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第八章 立体几何初步
8.6.1直线与直线垂直
1.会用图形表示两条直线异面，理解并掌握异面直线所成角的定义，熟记异面直线所成角的范围.
2.会用平移转换法求异面直线所成的角，培养学生的空间想象能力、分析问题、解决问题的能力、逻辑推理的能力，学生初步掌握将空间问题转化为平面问题的数学思想.
重点：异面直线的判定与异面直线所成的角的概念．
难点：求两异面直线所成的角．
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中可以抽象成异面直线的例子吗？(学生举例)
想一想：如何刻画两条直线的位置关系呢？
师生活动：教师展示生活中给我们异面直线的实例，让学生也例举生活中的实例. 之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：请用结构图梳理空间中两直线的位置关系.
合作探究：1.先独立梳理结构图2分钟
2.小组内交流讨论补全完善自己的结构图
3.以小组为单位进行展示汇报
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究异面直线所成的角的定义
探究：在正方体ABCD A′B′C′D′中，E为BC的中点，直线A′C′、A′D′、C′E与直线AB的位置关系分别是什么？直线A′C′、A′D′、C′E相对于直线AB的位置相同吗 如果不同，如何表示这种差异呢
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：观察图形，不难判断：直线、、与直线均异面．
虽然直线、、都与直线异面，但它们各自与直线的相对位置不同，这说明，仅用“异面”不足以描述异面直线的相对位置．
我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度．类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系．
说一说：类比两相交直线所成的角，你能给出异面直线所成角的定义吗？如何用图形语言来表示异面直线所成的角？
如图，已知两条异面直线，，经过空间任意一点分别作直线∥，∥，我们把直线与所成的角叫做异面直线与所成的角（或夹角）．
思考：直线，所成角的大小与点的位置有关吗？
答：无关，因为平移不改变两条直线所成的角．因此，求异面直线，所成的角时，为了简便，点常取在两条异面直线中的一条上．例如：取在直线上，然后经过点作直线∥，那么直线与所成的角就是异面直线与所成的角．
思考：两条异面直线与所成角的范围是多少？异面直线所成的角有哪些特殊的角？空间任意两条直线，所成的角的范围是多少？
答：由异面直线的定义可得，异面直线，所成角的范围是，．.
若两条异面直线，所成的角为直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．记作：．空间任意两条直线，的位置关系有：平行，相交，异面．当直线，平行时，我们规定它们所成的角为；当直线，相交或异面时，它们所成的角的范围均为，．
综上可得，空间任意两条直线，所成的角的范围是，．
设计意图：以长方体为例，得出异面直线的判定定理，进一步探究异面直线所成的角，培养学生几何直观、数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 如图，已知正方体．
（1）哪些棱所在的直线与直线垂直？
（2）求直线与所成的角的大小．
（3）求直线与所成的角的大小．
解：（1）棱，，，，，，，所在的直线分别与直线垂直．
思考：空间两条直线垂直，一定相交吗？
答：不一定，也可能是异面垂直.
空间中，两条直线垂直包括：相交垂直（共面），异面垂直，都记作a⊥b．
（2）因为是正方体，所以，因此为直线与所成的角．又因为，所以直线与所成的角等于．
（3）如图，连接．因为是正方体，所以，，从而四边形是平行四边形，所以．于是为异面直线与所成的角．连接，易知是等边三角形，所以．从而异面直线与所成的角等于．
【总结】异面直线所成角
求法：平移法
步骤： 平移作角, 求角
若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；
若求出的角是钝角，则它的补角是所求异面直线所成的角．
例2 如图（1），在正方体中，为底面的中心．
求证．
提示：如何证明两条异面直线垂直？要证两条异面直线垂直即证所成的角为直角.
证明：如图（2），连接．
∵是正方体，∴．∴四边形是平行四边形．
∴．所以直线与所成的角即为直线与所成的角．
连接，，易证．
又为底面的中心，∴为的中点，∴，∴．
例3已知三棱锥中，，，，分别是，的中点，，则与所成的角大小为
解：取中点，连接、，
因为，分别是，的中点，
所以，，
所以与所成的角的平面角为或其补角，
由，，得，，
又，
则，
所以，
所以与所成的角大小为.
【总结】求两条异面直线所成的角的一般步骤：
（1）构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形中位线、平行四边形性质等)作出异面直线所成的角．
（2）证明：证明作出的角就是要求的角．
（3）计算：求角度，常放在三角形内求解．
（4）结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．
总结：研究异面直线所成的角，就是通过平移，使得空间几何问题转化为平面几何问题．这种解决问题的思想方法在后面解决问题中很常用．
设计意图：通过例题，熟悉异面直线的相关解题方法，并体会将空间问题转化为平面问题的思想．
（四）课堂练习
1.若空间中四条不同的直线，，，满足，，，则下面结论正确的是( )
A. B.
C. ，既不垂直也不平行 D. ，的位置关系不确定
解：构造如图所示的正方体，
取为为为，
当取为时，，
当取为时，，故排除，，．
故选D．
2.如图所示，在正方体中，，分别是，的中点，则异面直线与所成的角的大小为( )
A. B.
C. D.
解：如图，连接，，，
，分别是，的中点，
，
又，
或其补角是异面直线与所成的角，
是等边三角形，
．
故选： ．
3.直三棱柱中，，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解：设，取的中点，连接，，
则，为异面直线与所成的角或补角．
易求，，，
所以．
故选D．
4.如图，长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
解：连接 ， ， ，
在长方体 中，易知 ，
所以 为异面直线 与 所成角或其补角，
又在长方体 中， ，
所以 ， ，
在 △ 中，由余弦定理得 ．
因为异面直线所成的角的取值范围是 ，
所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ．
故选：．
5.正四棱锥中，，，为棱，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为 ．
解：设为线段的中点，故E，
故异面直线，所成角为或其补角，
在中，，
则．
所以异面直线，所成角的余弦值为．
故答案为：．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题，体会了转化与化归的思想．
2.类比平面内两条相交直线所成的角的定义，对空间中两条异面直线所成的角进行定义，进而得出空间两条直线所成的角，理解了知识之间的相互联系．
3.引入异面直线所成的角的概念后，空间中两条直线垂直又可分为相交垂直、异面垂直．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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