资源简介

第八章 统计
9.1.1简单随机抽样
第1课时 简单随机抽样
1.了解普查与抽样调查的概念，知道两种调查方法的优缺点，能结合实际问题选择恰当的数据调查方法；
2.了解总体、样本、样本量的概念，了解抽样调查的随机性;
3.结合具体的实际问题情境，了解随机抽样的必要性和重要性.
重点：普查与抽样调查的意义，总体与样本的意义，简单随机抽样及其应用.
难点：简单随机抽样的应用.
（一）创设情境
2021年5月11日，第七次全国人口普查结果公布，全国人口为1443497378人
某电视节目在某年某月某天的收视率为：3.263%
2020年的调查显示，小学、初中、高中学生的近视率分别为35.6%、71.1%、80.5%，总体近视率为52.7%.
你知道这些数据是如何获取的吗？
师生活动：教师给出几组数据，并提出问题，引导学生结合初中学习的统计知识进行回顾与思考.
设计意图：通过生活经历，使学生体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：抽样调查与全面调查及统计相关概念.
思考：(1)要了解一箱苹果是否碰撞腐烂，如何调查？
(2)要了解一箱酸奶是否新鲜，需要逐一检查吗？
(3)初中我们已经学习了抽样调查与全面调查，你能尝试回忆它们的相关概念及其优缺点吗？
答：(1)逐个检查，即全面调查；
(2)具有破坏性，不能全面调查，采用抽样调查；
(3)像人口普查这样，对每一个调查对象都进行调查的方法，称为全面调查，又称普查.调查对象的全体称为总体，组成总体的每一个调查对象称为个体.根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法，称为抽样调查.从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称样本量.
总结：
普查 抽样调查
优点 调查结果全面、系统 迅速及时、节约人力
缺点 工作量大，有时费时费力 调查结果不如普查全面、系统
适用范围 1.调查对象少； 2.调查对象多，但是调查结果要求必须全面、系统、准确时 1.调查对象太多，且不必要普查的； 2.调查方式有破坏性时
师生活动：教师提出问题，引导学生总结分析，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解，统计的基本思想方法就是用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的情况.再此基础上，教师进一步提出问题，如何抽样才能抽取到一个“好”的样本呢？引导学生进行下一个任务的学习.
设计意图：通过具体生活实例的引入，让学生开始关注两种调查方式及其优缺点、适用范围等，进而开始展开课程，.
任务2：探究抽样调查的方法
思考：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同.你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗
师生活动：教师提出问题，并给出两种不同分方案：
方案1：从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复n次；
方案2：从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取，如此n次；
请同学们分组讨论：以上两种方案能否估计出红球的比例，请说明理由，并比较两种方案的优劣？
答：方案1的缺点：同一小球可能被重复摸中，极端情况可能一直被摸到；方案2的优点：避免同一小球被重复摸中，当样本量n=1000时，完全了解红球比例.两种方案都可行，根据初中的概率知识，随着次数增加，摸到红球的频率逐渐稳定于概率(即口袋中红球所占的比例).
【概念形成】
简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽n(1≤n＜N)个个体作为样本.如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样.如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
注意：逐个不放回随机抽取n个等价于一次性批量随机抽取n个.不放回抽取的效率更高，除特殊说明，一般默认简单随机抽样为不放回的.
思考：简单随机抽样有哪些特点？
答：有限性：总体的个数是有限；逐一性：样本的抽取是逐一进行的，每次只抽取一个个体；等可能性：每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性.
任务3：结合实例，探究简单随机抽样的方法及其步骤
探究：现要在某班40位同学中选派5个人去参加某项户外活动，为了体现选派的公平性，你有什么办法确定具体人选 具体如何实施？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：抽签法，具体步骤如下：
(1)编号：给总体中所有的个体编号
(2)制签：将1 ～ N这N个号码写在相同的号签上
(3)搅拌：将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀
(4)抽签：每次从容器中不放回地抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次
(5)取样：从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出
探究：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课座椅，他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高，以便设定可调节座椅的标准高度.已知树人中学高一年级有712名学生，从中抽取100名学生进行测量身高，若用抽签法抽取，请说其过程.
答：编号-给712名学生编号；
制签-将1-712个号码写在相同的号签上；
搅拌-将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
抽签-从容器中不放回地逐个抽取100次；
取样-从712名学生中选出与号签编号相同的学生.
个体:组成总体的每一个调查对象.
样本：从总体中抽取的那部分个体称为样本.
思考：抽签法有哪些优缺点，当总体数量较多时，此法方便吗？
答：优点：简单易行，每个个体有均等的机会被抽中，能保证样本的代表性.
缺点：总体容量大时，制作号签的成本会增加费时、费力.
号签很多，“搅拌均匀”困难，产生的样本的代表性差的可能性大.
师生活动：引导学生结合实例独立思考后，小组内交流讨论形成结论.教师可适当补充，待形成结论后，教师提出新问题：有简化制签的方法吗？
随机数法，具体步骤：
(1)编号：给总体中所有的个体编号
(2)选号：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的个体数，
如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号，并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数
(3)取样：把选定的号码对应的n个个体作为样本
生成随机数的方法：
随机试验生成随机数
①准备十个大小、质地一样的小球，小球上面分别写0，1，2，···，9，把它们放到一个不透明的袋中.
②有放回地摸取3次，每次摸取前充分搅拌.
③把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位数.
④如果这个三位数在范围内，则抽中对应编号的学生，否则舍弃，重复的数剔除.
生成随机数的方法
随机试验生成随机数
1.用计算器生成随机数：RandInt#(1,712)
2.用电子表格软件生成随机数：=RANDBETWEEN(1,712)
3.用R统计软件生成随机数：=sample(1:712,50,replace=F)
思考：抽签法与随机数法的优缺点是什么？
答：
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行 总体量较大时，操作起来较麻烦 适用于总体中个体数不多的情形
随机数法 简单易行，很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量较大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍然不方便 适用于总体量大、样本量较小的情形
思考：用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？
答：在重复试验中，试验次数越多，频率接近于概率的可能性越大，于是，样本量越大，效果越好；但是，在实际抽样中，样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加，因此，抽样调查中的样本量的选择根据实际的需要，不一定越大越好.
设计意图：为了让学生了解用简单随机抽样解决问题的过程，学习抽签法和随机数法两种简单随机抽样的方法，以及其优缺点、具体步骤等.
（三）应用举例
例1：在一次数学课堂上，陈老师请四位同学列举出生活中运用全面调查或抽样调查的例子.
小凉：为了了解玉米种子的发芽情况，采用抽样调查.
小爽：为了了解全班同学是否给父母洗过脚，采用全面调查.
小夏：为了了解某批导弹的射程，采用全面调查.
小天：为了了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，采用抽样调查.
你认为以上四位同学所列举事例的调查方式错误的是( )
A.小凉 B.小爽 C.小夏 D.小天
解：了解玉米种子的发芽情况、某批导弹的射程，具有破坏性，适合抽样调查；
了解全班同学是否给父母洗过脚，调查的对象较少，容易调查，适合全面调查；
了解全国中学生安全自救知识的掌握情况，人数太多，不适合全面调查，用抽样调查.
故四位同学所列举事例的调查方式错误的是小夏.
例2：福利彩票“双色球”中红球的号码可以从01，02，03，…，32，33这33个两位号码中选取，小明利用如下所示的随机数表选取红色球的6个号码，选取方法是从第1行第9列的数字开始，从左到右依次读取数据，则第四个被选中的红色球号码为( )
第1行：2 9 7 6 3 4 1 3 2 8 4 1 4 2 4 1
第2行：8 3 0 3 9 8 2 2 5 8 8 8 2 4 1 0
第3行：5 5 5 6 8 5 2 6 6 1 6 6 8 2 3 1
A.10 B.22 C.24 D.26
解：被选中的红色球号码依次为28，03，22，24，10，26，所以第四个被选中的红色球号码为24.故选：C.
设计意图：巩固知识，强化理解.
（四）课堂练习
1.某县教育局为了解本县今年参加一次大联考的学生的成绩，从名参加今年大联考的学生中抽取了名学生的成绩进行统计，在这个问题中，下列表述正确的是．( )
A. 名学生是总体 B. 名学生是总体的一个样本
C. 样本容量是 D. 每一名学生是个体
解：总体指的是名参加今年大联考的学生的成绩，所以错；
样本指的是抽取的名学生的成绩，所以错；
样本容量是，所以对；
个体指的是名学生中的每一个学生的成绩，所以错；
故选：．
2.下列调查方式中合适的是．( )
A. 要了解一批节能灯的使用寿命，采用普查方式
B. 调查你所在班级同学的身高，采用抽样调查方式
C. 调查沱江某段水域的水质情况，采用抽样调查方式
D. 调查全市中学生的就寝时间，采用普查方式
解：对于，要了解一批节能灯的使用寿命，应采用抽样调查方式，A错误；
对于，调查你所在班级同学的身高，应采用普查方式，B错误；
对于，调查沱江某段水域的水质情况，应采用抽样调查方式，C正确；
对于，调查全市中学生的就寝时间，应采用抽样调查方式，D错误．
故选：．
3.关于简单随机抽样，下列说法正确的是( )
它要求被抽取样本的总体的个数有限它是从总体中逐个地进行抽取不做特殊说明时它是一种不放回抽样它是一种等可能性抽样
A. B. C. D.
解：根据简单随机抽样的定义和性质知：
它要求被抽取样本的总体的个数有限，正确；
它是从总体中逐个地进行抽取，正确；
不作特殊说明时它是一种不放回抽样，正确；
它是一种等可能性抽样，正确；
故选：
4.从名学生中抽取名进行问卷调查，写出抽取样本的过程．
解：先将名学生进行编号，号码为，，，，；
把号码写在形状和大小相同的号签上；
将号签放在某个不透明的箱子里充分搅拌，使之均匀；
从箱子中，逐个抽取个号签，并记录上面的编号；
与这个号签上的号码对应的名学生就构成一个样本．
5.假设要考查某企业生产的袋装牛奶的质量是否达标，现从袋牛奶中抽取袋进行检验，利用随机数法抽取样本时，先将袋牛奶按，，，进行编号，如果从随机数表第行第列的数开始，按三位数连续向右读取，最先检验的袋牛奶的号码是下面摘取了某随机数表第行至第行( )



A. B.
C. D.
解：找到第行第列的数开始向右读，分别为，，，，，，，，，，，，把编号大于的舍去，则符合条件的前五个数是 ．故选B．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.第八章 统计
9.1.1简单随机抽样
第2课时 均值
1.会求总体平均数、样本平均数.
2.通过探究活动的开展，学生能够体会用样本平均数去估计总体平均数、用样本中的比例去估计总体中的比例.
3.能对现实生活中的实际问题进行均值计算，感知应用数学知识解决问题的方法，能了解样本与总体之间的关系，让学生认识到数学知识的逻辑性和紧密性，逐步培养学生的逻辑思维能力.
重点：用样本估计总体的意义.
难点：数据的平均数的概念及意义．
（一）创设情境
观看视频，你能举例出生活中简单随机抽样的例子吗？(学生举例)
想一想：在简单随机抽样中，如何通过样本来认识总体的性质呢？
师生活动：教师展示生活中的“随机抽样”，让学生也列举生活中的实例.之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：请用结构图梳理简单随机抽样的相关知识.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究总体均值与样本均值的关系
回顾：（1）下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值(单位:cm)如下:样本的平均数是多少？
要求：以小组为单位进行讨论交流，并汇报
答：由这些样本观测数据，我们可以计算出样本的平均数为.
由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右.
总结：通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值.即用样本平均数估计总体平均数。
总体平均数：一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，，…，，则称为总体均值，又称总体平均数.
加权平均数：如果总体的个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，…，，其中出现的频数，则总体均值还可以写成加权平均数的形式.
样本均值：如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为
，…，，则称为样本均值，又称样本平均数.
在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数.
探究：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果.他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.0.然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本容量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如表所示.从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？
抽样序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
样本量为50的平均数 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0
样本量为100的平均数 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2
思考：1.如何把表中数据用统计图表示出来？
2.从图表中你得出了哪些结论？
师生活动：独立思考，小组内交流，并汇报展示.
上图中红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均值。
说一说：
1. 20次试验，样本不同，平均数是否也是不同？
2. 20个样本平均数与总体平均数一样吗，偏离程度大吗？
3. 两种样本的样本平均数，哪个波动程度更小呢？
答：1.20次试验，样本不同，平均数不同。
2.虽然在所有20个样本平均数中，与总体平均数完全一致的很少，但除了样本量为50的第2个样本外，样本平均数偏离总体平均数都不超过1cm，即大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近波动.
3.样本量为100的波动幅度明显小于样本量为50的。增加样本量可以提高估计效果。
设计意图：利用问题情境探究，理解样本平均数和总体平均数的概念，在具体问题中，探究样本和总体之间的关系，发展学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．
（三）应用举例
例1眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要.树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做？
分析：总体：全校学生 个体：每一位学生 变量：学生的视力
记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则第i个(i=1，2，...，2174)
学生的视力变量值为=
于是，在总体中， “视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的总体平均数
若抽取容量为n的样本，则样本中“视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的样本平均数
可以用 估计，用样本中的比例p估计总体中的比例P.
解：例如，现在，我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本，其视力变量取值如下：
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
可计算出样本平均数为=0.54
由样本平均数，我们估计在树人中学全体学生中，“视力不低于5.0”的比例约为0.54.
例2 某班4个小组的人数为10,10,x,8,已知该组数据的中位数与平均数相等,求这组数据的平均数.
分析：的大小未知,可根据的取值不同分别找出中位数.
解:该组数据的平均数为，由于共有4个数据,
故中位数是其中两个数的平均数,
因为未知,所以要分几种情况讨论.
(1)当≤8时,原数据按从小到大的顺序排列为,8,10,10,
其中位数为.
若9,则=8,此时平均数为9.
(2)当8< ≤10时,原数据按从小到大的顺序排列为8, ,10,10,
其中位数若 = ，则=8,而8不在8< ≤10的范围内,所以舍去.
(3)当时,原数据按从小到大的顺序排列为8,10,10, ,
其中位数为.
若=10,则x=12,此时平均数10.
综上所述,这组数据的平均数为9或10.
总结：用分类讨论思想求平均数，分类讨论时要做到全面合理，不重不漏.
例3为了节约用水，制定阶梯水价，同时又不加重居民生活负担，某市物价部门在8月份调查了本市某小区300户居民中的50户居民，得到如下数据：
用水量（单位：） 18 19 20 21 22 23 24 25 26
频数 2 4 4 6 12 10 8 2 2
物价部门制定的阶梯水价实施方案为：
月用水量 水价（单位：元/）
不超过21 3
超过的部分 4.5
（1）计算这50户居民的用水的平均数.
（2）写出水价的函数关系式，并计算用水量为28时的水费.
（3）物价部门制定的水价合理吗？为什么？
解：（1） .
（2）设月用水量为，则水价为
，
当时， 元.
（3）不合理，从时间上看，物价部门是在8月份调查的居民用水量，而这个月，该市的居民用水量普遍偏高，不能代表居民的月用水量；从居民比例上看，仅仅16户居民，即32%的居民用水量没有超过21 ，加重了大部门居民的负担。
任务三：探究简单随机抽样的优缺点
请同学们尝试以表格或结构框图的形式总结简单随机抽样的优缺点。
师生活动：独立思考，小组内交流，并汇报展示.
【总结】简单随机抽样的优缺点
名称 优点 缺点
简单随机抽样 简单随机抽样方法简单、直观 当总体很大时，编号等准备工作耗费时间、人工，甚至难以做到；
用样本平均数估计总体平均数也比较方便 抽中个体较为分散，要找到样本中的个体进行调查会遇到很多困难.
简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础. 简单随机抽样没有其他辅助信息，估计效率不是很高.
设计意图：通过例题，让学生了解样本与总体之间的关系，掌握总体平均数、样本平均数的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．
（四）课堂练习
1.为了调查某工厂生产的一种产品的尺寸是否合格，现从500件产品中抽出10件进行检验先将500件产品编号为000，001，002，…，499，在随机数表中任选一个数开始，例如选出第6行第8列的数4开始向右读 ( 为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行 ) ，即第一个号码为439，则选出的第4个号码是 ( )

16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75
A.548 B.443 C.379 D.217
解：选出第6行第8列的数4开始向右读 (为了便于说明，下面摘取了随机数表，附表1的第6行至第8行 ) ，即第一个号码为439 ，则选出的前4个号码是： 439， 495 ， 443 ，217
∴ 选出的第4个号码是217.
故选：D.
2.已知样本数据的均值为=5，则样本数据的均值为（ ）
A.5 B.10 C.7 D.12
解：根据题意，样本数据的均值为=5，则有
设样本数据的平均数为，则
故选：D.
3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石 (精确到小数点后一位数字)
解：根据题意，这批米夹谷为
（石）
故答案为：169.1.
4.将一个总体中的5n个个体平均分成n份，每份5个个体．先计算每份的均值，得到n个均值．这n个均值的平均值是否等于总体均值？证明你的结论．
解：相等，
证明如下：
依题意可知总体中的个个体平均分成了份，每份个个体，
设，，
，，
，
，为个个体，
，，分别为第份，第份，，第份的均值，
为总体均值，
由题意得：
，
，
，
于是
．
5.某班主任统计本班名学生放学回家后学习时间的数据，用条形图表示如图
求该班学生每天在家学习时间的平均值；
该班主任用分层抽样方法按学习时间分五层选出人谈话，求在学习时间是个小时的学生中选出的人数；
解：平均学习时间为小时；
根据题意，从名学生中抽取名学生调查，则抽取比例为，
再由频率分布直方图可得学习时间是个小时的学生为人，
则这部分应抽取的人数为；
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固异面直线垂直和求异面直线所成角，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.理解数据的平均数的概念及意义，能用样本估计总体．
2.会用用样本平均数去估计总体平均数、用样本中的比例去估计总体中的比例，用样本估计总体的思想解决问题．
3.掌握总体平均数、样本平均数的计算方法，并熟悉的应用．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

展开更多......

收起↑