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第九章 统计
9.1.2 分层随机抽样
能理解分层随机抽样的概念，掌握分层随机抽样的步骤与适用范围，区分简单随机抽样和分层随机抽样，并能选择适当正确的方法进行抽样.
能对现实生活中实际问题进行分层随机抽样，感知应用数学知识解决实际问题的方法，体会“估计”与“精确”性的矛盾统一，培养学生的辩证唯物主义的世界观与价值观.
重点：分层随机抽样的特点、步骤和适用范围.
难点：用分层随机抽样的样本均值估计总体平均值.
（一）创设情境
1936年的美国总统选举前夕，为了预测两位候选人兰登和罗斯福谁将赢得大选，美国《文摘》杂志进行了一项规模宏大的民意调查。他们通过电话和邮件向数百万选民发送了问卷，试图了解选民的投票意向。最终调查结果预测了兰登将以压倒性优势获胜。
然而，实际的选举结果却与《文摘》杂志的预测大相径庭。罗斯福以压倒性的优势赢得了连任。造成这个结果有多种原因，包括问卷回应率偏低、样本中包含了过多的富人，以及没有考虑到当时经济大萧条对选民心理的影响，这次失败的预测成为了统计学史上的一个著名案例，它暴露了当时民意调查方法的缺陷，尤其是抽样偏差的问题。（学生讨论）
想一想：有没有更好的抽样方法可以规避这种情况呢？
师生活动：教师展示生活中的随机抽样的实例，同时给出结果，从给出的结果发现抽样的不合理，引发学生对如何规避样本极端情况的思考.学生相互讨论.
设计意图：通过视频导入，提出生活中的实例，从问题出发，自然引出学习分层随机抽样的目的，再以具体例子为开端，引导学生自主成长.这样设计让学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时能使他们体会到生活中处处有数学，也能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究如何规避“极端”样本的随机抽样.
探究1：在树人中学高一年级的712名学生身高的调查中，男生有326名、女生有386名.运用简单随机抽样，抽取50名学生的身高作为样本，是否会出现全是高个子或全是矮个子的样本呢（全是男生或全是女生）？
答：会出现全是高个子或全是矮个子的样本呢（全是男生或全是女生）.
思考：你认为导致简单随机抽样出现“极端”样本的原因可能是哪些呢？
师生活动： 1.小组内交流讨论原因；2.以小组为单位进行阐述.
答：第一，总体中个体之间差异较大.第二，样本抽取具有随机性.第三，通常总体中个体差异越小样本均值估计总体均值效果越好.
总结：影响身高的因素有很多，性别是一个主要因素.高中男生的身高普遍高于女生的身高，而相同性别的身高差异相对较小.
设计意图:通过探讨“极端样本”出现的原因，提高学生对样本随机性的认识，同时对总体的情况进行分析，为改进抽样方法提供思路.
探究2：在树人中学高一年级的712名学生身高的调查中，男生有326名、女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本，如何改进抽样方法减少“极端”样本的出现呢？
提示：改进抽样方法：在男生和女生两个群体中都抽取相应的个体.
思考：对男生、女生分别进行简单随机抽样，样本量在男生、女生中应如何分配？
答：等额分配；按男生、女生在全体学生中所占的比例分配.
方案一：等额分配.即：
所以，男生、女生被抽到的概率不一样.
方案二：按男生、女生在全体学生中所占的比例分配.
所以，男生、女生中分别应抽取的人数为23人与27人.
任务2：归纳分层随机抽样的概念，梳理抽样步骤.
说一说：尝试总结分层随机抽样的概念、特点与适用范围.
答：概念：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样.在分层随机抽样中，每一个子总体称为层.如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
特点：总体按一定标准分成若干互不交叉的层（子总体）；每层都抽样，且按比例抽样；等可能抽样，每个个体被抽到的概率都相等.
适用范围：总体规模和样本量都较大，总体是由差异明显的几部分组成的情况.
说一说：你能说说具体的抽样步骤吗？
合作探究：1.小组内交流讨论；2.在小组内交流分享；3.以小组为单位进行汇报；4.师小结.
任务3：探究汇总的样本平均数与总体平均数的关系.
说一说：尝试计算样本平均数、总体平均数以及它们关系.
合作探究：1.小组内交流讨论；2.在小组内交流分享；3.以小组为单位进行汇报；4.师小结.
在分层随机抽样中，如果层数分为层，第层和第层包含的个体数分别为和，抽取的样本量分别和. 我们用表示第层各个个体的变量值，用表示第层样本的各个个体的变量值；用表示第层各个个体的变量值，用表示第层样本的各个个体的变量值，则第层的总体平均数和样本平均数分别为 .第层的总体平均数和样本平均数分别为 .总体平均数和样本平均数分别为
由于用第层的样本平均数可以估计第层的总体平均数，用第层的样本平均样本平均数可以估计第层的总体平均数，因此我们可以用估计总体平均数.在比例分配的分层随机抽样中， .可得 .在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数.
任务4 探究不同抽样方法估计总体的效果.
探究：若分别用简单随机抽样和分层随机抽样的方法，从高一年级学生身高的所有数据中抽取了50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，并绘制10次样本平均数的散点图，从多次抽取所得的结果中你有什么发现？
合作探究：1.以小组为单位进行绘制；2.小组内交流、讨论、分享；3.以小组为单位进行汇报.
答：如图所示.
总结：第一，分层随机抽样的估计效果并不是每一次都优于简单随机抽样，而是从整体上或者从多数意义上优于简单随机抽样.第二，相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀，简单随机抽样的样本平均数偏离总体平均数的幅度比较大，例如第10个，即出现了比较“极端”的样本，而分层随机抽样几乎没有出现.第三，分层随机抽样的结果并不是每一次都优于简单随机抽样．例如，分层随机抽样的第7次抽样结果就没有简单随机抽样的第7次抽样结果的估计效果好.
设计意图：通过四个任务，对新知进行探究，从规避“极端”样本的原因出发，层层深入，挖掘原因，总结改进方法，探究分层随机抽样方法.接着概括概念、特点与适用范围，自然形成抽样步骤的框架，让学生真实发生，自然引出新知识，新方法.问题启发，思考新方法的不足，在教师的引导下学生理解与掌握新知.
（三）应用举例
例1 在树人中学高一年级的712名学生身高的调查中，男生有326名、女生有386名，若要抽取50名学生的身高作为样本（如下表格），如何运用样本估计高一年级学生的平均身高.
50名学生的身高样本数据（单位：cm）
思考：可以用不同的方法来解决这个问题吗？
答：方法一：运用所有样本数据直接计算平均数.运用所有样本数据直接计算平均数，估计高一年级学生的平均身高.计算得出，男生、女生身高的样本平均数分别为170.6人、160.6人.因此高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.
方法二：运用样本中男、女身高的平均数和样本量计算总样本平均数.估计高一年级学生的平均身高：.因此高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.
方法三：运用总体中男、女身高的平均数和各子总体的人数计算总体平均数. 估计高一年级学生的平均身高：.因此高一年级学生的平均身高在165.2cm左右.
例2 为了解我国15岁女孩的平均身高，从北方抽取了300个女孩，平均身高为1.60 m；从南方抽取了200个女孩，平均身高为1.50 m．由此可估计我国15岁女孩的平均身高为 (　 　).
答：由题意得我国15岁女孩的平均身高为＝1.56 m.
例3 某幼儿园有在职人员160人，其中行政人员有16人，教师有112人，后勤人员有32人．教育部门为了了解在职人员对幼儿园改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，请利用分层随机抽样的方法抽取，写出抽样过程．
答：抽样过程如下：
第一步，确定抽样比，样本容量与总体容量的比为
第二步，确定分别从三类人员中抽取的人数，从行政人员中抽取(人)；从教师中抽取(人)；从后勤人员中抽取(人)．
第三步，采用简单随机抽样的方法，抽取行政人员2人，教师人员14人，后勤人员4人．
第四步，把抽取的个体组合在一起构成所需样本．
设计意图：通过例题具体数据，引导学生采用多种方法估计高一年级全体学生的平均身高，通过一题多解，总结用样本来估计总体的计算方法.
（四）课堂练习
1.简单随机抽样和分层随机抽样的共同点是( ).
A. 都是从总体中逐个抽取 B. 都包含抽签法和随机数法
C. 抽样过程中每个个体被抽取的机会相同 D. 都是将总体分成几层，分层进行抽取
解：两种抽样方法的共同点就是抽样过程中每个个体被抽取的机会相同．
故选C．
2.从一个容量为的总体中抽取容量为的样本，当选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，则 ( ).
A. B.
C. ，的大小不确定 D.
解：根据简单随机抽样、分层随机抽样的定义可知，对于两种抽样方法，总体中每个个体被抽中的概率均相等，概率为，即
故答案为．
3.某学校高一年级学生中对数学非常喜欢、比较喜欢和一般喜欢的人数分别为、、，为了了解数学兴趣对数学成绩的影响，现通过分层抽样的方法抽取容量为的样本进行调查，其中非常喜欢的有人，则的值是( ).
A. B. C. D.
解：根据分层抽样原理知，，
解得．
故选：．
4.某企业共有 名职工，其中青、中、老年职工的比例为：：若从所有职工中抽取一个容量为的样本，则采用哪种抽样方法更合理？青、中、老年职工应分别抽取多少人？每人被抽取的可能性相同吗？
解：因为总体由差异明显的三部分青、中、老年组成，所以采用分层抽样的方法更合理．
由样本容量为，总体容量为可知，抽样比是，所以每人被抽到的可能性相同，均为．因为青、中、老年职工的比例是：：，所以应分别抽取：
青年职工人；
中年职工人；
老年职工人．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固分层随机抽样相关知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
思考题：除了随机抽样，是否还有其他获取数据的方法
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．思考题留作课下探讨.
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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