，
是的中位线，是的中位线，
，，
，
，
四边形是菱形．
4.如图，在正方体中，，分别是棱，的中点．
求证：四边形是梯形；
求证：．
证明：连接，在中，
，分别是棱，的中点，
是三角形的中位线，
，．
由正方体的性质得：，．
，且，即，
四边形是梯形；
由可知，
又，
与相等或互补，
而与均是直角三角形的锐角，
．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固基本事实4和等角定理，做到灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.关于直线与直线平行的判定，平面内的知识依然适用于空间．
2.等角定理的证明，是通过全等三角形来证得角度相等，体现了把空间问题转化为平面问题来解决的思想．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

展开更多......

收起↑