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第八章 立体几何初步
8.5.2 直线与平面平行
1.掌握直线与平面平行的判定定理与性质定理，并能准确使用数学符号、图形语言表示定理.
2.理解直线与平面平行的判定定理和性质定理的互逆关系.
3.通过对判定定理和性质定理的探究学习，进一步培养学生发现问题和解决问题的能力，逐步提升学科素养．
重点：直线与平面平行的判定定理和性质定理.
难点：直线与平面平行的判定定理的推导.
创设情境
观看视频
想一想：如何判定直线与平面平行呢？
师生活动：利用情景视频导入新课，教师引导学生善于发现数学知识在生活中的应用．
设计意图：通过情境视频导入，让学生感受到数学知识来源于生活，启发学生善于观察，发现生活中的数学，激发学习兴趣，降低学习难度．
（二）探究新知
任务1：通过实践活动探究直线与平面平行的判定定理
活动1：如图，门扇的两边是平行的.当门扇绕着边AB转动时，另一边与墙面有公共点吗？此时门扇转动的一边与墙面平行吗？
活动2：如图，在翻书过程中，边AB与桌面有交点吗？与桌面平行吗？
【小组讨论】
1.先独立思考，再小组内进行讨论分享.
2.以小组形式汇报展示组内观点与结论,其他小组认真倾听之后进行点评.
答：思考1：没有公共点；平行
思考2：没有公共点；平行
师生活动：在学生思考、讨论的基础上，引导学生理解线面平行的三个前提条件．
设计意图：让学生从具体的实际情境中抽象出几何知识，培养学生的空间想象能力与抽象能力．
说一说：通过任务一的学习，你能说说如何判定直线与平面平行吗？
线面平行的判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
图形语言：
符号语言：
表示为：；其中，三个条件缺一不可.
定理理解：
将空间问题转化为平面问题研究
空间内的线面平行关系转化平面内的线线平行关系
师生活动：教师引导学生准确画图，并用数学符号表示出定理内容，归纳总结出定理的内涵．
设计意图：帮助学生从自然描述、图形表示、符号表示三个维度理解线面平行的判定定理，提升数学素养．
任务2：探究直线与平面平行的判定定理的证明过程
【小组讨论】
1.先独立思考，提出你的猜想，再小组讨论整理.
2.以小组形式汇报证明思路,其他小组认真倾听之后进行点评.
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
已知：如图，
求证：
证明：假设a与平面α相交，设
设a与b确定的平面为β，则A是平面α与β的公共点，b是平面α与β的交线，
则A一定在交线b上，说明a与b相交.
这和a//b矛盾，故a//α.
师生活动：教师分析证明思路，学生板演．
设计意图：利用反证法证明直线与平面平行的判定定理，帮助学生顺利掌握定理，并体会反证法的推理价值．
思考：请结合直线与平面平行的判定定理，完成以下练习.
1.下列说法正确的是（ ）
A．如果一条直线和一个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
B．若直线l平面α，直线a平面α，则la.
C．若直线l平面α，则l与平面α内的任意一条直线都不相交．
D．若直线m平面α，n平面α，则mn.
2.对于直线m，n和平面α，下面叙述正确的是(　　)
A．如果mα，nα，m，n是异面直线，那么nα
B．如果mα，n与α相交，那么m，n是异面直线
C．如果mα，nα，m、n共面，那么mn
D．如果mα，nα，m、n共面，那么mn
答：1.C；2.C
师生活动：通过思考题的设置，再次帮助学生理解直线与平面平行的判定定理．
设计意图：帮助学生辨析判定定理，提升逻辑推理能力．
任务3：探究直线与平面平行的性质定理
思考1：观察桌面上放置的台历，台历的上边缘与桌面平行，观察台历的其余边缘，也与上边缘平行吗？这些平行关系会随着台历张开的角度不同而变化吗？
思考2：台历所在平面与桌面的位置关系是怎样的？根据这些信息，你能猜想直线与平面平行的性质定理吗？
【小组讨论】
1.先独立思考，再小组内讨论分享.
2.以小组形式汇报,其他小组认真倾听之后进行点评.
答：
思考1：台历的下边缘和上边缘平行；不会变化
思考2：台历所在的平面与桌面相交；
猜想：一条直线和一个平面平行，则过该直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
师生活动：通过观察不同的台历的上边缘与桌面平行，引导学生思考由线面平行能推导出怎样的结论，从而猜想出线面平行的性质定理．
设计意图：帮助学生感受性质定理的探究过程，提升学生的数学素养．
说一说：通过任务三的学习，关于直线与平面平行，你能得到怎样的性质呢？
线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
图形语言：
符号语言：
表示为：；其中，三个条件缺一不可.
定理理解：
①空间中平行关系的相互转化，性质定理与判定定理互逆
②由线面平行得到线线平行
师生活动：教师引导学生准确画图，并用数学符号表示出定理内容，归纳总结出定理的内涵．
设计意图：帮助学生从自然描述、图形表示、符号表示三个维度理解性质定理，提升数学素养．
思考：对于直线与平面平行的性质定理，能够有哪些证明方法呢？
定理：一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行.
已知：a//α,a β,α∩β=b, 求证：a//b
证明：∵α∩β=b
∴b α
又∵ a//α,
∴a与b无公共点
又∵a β，b β
∴a//b
思考：如果一条直线和一个平面平行，那么这条直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系呢？
答：平行或异面
师生活动：教师组织学生探索定理的证明方法，以及多次对定理进行辨析理解.
设计意图：通过探索性质定理的证明方法，同时对定理进行二次辨析，加深对性质定理的理解.
（三）应用举例
例1：求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.
已知：如图，空间四边形ABCD中，E、F分别是AB,AD的中点.
求证：EF//平面BCD
分析：证明线面平行的关键是什么呢？在平面内找到该直线的平行直线.
证明：如图，连接BD，因为E为AB中点，F为AD中点，
所以EF//BD.
又BCD平面，BD平面BCD
所以EF//平面BCD
【总结】要证明一条直线与平面平行，只要在这个平面内找出一条与此直线平行的直线就可以了.
例2 如图所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.
(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？
(2)所画的线与平面AC是什么位置关系？
分析：判定线面的位置关系的突破口是什么？判断该直线与平面内的某直线的平行关系.
证明：(1)如图，在平面A′C′内，
过点P作直线EF,使EF//BC，
并分别交棱A′B′，D′C′于点E，F.
连接BE，CF，
则EF，BE，CF就是应画的线.
(2)因为棱BC平行于平面A′C′，
平面BC′与平面A′C′相交于B′C′，
所以BC//B′C′
由(1)知，EF//B′C′，
所以EF//BC.
而BC在平面AC内，EF在平面AC外，
所以EF //平面AC.
显然，BE，CF都与平面AC相交.
【总结】判断直线与平面之间的位置关系，一般转化为研究该直线与平面内直线的位置关系.
例3 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，判断BD1与平面AEC的位置关系，并说明理由.
分析：判定线面的位置关系的突破口是什么？确定该直线与平面内某直线的平行关系
证明：连接BD交AC于点O,连接EO，
∵E,O分别是，BD的中点，∴EO//；
又平面AEC,EO平面AEC，
∴//平面AEC.
【总结】利用三角形中位线证得线线平行，是判定线面平行常用的一种技巧.
例4 三棱柱ABC-A1B1C1中，M, N分别是BC和A1B1的中点，求证：MN//平面AA1C1C.
分析：判定线面的平行的突破口是什么？在平面内确定一条直线与该直线平行.
证明：设AC的中点是D，连接MD,.
∵M，D是AB，AC的中点，∴MD//BC,MD=；
∵N是的中点，∴；
由棱柱性质知，,,
∴四边形MN为平行四边形，∴MN//
又MN，
∴MN//.
【总结】利用平行四边形的对边平行得到线线平行，是判定线面平行的常用技巧.
设计意图：通过例题，熟悉直线与平面平行的相关解题方法，并体会线面平行与线线平行的转化思想．
课堂练习
1.如图，在三棱锥中，，分别是，的中点．
求证：平面；
若三棱锥的各棱长均为，求它的表面积．
解：证明：因为，分别是，的中点，
所以是三角形的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
若三棱锥的各棱长均为，
则该三棱锥为正四面体，四个面是全等的等边三角形，
故它的表面积为．
2.正三棱柱的底面正三角形的边长为 ， 为的中点，．
证明：平面；
求该三棱柱的体积．
(1)证明：连接 ，设 ，连接
是正三棱柱的侧面，
为矩形，
是 的中点，
又 为的中点，
是 的中位线，
，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
解：因为在正三棱柱中，底面正三角形的边长为， 为 的中点，
所以 ，且 ， ，
故 ，
又 平面 ， ，
所以正三棱柱的体积 ．
3.如图，四棱柱中，底面为平行四边形，，分别为，的中点．证明：平面．
证明：连接，如图所示
，分别为，的中点，，
在四棱柱中，底面为平行四边形，
且，
四边形为平行四边形，有，，
平面，平面，
平面．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面平行的判定定理与性质定理，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
本节课我们学习了哪些知识？
本节课我们掌握了哪些思想方法？
1.研究直线与平面的平行关系的思路，仍然是将空间问题转化为平面问题来研究，线面平行关系是通过转化为线线的平行关系来得到，反过来，由线面平行也可以得到线线平行，这就是线面平行的性质定理.
2.直线与平面平行的判定定理与性质定理，都有3个不可缺少的条件，二者不可混淆．
3.探究定理时，采用从特殊到一般的研究方法，先是观察实物中蕴含的位置关系，再得到一般结论，形成判定定理与平行定理，这个过程体现了转化思想、互逆思想等数学思想.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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