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第八章 立体几何初步
8.6.2直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定
1.学生通过实例直观感知、探作确认，抽象、归纳出直线与平面垂直的定义；知道点到平面的距腐，直线和平面所成的角的概念，会在具体情境中找出并表示.
2.学生能通过直观感知、操作确认发现直线与平面垂查的判定定理，能在直线与平面垂直的情境中利用定义与判定定理证明直线与平面垂直，能结合直线与平面垂直的判定定理和直线与平面所成角的概念在具体情境中求直线和平面所成的角.
3.学生能理解证明直线与平面内的所有直线垂直，只需证明该直线与这个平面内的两条相交直线垂直即可，了解其中两条相交直线在确定平面中的作用；知道求直线与平面所成的角可转化为求两条特殊直线所成的角等；能认识到 “直线与平面垂直的判定，与 “直线与平面平行的判定〞在知识结构、学习方法等方面的逻辑一致性，体会研究空间位置关系的判定的一般恩路和方法.
重点：直线与平面垂直定义的抽象与归纳，以及直线与平面垂直判定定理的发现与验证．
难点：发现并验证直线与平面垂直的判定定理．
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中可以抽象成直线与平面垂直的例子吗？(学生举例)
想一想：直线与平面垂直是如何定义的呢？能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直？
师生活动：教师展示生活中给我们以直线与平面垂直的实例，让学生也例举生活中的实例.之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：通过生活中线面垂直的实例，给学生以线面垂直的直观印象，为后面的学习作铺垫．
（二）探究新知
任务1：探究直线与平面垂直的定义
思考：在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断地变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？旗杆所在直线是否与平面内所有直线垂直？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：事实上，随着时间的变化，尽管影子的位置在不断地变化，但是旗杆所在直线始终与影子所在直线垂直．也就是说，旗杆所在直线与地面上任意一条过点的直线垂直．对于地面上不过点的任意一条直线，总能在地面上找到过点的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆所在直线与直线也垂直．因此，旗杆所在直线与地面上任意一条直线都垂直．
说一说：如何定义一条直线与平面垂直呢？
答：一般地，如果直线与平面内的任何一条直线都垂直，那么称直线与平面互相垂直．记作⊥．直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足．
师生活动：教师提出问题，（可以借助信息技术呈现旗杆影子随时间变化的位置变化），学生容易得出旗杆所在直线与其影子所在直线保持垂直，这也就说明旗杆所再直线和地面所在平面内的无数条直线垂直.对于直线AB与地面上所有直线都垂直，需要将其中的“所有直线”转化为“任意直线”，教师可以引导学生结合头脑中已有的“任意一个数”“任意一个人”等来理解其中“任意”与“所有”的关系.由于对于地面上的任意一条直线，总能找到旗杆的一个影子与之平行，从而其与旗杆所在直线垂直.这样就可以归纳出直线与平面垂直的定义.
思考：如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
答：不一定.
设计意图：开门见山引入如何用数学语言刻画生活中的直线与平面垂直的问题，既激发学生的学习兴趣，又引导学生通过观察、对比与思考，把直观、模糊的感知抽象化、确切化.接下来“顺势引导”，引导学生抽象概括出直线与平面垂直的定义.再通过正反两方面情况的辨析，让学生直观感知直线与平面垂直时，“任意”不能改为“无数”，即便直线与平面内无数条直线垂直，但只要平面内存在一条直线与之不垂直，就不能说直线与平面垂直，从而加深对直线与平面垂直的定义的理解.
说一说：你能举出生活中可以抽象成直线与平面相交但不垂直的例子吗？
师生活动：让学生举出不垂直的例子.
设计意图：加深对直线与平面垂直定义的理解.
任务2：探究直线与平面垂直的相关结论.
思考：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“过一点垂直与已知平面的直线有且只有一条”进而给出垂线段、点到平面的距离的概念.顺势介绍在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离.
设计意图：类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质，既呼应前面棱锥的高的概念，也为后面“平面与平面垂直的性质”定理后的“探究”做必要的铺垫.
任务3:探究直线与平面垂直的判定.
思考：根据定义，判断直线与平面垂直，需要验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直．类比平面与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单、易行的方法？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
提示：1.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
2.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？
师生活动：教师提出问题，引发学生思考，并类比与直线与平面平行的判定，直接去找平面的直线，给出一条，给出两条，逐一探究，借助长方体，得出最简单易行的办法，并引导学生进行如下探究.
探究：如图，准备一块三角形的纸片，过△的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（，与桌面接触）．
（1）折痕与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？
合作探究：
1.先独立思考，动手操作，再小组内讨论；
2.每小组挑选一名代表展示小组讨论结果；
3.讨论时间2分钟.
答：不一定；
容易发现，所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕是边上的高，这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线与平面内的两条相交直线，都垂直．
由此，我们可以得出直线与平面垂直的判定定理：
如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与平面垂直．
符号语言：若，，，，，则．
注意：此定理共三个条件，在应用时缺一不可，即：①两线面内，“，”；②线线垂直，“，”；③两线相交，“” ．口诀：一垂，二垂，三相交.
作用：在空间中，常用此定理来由“线线垂直”来证明“线面垂直”．
思考：你能结合向量知识解释直线与平面垂直的判定定理吗？
答：如图：两相交直线，确定平面，，
结合平面向量基本定理可知，平面内的任意一个向量可以由两相交直线，的方向向量，线性表示，
可得直线垂直于平面内任意一个向量，
进而垂直于平面内任意一条直线，
由直线与平面垂直的定义可得．
师生活动：教师引导学生从基本事实的推论2和平面向量基本定理出发，思考两条相交直线可以确定一个平面，并且这两条相交直线可以表示这个平面内的所有直线，因此，一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直时，这条直线就垂直于这个平面，从而对直线和平面垂直的判定定理进一步作出解释.
思考：两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
师生活动：教师提出问题，引导学生进行探究，可以举出反例说明，也可以结合平面向量基本定理说明.
设计意图：引导学生有条理地进行探究.通过实践操作，提出直线和平面垂直的判定定理的猜想.按照课标要求，这一定理在本章不要求证明，二十在选择性必修课程“空间向量于立体几何”中进行证明.但在此处，可以结合实践操作举出反例，以及通过平面向量基本定理基本定理对此判定定理的正确性进行说明.为此，可以在学生探索出判定定理的猜想后，通过追问，提出对此定理进一步解释的问题，以使学生确认此定理的正确性.结合判定定理的得出过程，可以让学生进一步体会直线于平面垂直向直线于直线垂直转化，体会直观感知、操作确认、思辨论证的研究立体几何的一般过程，发展直观想象素养.
任务4：探究直线与平面所成的角.
探究：请你尝试给出直线与平面所成角的定义.
一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，斜线和平面的交点叫做斜足．过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影．平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
师生活动：教师提出问题，给出斜线的概念.引导学生利用发现，斜线于平面相交的位置关系的不同在于他们对于平面的“倾斜程度不同”.进而给出直线于平面所成角的概念，并用它来刻画斜线和平面的位置关系.
设计意图：引出直线与平面所成的角的概念，同时建立平面的一条斜线在平面上的射影的概念．
追问：直线与平面所成角的取值范围是多少？
答：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是．直线与平面所成的角的取值范围是．
思考：如图，是平面内一条不与直线重合的直线，那么直线与直线所成的角和直线与这个平面所成的角的大小关系是什么？
答：解：作于点，连接．
∵是平面的垂线，∴．
又，∴平面．∴．
于是，，．
显然，，所以．
而，都是锐角，所以．
结论：直线与平面相交时(不包含垂直)，直线与平面所成的角，是直线与平面内经过斜足的直线所成角中最小的角．
（三）应用举例
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
追问1：你能根据条件于结论画出示意图，写出已知、求证吗？
答：已知
求证：．
追问2：结合所画的图形，你认为证明此问题的思路是什么？
证明：在平面内取两条相交直线．
∵直线
∵,
又是两条相交直线，
∴.
师生活动：教师要求学生写出已知、求证，并与学生共同分析证明思路：根据直线与平面垂直的判定定理知，只需证明另一条直线垂直于这个平面内的两条相交直线即可.在此问题中，需要构造出平面内的两条相交直线.教师可请一名学生板书，其他学生自己在本上书写证明过程.学生交流，教师反馈，共同完成证明.
追问3：你还有不同的证明方法吗？用直线与平面垂直的定义证明这个例题
师生活动：学生尝试用直线于平面垂直的定义证明这个例题，然后交流.
设计意图：通过例题，巩固直线与平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把我判定定理中“两条相交直线”这一关键.通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明的不同证法，让学生在运用不同方法证明的过程中提高思维的灵活性.在这个过程中使学生认识到证明直线与平面垂直一般有两种方法.一种方法是利用直线与平面垂直的定义直接证明，一种方法是利用直线与平面垂直的判定定理证明.
例2 如图所示，所在平面外一点，，点为斜边的中点，求证：直线平面．
证明：连接，
∵，点为的中点，∴．
在中，∵点为斜边的中点，∴．
在与中
∴≌（），∴∠∠，
∴，
又，，、都在平面中，
∴平面．
总结：应用判定定理证明线面垂直的步骤
①找：在平面内找到或作出两条与已知直线垂直的直线；
②证：证明已知直线垂直于找到(作出)的直线；
③结论：由判定定理得出结论．
例3如图所示，Rt△BMC中，斜边BM=5，它在平面ABC上的射影AB长为4，MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值．
解：由题意知，A是M在平面ABC内的射影，
∴MA⊥平面ABC．∴MC在平面CAB内的射影为AC．
∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角．
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BM·sin∠MBC＝5sin 60°＝5×＝．
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3．
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝．即MC与平面CAB所成角的正弦值为．
总结：求斜线和平面所成的角的步骤
①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
②由垂足和斜足出射影，确定出所求角；
③把该角放入三角形中计算
例4 如图在正方体中，求直线和平面所成的角．
分析：关键是找出直线在平面上的射影．
解：连接，，与相交于点，连接．
设正方体的棱长为．
∵，，，
∴平面．
∴．
又，
∴平面．
∴为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角．
在中，，，
∴，
∴．
∴直线和平面所成的角为．
设计意图：通过例题，考查学生对直线与平面垂直的判定定理的理解即应用，并会求直线与平面所成的角．
总结：求斜线和平面所成的角的步骤
①寻找过直线上一点与平面垂直的直线；
②证明某平面角就是斜线和平面所成角；
③把该角放入三角形中计算．
例5 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．求直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值．
解：取AA1的中点M，连接EM，BM．因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD．又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，所以EM⊥平面ABB1A1，
从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM即为直线BE与平面ABB1A1所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3，于是在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝，即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为．
总结：求斜线和平面所成的角的步骤
①作出一点与平面垂直的直线；
②连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；
③把该角放入三角形中计算．
（四）课堂练习
1.过所在平面外一点，作，垂足为，连接，，．
（1）若，则点是的 心．
（2）若，，则点是边的 点．
（3）若，，，垂足都为，则点是的 心．
解：因为斜线长相等，则根据勾股定理可得射影长相等，故是的外心；
因为斜线长相等，则根据勾股定理可得射影长相等，故是的外心，
再根据直角三角形的外心是斜边的中点，可得为的中点；
连结、，
由，，，、平面，
得平面，平面，
于是，
又平面，平面，故，
又，，平面，故BC平面，
由平面，可得；
同理可证，故是的垂心．
故答案为外心；中；垂心．
2.如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点．若沿，及把这个正方形折成一个四面体使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中，哪些棱与面互相垂直？
解：因为在折叠过程中，始终有，
即，且、平面，
所以平面．
同理有平面，平面．
3.如图，是的直径，点是上的动点，过动点的直线垂直于所在平面，，分别是，的中点．判断直线与平面的位置关系，并说明理由．
解：直线与平面垂直，
理由如下：是的直径，
，
又垂直于所在平面，且在所在平面上，
，
又，、平面，
平面，
又、分别是，的中点，
，
平面．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线．这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题，体会了转化与化归的思想．
2.类比平面内两条相交直线所成的角的定义，对空间中两条异面直线所成的角进行定义，进而得出空间两条直线所成的角，理解了知识之间的相互联系．
3.引入异面直线所成的角的概念后，空间中两条直线垂直又可分为相交垂直、异面垂直．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.第八章 立体几何初步
8.6.2直线与平面垂直
第2课时 直线与平面垂直的性质
1.通过观察探究，进行合情推理发现直线与平面平行的性质定理，并能准确地用数学语言表述该定理；能够对直线与平面平行的性质定理作出严密的逻辑论证，并能进行一些简单的应用．
2.通过直观感知和操作确认的方法，培养和发展学生的几何直觉、运用图形语言进行交流的能力；体会和感受通过自己的观察、操作等活动进行合情推理发现并获得数学结论的过程．
3.通过自主学习、主动参与、积极探究的学习过程，激发学生学习数学的自信心和积极性，培养学生良好的思维习惯，渗透化归与转化的数学思想，体会事物之间相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义思想方法．
重点：直线与平面垂直的性质定理．
难点：直线与平面垂直的性质定理的应用．
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中可以抽象成多条直线与同一平面垂直的例子吗？(学生举例)
想一想：这些直线会有什么样的位置关系呢？
师生活动：教师展示生活中给我们多条直线与同一平面垂直的实例，让学生也例举生活中的实例. 之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：通过直观观察，操作确认得出线面垂直的位置关系及其性质. 结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究直线与平面垂直的性质
思考：长方体ABCD-A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直线与底面ABCD是什么关系？四条侧棱AA′、BB′、CC′、DD′之间是什么关系？垂直于同一直线的两条直线平行．此性质能推广到空间吗？
小组讨论：1.你的猜想是什么？
2.先独立思考证明你的猜想，再以小组讨论分享各自的证明方法.
3.以小组形式汇报展示,其他小组认证倾听之后进行点评.
师生活动：教师引导学生结合直观感知，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程，学生根据问题进行直观感知，进而提出合理猜想，并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想. 直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验，要求用语言描述发现的结论，并给出证明，证明方法有多种，在小组中交流分享自己的做法，最后展示汇报.
设计意图：通过对现象的直观感受，得出猜想并用严谨的逻辑语言证明猜想的正确性，最终得到结论，能够让学生感受完成的探究知识的过程，以及得到研究问题的一般方法.
下面我们证明此猜想是否成立．
已知：
求证：∥．
方法一
证明：假设与不平行，且．显然点不在直线上，
所以点与直线可确定一个平面，在该平面内过点作直线，则直线与是相交于点的两条不同直线，
所以直线与可确定平面，设，则．
因为所以．
这样在平面内，经过直线上同一点就有两条直线，与垂直，显然不可能．
因此∥．
方法二
证明：如图已知a⊥α，b⊥α，b∩α=O，若a与b不平行，
∴设点O与直线a确定平面β，在平面β内过点O作直线b′∥a，
则b′⊥α.
这与过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条矛盾．
∴a∥b．
这样，我们得到了直线与平面垂直的一条性质定理：
直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两条直线平行．
符号语言：若，则∥．
作用：此定理揭示了“平行”与“垂直”间的一种联系，可以用此定理判定两直线平行.
思考1：在的条件下，如果平面外的直线与直线垂直，你能得到什么结论？
答：∥．
思考2：在的条件下，如果平面与平面平行，又能得到什么结论？
答案：．
思考3：在证明直线与平面垂直的性质定理时，用到了“平面内，过直线上的一点只有一条直线与已知直线垂直”，那么，在空间内，过直线上的任意一点有多少条直线与已知直线垂直？这些直线之间有什么关系？
答：在空间内，过直线上的任意一点有无数条直线与已知直线垂直，这些直线都在同一平面内，且相交于一点．
师生活动：学生展示后，继续引导学生思考，得到更过垂直与平行之间的联系.加深对性质定理的理解.
设计意图：能够让学生加深对性质定理的理解，从不同的情况得到垂直与平行的关系.
任务2：前面我们已经学习了点到平面的距离，即从平面外一点作一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离称为点到平面的距离．那么，直线与平面的距离如何定义呢？
追问：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离有什么关系？为什么？
猜想：如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等．
下面对猜想进行验证：
探究 已知：直线l与平面α平行．
求证：直线l上各点到平面α的距离相等．
解：过直线上任意两点，分别作平面的垂线，，垂足分别为，．
∵，，∴∥．
设直线，确定的平面为，则．
∵∥，∴∥．
∴四边形是平行四边形．
∴，由，是直线上任取的两点，即直线上各点到平面的距离相等．
由上述结论，我们可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离．
师生活动：教师提出问题，师生共同讨论，直观感知和操作确认“如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等”进而给出两个平行平面间的距离的概念.
设计意图：类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的性质定理，给出空间类似的性质.
（三）应用举例
例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，AD⊥平面ABC，D为FG的中点，且AF＝AG，EF＝EG．求证：BC∥FG．
证明：连接DE，AE，因为AD⊥平面ABC，所以AD⊥BC．
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC，
又AD＝A，所以BC⊥平面ADE．
因为AF＝AG，D为FG的中点，所以AD⊥FG，
同理ED⊥FG，又ED＝D，
所以FG⊥平面ADE，所以BC∥FG．
总结：利用线面垂直的性质证明线线平行的步骤：
①找到这两条直线垂直的平面；
②证明直线与该平面垂直；
③得出结论．
例2 如图，平面平面，，垂足分别为，，直线平面， .求证：.
证明：，，.
同理.
，, 平面，
平面.
又，，.
，，, 平面，
平面.
.
总结：利用线面垂直的性质证明线线平行的步骤：
①找到这两条直线垂直的平面；
②证明直线与该平面垂直；
③得出结论．
例3 在正方体ABCD - A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，EF⊥A1D，EF⊥AC，求证：EF∥BD1．
证明：如图所示，连接A1C1，C1D，B1D1，BD．
∵AC∥A1C1，EF⊥AC，∴EF⊥A1C1．
又EF⊥A1D，A1D＝A1，
∴EF⊥平面A1C1D　①．
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1．
∵四边形A1B1C1D1为正方形，∴A1C1⊥B1D1，
又B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BB1D1D，
而BD1 平面BB1D1D，∴A1C1⊥BD1．同理DC1⊥BD1．
又DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D　②．
由①②可知EF∥BD1．
设计意图：让学生灵活运用直线与平面垂直的性质，顺带着复习上一节课的内容直线与平面垂直的判定，在这里也涉及了一条重要的结论，在正方体中，体对角线和不相交的面对角线形成的平面垂直.
总结：线面垂直的性质定理是证明两直线平行的重要依据，证明两直线平行的常用方法：
(1)， ．
(2)，， ．
(3)，，=b ．
(4)， ．
例4 推导棱台的体积公式：，其中，分别是棱台的上、下底面面积，是高．
解：如图，延长棱台各侧棱交于点，得到截得棱台的棱锥，过点作棱台的下底面的垂线，分别与棱台的上、下底面交于点，，则垂直于棱台的上底面，从而．
设截得棱台的棱锥的体积为，去掉的棱锥的体积为、高为，则．
于是，．
所以棱台的体积．①
由棱台的上、下底面平行，可以证明棱台的上、下底面相似，并且，
所以．
代入①，得．
设计意图：通过例题，考查学生对直线与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用，并在此基础上推导之前学习过的棱台的体积公式．
例5 如图，在直四棱柱中，底面为菱形，，求点到平面的距离.
解：如图所示，作，交延长线于，
由直四棱柱的特征易知底面，面，
所以，又平面，
故面，因为底面为菱形，，
所以，则，
易知到平面的距离相等，设点到平面的距离为，
则，解之得.
总结：求点面距离的方法：
①直接法：求垂线段长度；
②转移法：求与平面平行的直线上的某一特殊点到平面的距离；
③体积法：利用换底法求三棱锥的体积找到高对应的点面距离.
（四）课堂练习
1.已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
解：若，，则，相交或平行或异面，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，则或或或与相交，故D错误．
故选：．
2.已知、为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论中正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，，则
C. 若，，且，，则
D. 若，，则
解：对于，，，则、平行或异面，故A错误；
对于，若，，，则，或与相交不一定垂直，故B错误；
对于，若，，且，，则、平行或相交，故C错误；
对于，若，，则，故D正确．
故本题选D．
3.所在的平面，是的直径，是上的一点，，分别是点在，上的射影，给出下列结论：
；；；平面
其中正确命题的序号是 ．
解：所在的平面，所在的平面，
，而，，
平面．
又平面，
，故正确；
，，
平面，而平面，
，故正确
，，
平面，而平面，
，故正确
平面，假设平面，
，显然不成立，故不正确．
故答案为．
4.如图，在三棱锥中，，，平面，，则点到的距离是 ．
解：如图所示，作于点，连接．
因为平面，平面，
所以．
因为，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
在中，，，
所以．
在中，，，
所以，
即点到的距离为．
故答案为．
5.已知正三角形的边长为，是边上的高，，分别是，的中点，现将三角形沿翻折至的位置，使平面平面，如图所示．
（1）试判断翻折后直线与平面的位置关系，并说明理由；
（2）若三棱锥的体积为，求实数的值；
（3）在线段上是否存在一点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）平面理由如下：
在中，，分别是，的中点，
，
又平面，平面，
平面；
（2）由题意，得，平面平面，
平面平面，平面，
平面，
取的中点，连接，则，
平面，且，
易得，
三棱锥的体积为，
，解得；
（3）在线段上存在一点，使得，理由如下：
易知三角形为正三角形，过作交于点，连接，过作交于点，连接，则点即所求，
平面，，
平面，
又平面，
，
又，，、平面，
平面，
又平面，
，
因为，，
故，从而．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固直线与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.垂直于同一平面的两条直线平行.
2.如果一条直线平行于一个平面，那么这条直线上各点到这个平面的距离均相等.
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

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