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第八章 立体几何初步
8.5.3 平面与平面平行
1.理解并掌握平面与平面平行的判定定理与性质定理,达到直观想象、逻辑推理核心素养水平二的要求.
2.能准确使用数学符号语言、文字语言、图形语言表述平面与平面平行的判定定理和性质定理，进一步培养学生的表达能力.
3.能够利用平面与平面平行的判定定理与性质定理解决几何综合问题，培养学生的高阶思维.
重点：平面与平面平行的判定定理与性质定理的应用.
难点：平面与平面平行的性质定理的探索.
创设情境
观看视频：
想一想：如何判定平面与平面平行呢？
（二）探究新知
任务1：探究利用定义判定平面与平面的平行
思考1：两个平面的位置关系有哪些情形呢？
思考2：若两个平面平行，其中一个平面内的任一直线与另一个平面有交点吗？
思考3：当一个平面内的所有直线与另一个平面都没有交点时，这两个平面平行吗
【小组讨论】
1.先独立思考
2.小组内交流讨论，进行展示汇报
答：
思考1：位置关系有2种：平行、相交
思考2：没有交点
思考3：这两个平面平行
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究平面与平面平行的判定定理
活动1：如何判定一个平面内的任意直线都平行于另一个平面呢 有没有更简便的方法
答：因为平面内有无数条直线，所以判断全部直线与另一个平面平行不太可能.
可以判断一组平行直线或相交直线与另一个平面平行.
活动2：a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线，它们都和桌面平行，那么硬纸片所在平面和桌面平行吗
答：不一定平行
活动3：c和d分别是三角板相邻两边所在直线，它们都和桌面平行，那么三角板所在平面和桌面平行吗
答：平行
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过生活实践引导学生探究面面平行的判定定理，加深对判定定理的理解．
【总结】
平面与平面平行的判定定理
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
思考：在定理的条件中，需要注意哪些关键点呢？如何用数学符号表示判定定理呢？
答：
关键点：
(1)一个平面内的两条相交直线，
(2)且这两条相交直线都与另一个平面平行.
符号表示：
说一说：已知长方体-，相交于点P，相交于点Q；如图，平面平行吗？为什么？
答：平行，利用平面与平面平行的判定定理可以解释.
线线平行 →线面平行 → 面面平行
思考：在探究如何判定平面与平面平行时，我们采用了怎样的数学思想与方法？
答：
转化思想
(1) 面面平行转化为线面平行，再转化为线线平行
(2)所有直线与平面平行转化为一组相交直线与平面平行
师生活动：先独立思考，再组内讨论分享，最后小组展示汇报.
设计意图：通过总结定理内容，培养学生的总结概括能力，通过说一说和设置多个思考问题，帮助学生巩固所学知识.
任务三：探究面面平行的性质定理
思考1：如图， α∥β，β内任意直线a与平面α有交点吗？直线a与平面α内的直线有怎样的位置关系呢？
答：没有交点；异面或平行
思考2：如何能确定出两个平行平面内互相平行的直线呢？
答：作出这两个平面的相交平面，这两条交线互相平行
说一说：根据任务三的内容，你能得到怎样的结论呢？
猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行.
已知：平面//，平面分别与平面，相交于直线, .
求证： //.
∵ ∩= ，∩=
∴ .
又//，
∴公共点.
又同在平面内，
∴ //
【总结】
要证明两直线平行，就可以用此方法先去构造线线平行.
两个平面平行的性质定理：
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行.
符号表示：
性质定理的作用是什么
可以由平面与平面平行得出直线与直线平行，它是确定直线与直线平行的重要途径.
师生活动：小组内交流总结，并汇报.
设计意图：引导学生探究学面与平面平行的性质定理，并剖析了知识的关键之处，加深理解．
（三）应用举例
例1 已知正方体，求证：平面//平面
分析：证明面面平行的关键是什么呢？
答：在平面内找到两条相交直线与该平面平行
证明：∵为正方体，
∴
∴且
∴四边形四边形.
∴//
又∵，平面
∴
同理
又
∴平面
例2：求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等.
已知：如图//， ，且, , , .
求证：
证明：过平行线作平面,与平面和分别相交于和.
∵ // ,
∴.
又,
∴四边形是平行四边形.
所以.
例3 如图，在三棱锥P-ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF//CM.
分析：证明线线平行的突破口是什么？
答：利用面面平行的性质定理解决线线平行问题
证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE//AB.
又DE平面ABC，AB平面ABC，所以DE//平面ABC，
同理DF//平面ABC，且DEDF＝D，DE，DF平面DEF，
所以平面DEF//平面ABC.
又平面PCM平面DEF＝NF，
平面PCM平面ABC＝CM，所以NF//CM.
【总结】
若平面与平面平行，可以得到第三个平面与它们的交线平行，这也是证明线线平行的重要方法.
例4：在如图所示的几何体中，底面ABCD是正方形，四边形ADPM是直角梯形，D，且四边形底面ABCD，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，AD=PD=2，PD=2AM．求证：平面平面ADPM.
证明：
又∵四边形ABCD是正方形，∴
∵EG,GF平面ADPM，
又∵EG
∴平面.
【总结】
常用的与面面平行相关的性质（补充）.
(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面．
(2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等．
(3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．
(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．
设计意图：通过例题，熟悉平面与平面平行的相关解题方法，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．
（四）课堂练习
1.如图，在多面体中，平面平面，且，则( )
A. 平面 B. 平面
C. D. 平面平面
解：取的中点，连接，，如图所示，
则由已知条件易证四边形是平行四边形，
，
平面平面，
平面平面，平面平面，
，
，
又，，
四边形是平行四边形，即，
又平面，平面，
平面．
故选A．
2.如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点，求证：平面；平面平面．
解：如图，连接 ，
分别是 的中点， ．
又 平面 ， 平面 ，直线 平面 ．
连接， 分别是 的中点，
又 平面 ， 平面 ，
平面 ，由知， 平面 ，
且 平面 ， 平面 ， ，
平面 平面 ．
3.如图：在正方体中，为的中点．

求证：平面；
在线段上是否存在一点，使得平面平面，说明理由．
证明：连接交于，连接，
底面 为正方形，为的中点．
为 的中点，在 中，是 的中位线，∴ ．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ；
解：当点为的中点时满足平面 平面 ，
为 的中点，为 的中点，
，且 ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ，
平面 ；
由知 平面 ，
又 ，平面，
平面 平面
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固平面与平面平行的平行定理和判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
（1）本节课我们学习了哪些知识？
（2）本节课我们掌握了哪些思想方法？
1.研究平面与平面平行的判定定理，就是通过转化为直线与平面的平行关系来判定．即把空间图形问题转化为平面图形问题，体现了转化与化归的思想．这也是研究空间图形的基本思路.
2.类比直线与平面平行的学习，先学习平面与平面平行的判定，再探究性质，这是学习性质、定理类数学知识的一般思路.
3.深入体会线面平行、面面平行之间的转化，提升解决综合问题的能力.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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