资源简介

第八章 立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直
第1课时 平面与平面垂直的判定
1.通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程．
2.类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理．
3.通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力．
重点：两平面垂直的判定定理．
难点：两平面垂直的判定定理的应用．
（一）创设情境
观看视频
想一想：如何从数学的观点认识这些现象？为此，我们需要研究两个平面所成的角.
师生活动：教师展示生活中给我们平面与平面成角的实例，引导学生思考如何将其数学化，用数学的语言表示.
设计意图：通过实际的问题背景，让学生感知研究两个平面所成的角的必要性，为讲解新知铺垫．
（二）探究新知
任务1：探究两个平面所形成的角.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
提示1.直线上一点将直线分割成两部分，每一部分叫什么？平面上的一条直线将平面分割成两部分，每一部分叫什么名称？
2.在平面几何中，我们把“从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角”，你认为二面角如何定义呢？
引入二面角的概念．
一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面．当其中一个半平面绕着这条直线旋转时，两个半平面就形成了一定的“角度”．
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．如图，以直线AB为棱、半平面，为面的二面角，记作二面角．有时为了方便，也可以在，内（棱以外的半平面部分）分别取点，，将这个二面角记作二面角．如果棱记作，那么这个二面角记作二面角，．
师生活动：教师引导学生结合之前所学，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程，学生根据问题进行直观感知，并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想. 直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验，要求用语言描述发现的结论.
设计意图：通过对现象的直观感受，并尝试用数学的语言描述这个世界，能够让学生感受探究知识的过程，以及得到研究问题的一般方法.
任务2：探究二面角的大小.
常生活中，我们常说：“把门开大一些”是指哪个角大一些？你认为应该怎样刻画二面角的大小呢？
通过观察可以得到，随着门开口的增大，在逐渐的增大，当二面角确定时，也随之确定．
在二面角的棱上任取一点，以点垂足，在半平面，内分别作垂直于棱的射线，，则射线，构成的叫做二面角的平面角．
追问：的大小与点在直线上的位置有关吗？为什么？
答案：如图，是二面角的平面角，在l上任取异于的点，分别作A′O′和B′O′与l垂直．
∵A′O′⊥l，AO⊥l，∴AO∥A′O′，同理BO∥B′O′．
又∠AOB与∠A′O′B′方向相同，∴∠AOB=∠A′O′B′．
故二面角的平面角的大小，与棱上点的选择无关．
思考：二面角的棱与其平面角所在平面之间是什么关系？
答案：如图，∠AOB是二面角的平面角，
∴AO⊥l，BO⊥l，
又AO∩BO=O，AO ，BO ，
∴l⊥平面ABO．
思考：二面角的平面角的取值范围是多少？
答案：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．我们约定，二面角的大小范围是．
当平面角为时，两半平面重合；当平面角为时，两半平面共面，组成整个平面．
任务3：探究平面与平面垂直的定义.
请你举出生活中面面垂直的例子，并尝试给出平面与平面垂直的定义.
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
例如墙角：教室的墙面与地面构成二面角，二面角的面：墙面和地面；二面角的棱：墙面与地面的交线；二面角的平面角：如图，；的度数：．
一般地，两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面与垂直，记作⊥．
注意：画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成互相垂直的．
设计意图：结合实际场景，引出二面角的概念，并进一步讨论二面角的平面角及其取值范围，并用二面角的平面角定义两个平面互相垂直．
探究：除了根据定义外，还有其他方法判断两个平面互相垂直吗？
小组讨论：
1.先独立思考,再以小组讨论分享各自的方法；
2.以小组形式汇报展示,其他小组认证倾听之后进行点评.
建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面，这种方法说明了什么道理？
答案：这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．
类似的结论也可以在长方体中发现，如上图，在长方体中，平面经过平面的一条垂线，此时，平面垂直于平面．
由此，我们就得到了：
两个平面互相垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
符号语言：若，则．
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．
思考：你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
答案：不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直．
设计意图：通过观察生活实例及常见的长方体，让学生理解两个平面互相垂直的判定定理，并用其解释生活中的现象，加深理解．
（三）应用举例
例1 如图，在正方体中，求证：平面平面．
分析：证明面面垂直的突破口是什么？把面面垂直转化为线面垂直
证明：∵ABCD A′B′C′D′是正方形，
∴AA′⊥平面ABCD，
∴AA′⊥BD．
又BD⊥AC，且AC∩AA′=A，
∴BD⊥平面ACC′A′．
∴平面A′BD⊥平面ACC′A′ ．
【总结】
证明面面垂直
方法：定义法；面面垂直判定定理
步骤： 找线线垂直 再证线面垂 最后证面面垂直
例2 如图，是⊙的直径，垂直于⊙所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点．求证：平面平面．
分析：证明面面垂直找哪条直线垂直于平面？垂直于平面
证明：∵平面，平面，∴．
∵点是圆周上不同于，的任意一点，是⊙的直径，
∴，即．
又 ，平面，平面，
∴平面．
又平面，
∴平面平面．
总结：证明平面与平面垂直的两种常用方法
(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角，其判定的方法是：
①找出两相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个相交平面互相垂直．
(2)利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只要证线面垂直．即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直．这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤是：
①定思路：分析题意，根据题目条件选择证明哪个平面的垂线；
②证线面：选择恰当的方法证明线面垂直；
③证面面：根据面面垂直的判定定理证明．
设计意图：通过例题，考查学生对两个平面互相垂直的判定定理的应用，加深对知识的理解．
例3 已知正三棱锥的高为，侧棱长为，那么侧面与底面所成的二面角的余弦值是
解：方法一：如图，正三棱锥的顶点在底面上的射影为，连接，取的中点，连接，，则，，所以为侧面与底面所成的角因为平面，所以，，又，，所以，所以，所以，即侧面与底面所成的二面角的余弦值是．
方法二：因为正三棱锥V ABC的三个侧面在底面上的射影完全相同，都是底面正三角形面积的，由方法一知，，又，，所以，所以，所以，即，射影面积为，侧面面积为，由，即侧面与底面所成的二面角的余弦值是．
【总结】
求二面角的大小
求法：定义法
步骤：
作：作出二面角的平面角
证：证明所作的角满足定义
求：放在三角形中计算求出角的大小
关于二面角的一个结论：
设二面角的大小为，是内任一平面图形的面积，它再平面内的射影的面积为，则
（四）课堂练习
1.已知直线、，平面、，给出下列命题：
若，，且，则 若，，且，则
若，，且，则 若，，且，则
其中正确的命题是( )
A. B. C. D.
解：若 ，且，可得出或，又，故可得到，故正确；
若，，且，两个面平行于同一直线时，两平面有可能相交，故错误；
若且，可得出或，又，故不能得出，故错误；
若且，可得出，又，故得出，故错误．
其中正确的命题是．
故选D．
2.正方形中，边长为为正方形中心，为的中点，为中点，将沿着对角线缓慢折起，当的余弦值为时，二面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
解：由已知可得，
， ， ，
所以， ， 均为直角三角形， 即为二面角 的平面角．
又 分别是 的中点，
所以， ， ，
且 ，
所以， ， ， ．
由 可得， ．
同理可得， ．
所以，
，
所以， ．
故选：．
3.已知二面角的大小为，且平面，的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
解：如图，过点作于，连接，
因平面，又平面，则，
而，平面，于是得平面，
显然，平面，从而有，
因此，是二面角的平面角，即，
在中，，则有，
所以，
所以的面积是．
故选：．
4.如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，为的中点．
求证：平面平面；
求二面角的平面角的正弦值．
解：由题意，因为四边形 为菱形，所以 ．
连接．
因为 ，
所以 为等边三角形，从而 ．
在 中， 是 的中点，
所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ．
， 面 ， 平面 ， 面 ，
平面 ．
又 平面 ，
平面平面
由题意及得，
在平面 中，过点 作 ，垂足为 ，连接 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
又 平面 ，所以 ，
从而 是二面角 的平面角．
在 中， ， ，
所以 在 中， ， ，
所以 ．
在 中，
，
所以二面角 的平面角的正弦值为 ．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固平面与平面垂直的判定定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
2.判定两个平面垂直的方法：①利用定义，证明二面角为直角；②利用判定定理．
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.第八章 立体几何初步
8.6.3平面与平面垂直
第2课时 平面与平面垂直的性质
1.理解并掌握平面与平面垂直的性质定理；并能用文字、符号和图形语言描述定理，并能运用其证明有关的垂直问题．
2.在发现、推导和应用平面与平面垂直的性质定理的过程中，发展学生的数学抽象素养、逻辑推理素养和直观想象素养．
重点：平面与平面垂直的性质定理．
难点：平面与平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用．
（一）创设情境
观看视频
想一想：平面与平面垂直时会得到哪些结论呢？
师生活动：教师展示生活中给我们平面与平面垂直的实例. 之后提出问题，引导学生探究面面垂直时能得到哪些结论，用数学的语言表示.
设计意图：通过直观观察，操作确认得出面面垂直的位置关系及其性质. 结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究平面与平面垂直的性质.
思考：如下图，设，．则内任意一条直线与有什么位置关系？
相应地，与有什么位置关系？为什么？当时，如图，直线与有什么位置关系？为什么？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报.
答：显然，与平行或相交．当时，；当与相交时，与也相交．
当时，如上（右）图，设与的交点为，过点在内作直线，则直线，所成的角就是二面角的平面角，由知，．又因为，和是内的两条相交直线，所以．
由此我们得到平面与平面垂直的性质定理：
两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直．
符号语言：若，则．
注意：运用定理时三个条件缺一不可：①“面面垂直”，；②“线在面内”，；③“线线垂直”，.
作用：此定理揭示了由“面面垂直”可以推出“线线垂直”．这个性质定理可以用于解决现实生活中的问题．例如：装修房子时，要在墙壁上画出与地面垂直的线段，只需在墙面上画出地面与墙面的交线的垂线即可．
我们知道，可以通过“线线垂直”判定“线面垂直”；可以通过“线面垂直的定义”得到“线线垂直”；可以通过“线面垂直”判定“面面垂直”；同时“面面垂直的性质”得到“线面垂直”．这种直线、平面之间的位置关系的相互转化，是解决空间图形问题的一种重要的思想方法．
师生活动：教师引导学生结合之前所学，层层递进，逐步探索，体会数学结论的发现过程，学生根据问题进行直观感知，并逐步探索，认真思考，画出相应图形，进行观察、感知、猜想. 直观感知→操作确认→逻辑证明→形成经验，要求用语言描述发现的结论.
设计意图：通过问题引导学生感知在两个相互垂直的平面中，有哪些特殊的直线、平面的位置关系．然后通过操作，确认两个平面垂直的性质定理的合理性，进而提出猜想，最后进行逻辑推理，证明性质定理成立．这个过程采用的思路仍然是“直观感知、操作确认、推理证明”，这是符合学生学习立体几何知识，培养空间观念、直观想象素养以及逻辑推理能力的基本规律的．
说一说：已知两个平面垂直，下列命题错误的有 .
①一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；
②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．
答：①③④，理由如下：
一个平面内只有垂直于交线的直线和另一平面垂直，才和另一个平面内的任意一条直线垂直，故①③错误；因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，故②正确；过一个平面内任意一点作交线的垂线，若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，此垂线不一定垂直于另一个平面，故④错误．
任务2：探究平面与平面垂直的相关结论.
思考：如图，设平面，点在平面内，过点作平面的垂线，直线与平面具有什么位置关系？
答案：如图，设，过点在平面内作直线．
∴根据平面与平面垂直的性质定理，．
∵过一点有且只有一条直线与平面垂直，
∴直线，重合，因此，即．
结论：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
思考：两个平面互相垂直的性质告诉我们，可以在一个平面内作另一个平面的垂线．如果直线不在两个平面内，如图，已知平面，直线，，直线与平面是什么位置关系呢？
答案：在内作垂直于与交线的直线．
∵，
∴．
又，
∴．
又，
∴．
即直线与平面平行．
结论：如果一条直线垂直于两个互相垂直的平面中的一个，则这条直线要么在另一平面内，要么与另一平面平行．
（三）应用举例
例1 如图，已知平面，平面平面，求证：平面．
分析：题目给出面面垂直能给我们提供什么条件？
找两个平面的交线，作垂直出线面垂直
证明：如图，过点作．
∵平面平面，平面平面，
∴．
∵,
∴．
∵平面，,
∴．
又，
∴平面．
例2 如图，为正三角形，平面，∥，且，是的中点，求证：
（1）；
（2）平面平面；
（3）平面平面．
提示：证明线段相等的方法有哪些？
证明：（1）取的中点，连接，，
则∥，且．
因为∥，，
所以∥，．
所以四边形是平行四边形．
所以∥．
因为平面，
所以．
又，，所以平面．
所以平面．
又平面，
所以，
又是的中点，所以△是等腰三角形，即．
总结：证明线段相等的方法：
①等腰三角形②垂直平分线的性质③全等
（2）由（1）知，平面．
因为平面，
所以平面平面，
即平面平面．
（3）由（1）知，平面．
又平面，
所以平面平面．
总结：证明面面垂直
方法：定义法；面面垂直判定定理
步骤：①找线线垂直②再证线面垂③最后证面面垂直
设计意图：通过例题，考查学生对两个平面互相垂直的判定定理和性质定理的综合应用，加深对知识的理解．
例3 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是菱形，AC,BD 相交于点O，EF//AB，AB=2EF，平面BCF⊥平面 ABCD，点G 为BC 的中点.
(1)求证：直线OG// 平面EFCD (2)求证：直线AC⊥平面ODE .
证明：（1）
∵四边形ABCD 是菱形，AC ∩ BD = O
∴点O是BD的中点
∵点G为BC的中点，∴OG//CD
又∵OG平面EFCD，CD 平面EFCO
∴直线OG//平面EFCD .
提示：证明线面垂直的突破口是什么？找到线线垂直
（2）∵BF=CF，G 为BC 中点∴FG⊥BC
∵平面BCF⊥平面ABCD 平面BCF ∩平面 ABCD=BC
FG平面BCF，FG⊥BC
∴FG⊥平面ABCD
∵ AC平面ABCD，∴FG⊥ AC
∥,,∥,
∴ OG//EF，OG=EF
∴四边形EFGO 为平行四边形，∴FG//EO
∵ FG⊥AC，FG//EO，∴AC⊥EO
∵四边形ABCD 是菱形，∴AC⊥DO
∵ AC⊥EO AC⊥DO EO∩DO=O，EO,DO 在平面ODE 内
∴AC⊥平面ODE .
（四）课堂练习
1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“”，错误的画“”
如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面( )
如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面( )
如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面( )
解：
根据面面垂直的性质定理，如果两个面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面所以，平面与平面垂直，平面内不是所有直线都垂直于平面，故该括号内画；
当平面内的直线与交线平行时，该直线平行于平面．
所以，平面与平面垂直，平面内一定存在直线平行于平面，故该括号内画
由线面垂直证明面面垂直知，“如果一条直线垂直于另一平面，那么这条直线所在平面垂直于另一平面 反推，如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面是正确的，故该括号内画 .
2.点是直角斜边上一动点，将直角沿着翻折，使与构成直二面角，则翻折后的最小值是 ．
解：如图，过点作于，连结，，
设，
则有，， ，
在中，由余弦定理得：

，
在中，由勾股定理得：
，
当 时，取得最小值．
故答案为：．
3.如图，已知平面四边形是矩形，，，将四边形沿翻折，使平面平面，再将沿着对角线翻折，得到，设顶点在平面上的投影为．

如图，当时，若点在上，且，，证明：平面，并求的长度．
如图，当时，若点恰好落在的内部不包括边界，求二面角的余弦值的取值范围．
解：点在平面上的投影为且点在上，
点恰好落在边上，
平面平面，
又，平面平面，平面，
平面，又平面，
，
又，，平面，平面，
平面，平面，
设，，则，
，
，
，
在中，，解得，
．
作，交于，交于，如图：

当点恰好落在的内部不包括边界时，点恰好在线段上，
又，，
为二面角的平面角，
当时，由，可得，且，，
故二面角的余弦值的取值范围为
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固平面与平面垂直的性质定理，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：让学生回顾本节课知识点，建立知识与知识之间的联系，形成自己的知识体系，加深对新知识的理解与认识.

展开更多......

收起↑