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第九章 统计
9.2.3总体集中趋势的估计
1.结合实例，理解集中趋势参数的统计含义，能用样本估计总体的集中趋势参数（众数、中位数、平均数），培养直观想象素养.
2.在典型例题中，学会求样本数据的众数、中位数、平均数.
3.通过对平均数、中位数、众数的学习，强化数学抽象、数学运算的核心素养.
重点：求样本数据的众数、中位数、平均数．
难点：理解集中趋势参数的统计含义．
（一）创设情境
想象你是市中心一家新开咖啡店的老板.为了吸引顾客，你想根据周围办公区工作人员的喜好来调整咖啡的种类和价格.你进行了一项调查，收集了一周内顾客购买咖啡的数量和花费。现在，你拥有一堆数据，包括各种不同种类的咖啡销量以及不同顾客的消费额.
1.如何从这些数据中找到一个典型的消费模式？
2.你认为使用哪种数值可以概括你的顾客对咖啡喜好的普遍情况？
3.为什么了解数据的集中趋势对你制定营销策略很重要？
想一想：如何进行数据的总体集中趋势的估计呢？
师生活动：教师展示生活中极端数据的出现导致的数据不能正确说话的案例，让学生也例举生活中的实例. 之后提出问题，引导学生思考如何将其数学化，用数学的量来表示.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：请用结构图梳理数据集中趋势的知识内容
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过对之前知识的梳理，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
任务2：探究平均数和中位数的联系与区别
探究：利用9.2.1节中100户居民用户的月均用水量的调查数据
（1）请同学们计算这组数据的平均数和中位数.
（2）假设有2000户，你能估计该小区的月均用水总量吗？
（3）小明用统计软件计算了100 户居民月用水量的平均数和中位数，但录入数据时把一个数据7.7录成了77.请计算录入数据的平均数和中位数，与真实的样本平均数和中位数作比较.哪个量变化更大？请说明理由.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
解：（1）根据节中户居民用户月均用水量的数据，由样本平均数的定义，可得 ，即户居民的月均用水量的平均数为．
将样本数据按从小到大排序，得第个数和第个数分别为，，由中位数的定义，可得，即户居民的月均用水量的中位数是．
（2）假设有2000户，该小区月均用水总量为.
（3）因为数据是抽自全市居民户的简单随机样本，所以我们可以据此估计全市居民用户的月均用水量约为，其中位数约为． 平均数由原来的8.79t变为9.483t，变化更大，中位数还是6.6t，没有变化.
样本平均数与每一个样本数据有关，任何一个数据的改变都会引起平均数的改变；但中位数只利用了样本数据中间位置的一个或两个值，并未利用其他数据，所以不是任何一个样本数据的改变都会引起中位数的改变.
总结：与中位数比较，平均数反映出样本数据中的更多信息，对样本中的极端值更加敏感.
思考：平均数和中位数都描述了数据的集中趁势，它们的大小关系和数据分布的形态有关.在图的三种分布形态中，平均数和中位数的大小存在什么关系
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：(1)平均数和中位数应该大体上差不多；（对称）
(2)平均数大于中位数；（右边“拖尾”)
(3)平均数小于中位数.（左边“拖尾”)
总结：在直方图中，平均数总在“长尾巴”那边.
任务3：探究众数
某学校要定制高一年级的校服，学生根据厂家提供的参考身高选择校服规格.据统计，高一年级女生需要不同规格校服的频数如下表所示.
（1）如果用一个量来代表该校高一年级女生所需校服的规格，那么在中位数、平均数和众数中，哪个量比较合适
（2）试讨论用上表中的数据估计全国高一年级女生校服规格的合理性.
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
解：（1）为了更直观地观察数据的特征，我们用条形图表示表中的数据(如右图).可以发现，选择校服规格为“165”的女生的频数最高，所以用众数165作为该校高一年级女生校服的规格比较合适.
由于全国各地的高一年级女生的身高存在一定的差异，所以用一个学校的数据估计全国高一年级女生的校服规格不合理.
总结：一般地，对数值型数据(如用水量、身高、收入、产量等)集中趋势的描述，可以用平均数、中位数；而对分类型数据(如校服规格、性别、产品质量等级等)集中趋势的描述,可以用众数.
任务4：探究在频率分布直方图中估计数据的集中趋势
说一说：我们在报纸、网络上获得的往往是已经整理好的统计表或统计图.
是否可以估计样本的平均数、中位数和众数
你能以图中频率分布直方图提供的信息为例，给出估计方法吗
可以估算，在频率分布直方图中,我们无法知道每个组内的数据是如何分布的.此时，通常假设它们在组内均匀分布,这样就可以获得样本的平均数、中位数和众数的近似估计，进而估计总体的平均数、中位数和众数.
思考：下方频率分布直方图中，如何估算平均数、中位数、众数？
样本平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和.所以样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
平均数为
根据中位数的意义，在样本中，有50％的个体小于或等于中位数，也有50％的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.
由于
因此中位数落在区间内；设中位数为，由,
得到因此，中位数约为6.71.
平均数为8.96大于中位数6.71，符合右边“拖尾”的特点，即平均数大于中位数.
在频率分布直方图中，月均用水量在区间[4.2，7.2)内的居民最多，可以将这个区间的中点5.7作为众数的估计值.
众数：最高矩形的中点横坐标.
各抒已见：假设你到人力市场去找工作,有一个企业老板告诉你,“我们企业员工的年平均收入是20万元”，你该如何理解这句话
这句话是真实的，但它可能描述的是差异巨大的实际情况.下方以10人公司为例说明：
思考：观察两组数据，你发现了什么？
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
答：上组数据这个企业的工资水平普遍较高.也就是员工年收入的中位数、众数与平均数差不多.下组数据年收入的平均数为20万元，就比中位数9万元大得多.用中位数或众数比用平均数更合理些.但这个企业的老板为了招揽员工，却用了平均数.
总结：平均数、中位数、众数的比较
设计意图：利用问题情境探究得出平均数、中位数、众数的各自特点，在具体问题中，学生感受反映样本数字集中趋势量在实际问题中的应用，发展学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．
（三）应用举例
例1根据如图所示的频率分布直方图求出样本数据的众数、中位数和平均数.
解：在中的数据最多，取这个区间的中点值作为众数的近似值，得众数约为125.5.
中位数左边和右边的直方图的面积相等，设中位数为x，
则由图可知x，
则
解得，即中位数约为125.75.
使用组中值求平均数，
则
即平均数约为125.8.
例2某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩及格率(60分及以上为及格)和平均分.
思考：样本平均数如何表示？
答：样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替.
解：Ⅰ众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为分；
前三个小矩形面积为，
中位数要平分直方图的面积，．
Ⅱ依题意，及以上的分数所在的第三、四、五、六组，
频率和为，
所以，这次考试的及格率约是，
利用组中值估算抽样学生的平均分，
估计这次考试的平均分是分．
总结：频率分布直方图估计众数、中位数、平均数的方法.
(1)众数：取最高小长方形底边中点的横坐标作为众数．
(2)中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与"x"轴交点的横坐标称为中位数．
(3)平均数：平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
利用频率分布直方图或频率分布表求出的众数、中位数和平均数均为近似值，往往与实际数据得出的不一致，但它们能粗略估计其众数、中位数和平均数.
设计意图：通过例题，让学生掌握反映样本数字集中趋势量：平均数、众数、中位数的计算方法，并熟悉的应用，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养．
课堂练习
1.为了鼓励学生锻炼身体，强健体魄，增强抵抗病毒能力，某校决定加强体育活动并对体育成绩进行定期统计，下表是该校高三年级某次体育测试成绩的样本频率分布表：名高三学生体育成绩的频率分布表
分组
频率
该次高三年级体育测试成绩中位数的估计值位于区间( )
A. B. C. D.
解：设中位数为，
因为，，
所以中位数在区间内，
则，解得，
所以该次高三年级体育贬试成绩中位数的估计值位于区间．
故选：．
2.某城市户居民的月平均用电量单位：度，以， ， ， ， ，分组的频率分布直方图如图．
求直方图中的值；
求月平均用电量的众数和中位数；
该市有户居民，请估计月平均电量为的用户有多少户？
解：由直方图的性质可得，
得：，所以直方图中的值是．
月平均用电量的众数是．
因为，所以月平均用电量的中位数在内，
设中位数为，由得：，
所以月平均用电量的中位数是．
人．
3.某校高二年级学生身体素质考核成绩单位：分的频率分布直方图如图所示：
求频率分布直方图中的值；
根据频率分布直方图估计成绩的众数和平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表．
解：，
由图可知众数的估计值为．
平均数的估计值：
．
4.统计局就某地居民的月收入情况调查了人，并根据所得数据画出了样本频率分布直方图，每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在元．
为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这人中用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在元的应抽取多少人？
根据频率分布直方图估计样本数据的中位数；
根据频率分布直方图估计样本数据的平均数．
解：月收入在的频率为
，
对应的频数为人，
又抽取的样本容量为．
抽取比例为，
月收入在的这段应抽取人；
由可得，
从左数第一组的频率为；
第二组的频率为；
第三组的频率为；
，，
中位数位于第三组，设中位数为，
则，解得，
中位数为元；
根据频率分布直方图，计算平均数为：
，
样本数据的平均数为元．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复理解集中趋势参数的统计含义，能用样本估计总体的集中趋势参数（众数、中位数、平均数），能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？
1.理解集中趋势参数的统计含义，能用样本估计总体的集中趋势参数（众数、中位数、平均数）．
2.会用样本的数字特征估计总体的数字特征，用样本估计总体的思想解决问题．
3.掌握反映样本数字集中趋势量：平均数、众数、中位数的计算方法，并熟悉的应用．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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