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第九章 统计
9.2.1 总体取值规律的估计
第1课时 频率分布直方图
能对问题解决进行系统处理，经历较为系统的数据处理全过程，体会统计思想解决问题的一般步骤.
掌握频率分布直方图的画法，总结其一般步骤，直观估计总体的分布情况，提升学生直观想象核心素养.
能对实际问题进行分析，设计解决方案，提升数学建模和逻辑推理素养.
重点：会列频率分布表、画频率分布直方图，用图、表对总体进行估计.
难点：在画频率分布直方图时，如何确定分组及分点；在频率分布直方图中纵坐标的确定；在用样本估计总体分布时不确定性思维与确定性思维的不同.
（一）创设情境
小明从网上查询得到某贫困地区50户居民家庭年收入（单位：万元），数据如下：
追问：你能很容易地看出这些数据有什么规律吗？若不能，对这些数据如何处理才可以
问题：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出．某市政府为了减少水资源的浪费，计划对居民生活用水费用实施阶梯式水价制度，即确定一户居民月均用水里标准用水里不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费。如果希望确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作？
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以视频引发学生思考，对收集好的数据进行分析、判断，激发学生主动学习，启发学生思考就问题1进行讨论，顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究分析情境中的问题，思考问题解决的方案.
说一说：要确定一个比较合理的标准，以使大部分居民用户的水费支出不受影响，你认为需要做哪些工作呢？
师生活动：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
总结：每户居民月均用水量标准如果定得太低，会影响很多居民的日常生活；如果标准太高，则不利于节水.如果经费、时间等条件允许，我们可以通过全面调查获得过去一年全市所有居民用户的月均用水量数据，进而得到月均用水量在不同范围内的居民用户所占的比例.由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查的方式，通过分析样本观测数据，来估计全市居民用户月均用水量的分布情况.总体是该市的全体居民用户，个体是每户居民用户，调查的变量是居民用户的月均用水量.要解决这个问题需要先通过抽样调查获取数据，观察数据，整理数据，从而分析数据，最后解决问题.
各抒已见：假设随机抽取100个数据（单位为：），你能发现什么呢？
答：通过观察数据发现，若将这些数据从小到大排序，最小值是，最大值是，其他在至之间.
思考：可以采用什么方式来整理数据呢？
师生活动：在师的引导下，师生共同总结.
总结：可以用表格或者图来整理数据，图有条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图.条形图可以直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；扇形图可以直观描述各类数据占总数的比例；折线图可以直观描述数据随时间的变化趋势；频数分布直方图能直观描述连续型数据.
提示：问题聚焦：月均用水里在不同范围内的居民用户占全市居民用户的比例.
答：可以用频数分布表、频数分布直方图来整理与表示数据.
任务2：探究频数分布直方图的画法.
说一说：尝试说说频数分布表与频数分布直方图的制作步骤？
答：第一步，求极差；第二步，决定组距与组数；第三步，将数据分组；第四步，列频数分布表；第四步，画频数分布直方图.
师生活动：学生合作探究：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
思考1：什么是极差？
答：极差为—组教据中最大值与最小值的差.观察计算：样本极差为，也就是说样本观测数据的变化范围为.
思考2：组距与组数如何确定呢？
提示：组数太多或太少都会影响我们了解数据的分布情况.为了方便，一般取等长组距，建议组距“取整”，先确定组距，再确定组数．
答：若, 则组数.若, 则组数的整数部分+1.
师生活动：学生合作探究：1.先独立思考2分钟; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
说一说：如果将上述100个数据按组距为3进行分组，组数是多少呢
答：组数 ，因此组数为9.
思考3：组距为3，9个组距的长度超过极差，各组范围如何确定呢？
提示：建议各组均为左闭右开区间，最后—组为闭区间．
答：例如：可取区间为[1.2，4.2)，以此类推，把样本观测数据以组距为3分为9组.数据分组为：[1.2，4.2），[4.2，7.2)，[7.2，10.2)，[10.2，13.2)，[13.2，16.2)，[16.2，19.2)，[19.2，22.2)，[22.2，25.2)，[25.2，28.2].
思考4：如何列频数分布表、频率分布表呢？
提示：在频数分布表的基础上再加一列．
答：将频数分布表分为三列：分组、频数累计、频数，再加一列频率，例如：第一组的频率：
由此做出频数分布表与频率分布表.
师生活动：1.小组内交流、讨论；2.尝试列出频数分布表；3.以小组为单位进行汇报.
总结：频数分布表：统计数据落在各个小区间的个数（即频数)；频率分布表：统计数据落在各个小区间的个数占全部数据的比例（即频率)．
思考5：如何画频数分布直方图？
答：
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位进行绘制；3.各小组分享成果.
说一说：根据上图，能直接估计60%的居民的用水量不超过多少吗？有没有更好的方法呢？
答：可以画频率分布直方图.
任务3：类比画频数直方图的方法探究频率分布直方图的画法，比较二者异同.
猜想：横坐标不变，纵坐标表示频率是不是就可以了？
答：
总结：纵坐标：用小矩形的高度表示频率.确实比频数分布直方图直观，但是从图中仍不能直观看出各组频率累积后的大小情况.
追问：用什么“几何量”来表示频率更合适呢？
总结：饼状图中面积表示占比大小，而面积的累积显然比高度的累积更直观.纵坐标：用小矩形的面积表示频率.
思考：纵坐标：用小矩的面积表示频率.那纵坐标应该表示什么呢？
答：小长方形的面积=组距.所有小长方形的面积之和=1
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位再次绘制；3.各小组分享成果.
说一说：绘制了频数分布表与频率分布直方图，说说二者的异同？
总结：1.频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各个小组的频率的大小.
2.频数分布图表示数据分布在各个小组的个数.
3.频率分布直方图的纵轴是，而频数分布直方图的纵轴是频数.
任务4：观察频率直方图，探究用样本估计总体.
各抒已见：尝试用适当的语言描述居民用户月均用水量的哪些分布规律.
总结：居民用户月均用水里的样本观测数据的分布是不对称的，图形的左边高右边低﹐右边有一个较长的“尾巴”.这表明大部分居民用户的月均用水里集中在一个较低值区域，尤其在区间[1.2,7.2)最为集中，少数居民用户的月均用水里偏多，而且随着月均用水里的增加，居民用户数呈现降低趋势.
思考1：如果市政府希望85%左右的居民月均用水量不超过标准，根据上述频率直方图，你对制定居民月均用水里标准，有什么建议
提示：将面积进行累加.
答：对“面积”进行累加，发现有86%的居民用水量不超过16.2t.结合实际，将标准定位为16t是个整数，便于水费的缴纳.因此，将标准定位为16t是合理的.
追问：你认为这个标准一定能保证85%以上的居民用水量不超标吗？说说你的看法
思考2：以3和27为组数，对数据进行等距分组，画出100户居民用户月均用水量的频率分布直方图. 观察图形，你发现不同的组数对于直方图呈现数据分布规律有什么影响？
答：
师生活动：1.小组内交流讨论；2.以小组为单位进行绘制；3.各小组分享成果.
总结：当组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但因无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原始数据信息；当组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但因小长方形较多，图形会变得非常不规则，不容易从中看出总体数据的分布特点.
设计意图：学生初中阶段已经学习了一些统计知识，根据先行组织者理论，引导学生充分挖掘原有知识与新知识的关联，为新知识的学习提供借鉴. 任务串的设计目的是使得知识间的逻辑关系更清晰.注重统计分析过程的理性分析，突出统计思想方法，初步感受统计思维的特点. 合作探究让学生亲身感受数据分析的过程，让学生更有参与感.将将频率分布直方图与频数分布直方图联系起来，有利于学生接纳新知，突破本节课的重难点，最后对如何对总体的分布规律进行简单的估计, 不断分析中体会统计思想.
（三）应用举例
例1 如图所示是由总体的一个样本绘制的频率分布直方图，且在[15，18)内频数为7：
(1) 求样本在[15，18)内的频率；
(2) 求样本量；
(3) 若在[12，15)内的小矩形面积为0.06，求在[18，33)内的频数.
解：由样本频率分布直方图可知组距为.
（1）由样本频率分布直方图得样本在内的频率等于.
（2）样本在内的频数为，由(1)可知，样本量为 .
（3）在内的小矩形面积为，故样本在内的频率为，故样本在内的频数为. 又因为在内的频数为，故在内的频数为.
例2 在某次数学测验后，将参加考试的500名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图
如图所示，则在该次测验中成绩不低于100分的学生人数是( ).
A. 210　 B. 205　 　 C. 200　 D. 195
解：由频率分布直方图得，在该次测验中成绩不低于100分的学生的频率为1－(0.012＋0.018＋0.030)×10＝0.4，所以在该次测验中成绩不低于100分的学生人数为500×0.4＝200.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考在实际问题情境中，如何利用频率分布直方图进行数据分析.
（四）课堂练习
1.某高校调查了名学生每周的自习时间单位：小时，制成了如图所示的频数直方图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，根据频数直方图，这名学生中每周的自习时间不少于小时的频率是( )
A. B. C. D.
解：每周的自习时间不少于小时的人数：，
所以这名学生中每周的自习时间不少于小时的频率是：，
故选D．
2.画样本频率分布直方图时，决定组数的正确方法是( )
A. 任意确定 B. 一般分为组
C. 由决定 D. 根据经验法则，灵活掌握
解：画样本频率分布直方图时组数，由极差和组距决定
是对的值合理取整得到
故选：．
3.为了解学生在“弘扬传统文化，品读经典文学”月的阅读情况，现从全校学生中随机抽取了部分学生，并统计了他们的阅读时间阅读时间，分组整理数据得到如图所示的频率分布直方图．则图中的值为( )
A. B. C. D.
解：根据题意由频率分布直方图可得：
，
解得：，
故本题选A．
4.在样本的频数直方图中，共有个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他个小长方形的面积的和的，且样本容量为，则中间一组的频数为 ．
解：根据题意可得：若中间一个长方形的面积等于其他个小长方形的面积的和的，
则中间一个长方形的面积等于总面积的，且样本容量是，则中间一组的频数为．
故答案为．
5.在某频率分布直方图中，从左往右有个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为，则样本容量为 ．
解：设第一组数据的小矩形对应的频率为，
则，
解得，
样本容量为．
故答案为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固数据处理与分析的相关知识，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，回答下列问题：
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.第九章 统计
9.2.1总体取值规律的估计
第2课时
1.了解条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图和频率分布直方图的特点与适用范围；
2.通过例题体会如何根据不同的实际问题选择不同的统计图对数据进行可视化描述，并学会用简单的语言描述图形展示的信息.
3.通过对统计图表的学习，培养数学抽象、直观想象的核心素养；通过应用统计图表估计总体的取值规律，培养数据分析的核心素养.
重点：了解各种统计图的特点与适用范围.
难点：根据不同的实际问题选择不同的统计图对数据进行可视化描述.
（一）创设情境
小明对2018～2023年同学有无手机及近一年来同学在家使用手机的情况，在同年级两个班的100名同学中做了问卷调查，得到如下两个方面的数据：
调查项目1 2018～2023年拥有手机的学生数
调查项目2 近一年中每周使用手机的时间
根据调查的数据，请你画出相应的统计图？
预设答案：
调查项目1：条形统计图与折线统计图.
调查项目2：扇形统计图.
你能根据这些统计图，分析问卷调查的结果吗？所画的这些统计图又有什么样的异同呢？
师生活动：借助问题情境，引导学生根据已学知识画出统计图，教师进一步提出问题，让学生思考，不同的调查项目为何选择不同的统计图.
设计意图：通过创设情境引出已学统计图，为接下来梳理各种统计图表的特点做好准备.
（二）探究新知
任务1：梳理各种图表的特点.
说一说：请同学们尝试用表格或结构框图的形式梳理一下这些统计图都有哪些特点和区别？
师生活动：先独立梳理3分钟，小组内交流讨论补全完善自己的结果，以小组为单位进行展示汇报.
答：
扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例.
条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率.
折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势.
在适用的数据类型方面：条形图适用于描述离散型的数据；直方图适用于描述连续型的数据.
联系：在同一组数据的不同统计图表中，计算出相应组的频数、频率应该相等.
区别：
条形图
①直观反映数据分布的大致情况;
②清晰地表示各个区间的具体数目;
③会丢失数据的部分信息.
扇形图
①清楚地看出数据分布的总体趋势及各部分所占总体的百分比;
②丢失了原来的具体数据.
折线图
①表示数据的多少和数量增减变化情况;
②制作类似于函数图象的画法，侧重体现数据的变化规律.
因此，在解决问题的过程中，要根据实际问题的特点，选择恰当的统计图对数据进行可视化描述，以使我们能通过图形直观地发现样本数据的分布情况，进而估计总体的分布规律.
设计意图：让学生进一步熟悉各种统计图表的特点，清楚它们的区别与联系，为了在解决实际问题中，根据实际问题的特点，选择恰当的统计图对数据进行可视化描述做准备，培养学生几何直观、数学抽象素养．
（三）应用举例
例1 已知某市2015年全年空气质量等级如下表所示.
选择合适的统计图描述数据，并回答下列问题：
(1)分析该市2016年6月的空气质量情况；
(2)比较该市2016年5月和6月的空气质量，哪个月的空气质量较好？
(3)比较该市2016年6月与该市2015年全年的空气质量，2016年6月的空气质量是否好于去年？
合作探究：学生先独立思考2分钟，再小组内交流讨论，最后以小组为单位汇报展示.
解：(1)根据该市2016年6月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数和频率分布表.
从表中可以看出，“优”“良”的天数达19天，占了整月的63.33%，没有出现“重度污染”和“严重污染”.
我们可以用条形图和扇形图对数据作出直观描述，如图
从条形图中可以看出，在前三个等级的占绝大多数，空气质量等级为“良”的天数最多，后三个等级的天数很少.
从扇形图中可以看出，空气质量为“良”的天数占了总天数的一半，大约有三分之二为“优”“良”，大多数是“良”和“轻度污染”.因此，整体上6月的空气质量不错.
我们还可以用折线图展示空气质量指数随时间的变化情况，如图
容易发现，6月的空气质量在指数在100附近波动.
(2)根据该市2016年5月的空气质量指数和空气质量等级分级标准，
可以画出该市这个月的不同空气质量等级的频数和频率分布表.
为了便于比较，我们选用复合条形图，将两组数据同时反映到一个条形图上.通过条形图中柱的高低，可以更直观地进行两个月的空气质量比较，如图.
由上面的图和表可以发现，5月空气质量为“优”和“良”的总天数比6月多.所以，从整体看，5月的空气质量略好于6月，但5月有重度污染，而6月没有.
(3)由于一个月和一年的天数差别很大，所以直接通过频数比较没有意义，应该转化成频率分布进行比较.可以通过二者的空气质量指数的频率分布直方图或空气质量等级的频率分布条形图进行比较.
通过图可以看出，虽然2016年6月的空气质量为“优”的频率略低于2015年，但“良”的频率明显高于2015年，而且2016年6月中度以上污染天气频率明显小于2015年.所以从总体上看，2016年6月的空气质量要好于2015年全年的空气质量.
由此，你能得出“2016年的空气质量比2015年明显改善了”的结论吗？为什么？
例2 某市为了搞好城市建设，对城市用地规划绘制了如图所示的扇形统计图.
(1)哪种类型的用地面积最多 哪种类型的用地面积最少
(2)若该市居住用地总面积为0.015 万平方千米，试估计该市用地总面积.
提示：根据扇形统计图的特点，找到用地面积最多也就是占比最大的部分，再找到居住用地占比，进行解答即可.
解：(1)由图可知，商业用地面积最多，交通用地面积最少.
(2)设该市总面积为x万平方千米，
由，得x=0.1.
所以该市用地总面积约为 0.1 万平方千米.
【总结】
当数据量很大时，条形统计图能够直观地反映数据分布的大致情况，并且能清晰地反映各个区间的具体数目.
在扇形统计图中，扇形面积的大小显示各部分在整体中所占的比重，扇形面积大的比重大，扇形面积小的比重.
在折线统计图中，从折线的上升、下降可分析统计数量的增减变化情况，从陡峭程度上，可分析数据间相对增长、下降的幅度.
设计意图：通过例题，让学生了解统计图的选择需根据实际问题的特点，体会合理使用统计图的重要性．
（四）课堂练习
1.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄段的人数比例如下表所示，若要用统计图表示，则最合适的统计图为( )
出生时间 年以前 年年 年以后
人数比例
A. 频率分布直方图 B. 条形图
C. 扇形图 D. 折线图
解：对于，频率分布直方图表示的是各组频数的分布情况，故 A错误，
对于，条形图是直观地显示具体数据，故B错误，
对于，扇形统计图表示部分在总体中的百分比，易于显示数据相对总数的大小，故C正确，
对于，折线图反映的是变化趋势，故D错误．
2.每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代，漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况，某课题小组随机调査了部分市民问卷调査表如表所示，并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图表如表
治理杨絮--您选哪一项？单选
A.减少杨树新增面积，控制杨树毎年的栽种量
B.调整树种结构，逐渐更换现有杨树
C.选育无絮杨品种，并推广种植
D.对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮
E.其他
由两个统计图表可以求得，选择选项的人数和扇形统计图中的圆心角度数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
解：设接受调查市民的决人数为，
由调查结果条形图可知选择的人数为，
通过调查结果的扇形统计图可知：选择的人数比例为，
，解得，
而选择的人数为：，
扇形统计图中的圆心角度数为：
，
故选：．
3.随着互联网的飞速发展，网上购物已成为了流行的消费方式．某网店第三季度的服装产品的销售总额和其中某款服装的销售额占当月服装产品销售总额的百分比如图所示：
下列结论正确的是( )
A. 该款服装这个月的销售额逐月递减
B. 该款服装这个月的销售总额为万元
C. 该款服装月份和月份的销售额相同
D. 该款服装月份和月份的销售总额大于月份的销售额
解：由题意可知，该款服装月份、月份，月份的销售额
分别是万元，万元，万元，
则该款服装这个月的销售总额为万元，
故选项A，，D错误，C正确．
故选：．
4.世界人口变化情况的三幅统计图如图所示．
下列四个结论中错误的是( )
A. 从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
B. 年到年各洲中北美洲人口增长速度最慢
C. 年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
D. 年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平
解：由折线图可以看出世界人口的总量随着年份的增加而增加，故A正确；
由扇形统计图可知年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，故C正确；
由条形统计图可知年欧洲人口与南美洲及大洋洲人口之和基本持平，故D正确；
三幅统计图并不能得到各个洲人口增长速度的快慢，故B错误．
故选：．
5.某大学为了解某专业新生的综合素养情况，从该专业新生中随机抽取了2n(n∈N ) 名学生，再从这 2n名学生中随机选取其中 n名学生参加科目 P 的测试．另 n 名学生参加科目 Q 的测试．每个科目成绩分別为 1 分， 2分， 3 分， 4 分， 5 分．两个科目测试成绩整理成如图统计图，已知在科目 P 测试中，成绩为 2 分的学生有 8 人．
(Ⅰ) 分别求在两个科目中成绩为5分的学生人数；
（Ⅱ）根据统计图，分别估计：
(i)该专业新生在这两个科目上的平均成绩的高低；
(ii)该专业新生在这两个科目中，哪个科目的个体成绩差异较为明显.(结论不要求证明)
解：(Ⅰ)∵ 在科目 P 测试中，成绩为 2 分的学生有 8人．
∴参加科目 P 测试的学生人数为 8÷0.20=40.
由题意，参加科目 Q 测试的学生人数也为 40 人，
∴ 在科目 P 测试中，成绩为 5 分的学生人数为 40×(1-0.375-0.25-0.20-0.075)=4 ；
参加科目 Q 测试的学生中，成绩为 5 分的学生人数为 40-2-18-15=5 ；
(Ⅱ)(i)科目 P 测试成绩的平均值为 =÷40=3.1 分；
科目 P 测试成绩的平均值为 ()÷40=3.575分，
∴ 由此估计该专业新生科目 Q 的平均成绩高于科目 P 的平均成绩；
(ii)整体上看该专业新生科目 P 的个体成绩差异更为明显 ( 即较不稳定 ).
6.某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据单位：，并绘制了如图不完整的条形图每组数据包括右端点但不包括左端点和扇形图．
求此次抽样调查的样本容量
补全条形图，求扇形图中“”部分的圆心角的度数
如果自来水公司将基本用水量定为每户，求该地区万用户中用水全部享受基本价格的户数．
解：由题图得样本容量为．
用水量在的户数为．
频数的条形图如图所示．
“”部分的圆心角的度数为．
，
所以该地区万用户中约有万户的用水全部享受基本价格．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固各种统计图的特点，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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