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第九章 统计
9.2.4用样本估计总体
总体离散程度的估计
1.熟悉极差、方差、标准差的计算公式，并理解极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义．
2.会求解极差、方差、标准差，并会用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行比较、分析和评价．
3.掌握用样本的离散程度参数估计总体的离散程度的方法，体会样本估计总体的思想，发展数据分析素养.
重点：极差、方差、标准差等离散程度参数的统计意义的理解和计算，应用平均数、中位数、众数和极差、方差、标准差对数据进行分析．
难点：已知每组数据个数、平均数和方差，获得各组数据合并后全部数据的方法的计算方法，及计算中的递推思想．
（一）创设情境
假设你是一名质量控制分析师，工作于一个生产陶瓷餐具的公司。公司最近推出了一款新的餐盘系列，并希望确保它们在生产过程中的尺寸保持一致性，因为每个餐盘直径越接近，则餐盘的整体美观和功能性更好，你被要求分析餐盘直径的数据集，并确定生产过程是否一致.那么，如何刻画餐盘直径的离散程度呢？
设计意图：通过案例，给出生活中应用方差解决实际问题的例子，培养学生的学习兴趣，让学生从生活中去感知数学.
（二）探究新知
任务1：回忆和巩固方差的概念和统计意义.
例：有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7
想一想：如果你是教练，你如何对两位运动员的射击情况作出评价？如果这是一次选拔性考核，你应当如何作出选择？
师生活动：学生提出评价标准，教师利用电子表格软件进行计算.
预设答案：学生可能先提出比较甲和乙10次射击的平均数、中位数和众数（通过计算会发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7）.
次数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均数 中位数 众数
甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 7 7 7
乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 7 7 7
在发现甲、乙两名运动员射击成绩的平均数、中位数和众数均为7后，知道从集中位置的角度看，两名运动员之间没有差别.
结合初中知识，可能想到用方差进行比较.
方差的定义：假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，我们称
为这组数据的方差.
因为
所以有时为了计算方差方便，也用上述表达式计算方差.
方差刻画了数据的离散程度或波动程度，方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
如果有学生回答用最大值或最小值，那么可以引导学生考虑成绩的稳定性.
思考：两名运动员射靶环数的方差分别是多少？为什么可以运用方差分析两个运动员的射击成绩？
预设答案：根据方差公式计算得，.2，由可知，甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小，说明乙比甲的射击成绩稳定.两个运动员的平均成绩一样，比较他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置，如果两人都排在前面，越稳定越好，可以选择成绩稳定的乙；如果两人的成绩抽排在后面，希望比赛时有突出表现，可以选择成绩方差大的甲.
设计意图：通过案例，帮助学生回忆方差的概念和统计意义，并掌握应用方差刻画一组数据的离散程度.
任务2：探究其他刻画一组数据的离散程度的统计量.
思考：除了方差，你还能想到其他刻画一组数据的离散程度的统计量？
师生活动：学生思考、讨论并分享，教师引导学生解释这些量的合理性.
预设答案：（1）极差.极差是数据的最大值与最小值的差，即，可以反映数据的波动范围.在一定程度上，极差越大，数据的离散程度越大；极差越小，数据的离散程度越小.
评价：极差是一种简单的度量数据离散程度的方法.但因为极差只用到了数据中的最大值和最小值，对其他数据没有涉及，所以极差包含的信息量很少.
平均偏差.平均偏差是每个数据与其平均数的差的绝对值的平均数，假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数.即
为这组数据的平均偏差.
评价：平均偏差与方差产生的思想一样，都是运用平均距离刻画数据的离散程度.但平均偏差计算公式中含绝对值，计算不方便.
设计意图：让学生主动探索多个统计量刻画数据的离散程度，并认识到每个统计量的优缺点.
任务3：探究标准差的概念和统计意义.
思考：任务1中计算的两名运动员的方差，其单位是什么？是否与原始数据的单位一致呢？如果不一致，又可以用什么来刻画一组数据的离散程度呢？
预设答案：方差的单位是原始数据单位的平方.，与原始数据的单位不一致.如果对方差求算术平方根，则单位和原始数据的单位一致.
因此用方差的算术平方根，即
我们称之为这组数据的标准差，来刻画一组数据的离散程度.
标准差刻画了数据的离散程度或波动程度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小.
显然，在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的.但在解决实际问题中，一般多采用标准差.
如果总体中所有个体的变量值分别为，，，，总体平均数为，则称
为总体方差，
为总体标准差.
与总体均值类似，总体方差也可以写成加权的形式.如果总体的个变量值中，不同的值共有（）个，不妨记为，，，，其中出现的频数为（，，，），则总体方差为
追问：方差和标准差的取值范围是什么？如果方差和标准差为0，这组数据有什么特征？
预设答案：方差和标准差的取值范围为.标准差和方差为0时，样本各数据全相等，都等于样本的平均数，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性.
设计意图：巩固对方差和标准差的理解.
任务4：探究分层随机抽样样本方差的计算，并估计总体的方差.
在实际问题中，如果能获得总体中所有个体的观测值，可以用方差的公式直接计算总体的方差.比如，要了解某中学教师年工资差别，可以直接从学校财务出获得所有教师的年工资收入数据，计算其方差即可判断.如果要了解某市中学生教师年工资的差别，获取所有教师的年工资数据就比较困难，可以用简单随机抽样或分层随机抽样方法抽取样本，取到样本中所有个体的年工资数据，然后计算其方差，该方差是样本的方差，利用样本估计总体的思想，可以用样本方差估计总体方差.
思考：在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生23人，样本的平均数和方差分别为170.6和12.59，抽取了女生27人，样本的平均数和方差分别为160.6和38.62.你能由这些数据计算出样本的方差吗？并对高一年级全体学生的身高方差作出估计吗？
师生活动：教师引导学生明确题目的条件和结论，引导学生独立计算多组数据汇总后的方差.
分析：把男生样本记为，，，，其平均数记为，方差记为；把女生样本记为，，，，其平均数记为，方差记为；把总样本数据的平均数记为，方差记为．
根据方差的定义，总样本方差为


由，可得．
同理可得．
因此，
由，，根据按比例分配分层随机抽样总样本平均数与各层样本平
均数的关系，可得总样本平均数为
．
把已知的男生、女生样本平均数和方差的取值代入，可得
．
我们可以计算出总样本的方差为，并据此估计高一年级学生身高的总体方差为．
追问：比较总体样本方差与男生组及女生组的方差，你能发现什么？你能解释在估计全体学生平均身高时，按性别分层随机抽样的理由吗？
师生活动：学生可以看到总样本方差既大于男生组的方差，也大于女生组的方差，教师解释相同样本量的条件下，总样本方差越小，样本均值估计总体均值效果越好.男、女生的均值相差越大，即两组差别越大，总样本方差比男、女生的方差均大得越多，分层随机抽样的效果越好.
设计意图：引导学生对统计结果进行解释，进而更好地理解分层随机抽样的适用范围.
思考：一般地，如果知道两组数据各自的数据个数、平均数和方差，如何计算全部数据的平均数和方差呢？
师生活动：教师引导学生由具体例子进行一般化归纳.
分析：一般地，如果已知第一组数据的个数是，平均数和方差分别是和，第二组数据的个数是，平均数和方差分别是和，那么，总样本平均数
总样本方差为
如果两组数据的平均数相等，那么总样本均值与两组数据的均值相同，总样本方差计算公式中的和都等于0，总样本方差是两组方差的加权平均，即，不会同时大于每组的方差.
设计意图：将总样本均值和总样本方差的计算公式在问题的推广到一般，让学生体会由具体到一般的思想.
拓展：平均数反映数据的集中趋势，标准差刻画了数据离平均数的波动大小，那么将平均数和标准差综合在一起呢
如：课本9.2.1节中100户居民用户的月均用水量数据，可以计算出样本平均数，样本标准差.则
，，
，.
如图可以发现，这100个数据中大部分落在区间=内，在区间=外的只有7个，也就是说，绝大部分的数据落在内.
通过平均数和标准差两个统计量，就可以得到大部分数据的取值范围.方差越大，则这个区间越大；方差越小，则这个区间也越小.
设计意图：让学生认识到利用平均数和标准差也可以部分反映数据的取值规律.
（三）应用举例
例1 小明和小红次考试数学成绩统计如表：
姓名 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
小明
小红
则成绩较为稳定的那个同学成绩的方差为( )
A. B. C. D.
提示：根据已知条件，结合平均数与方差的公式，即可求解.
解：观察两组数据可知，小明的成绩较稳定，
小明成绩的平均数，
小明成绩的方差．
故选：．
例2 现有，两组数据，其中组有个数据，平均数为，方差为，组有个数据，平均数为，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为 ．
提示：根据题意，由分层随机抽样的样本平均数的计算公式
和方差的计算公式计算可得答案.
解： 组有个数据，平均数为，方差为，组有个数据，平均数为，方差为，
则两组数据混合后，新数据的平均数，
新数据的方差，
故答案为：．
例3有一组样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，其中为非零常数，则( )
A. 两组样本数据的样本平均数相同 B. 两组样本数据的样本中位数相同
C. 两组样本数据的样本标准差相同 D. 两组样本数据的样本极差相同
解：对于，，
， 错；
对于，设第一组中位数为，
则第二组中位数为， 错；
对于，第一组标准差，
第二组标准差，
C正确
对于，设第一组中最大值为， 最小值为， 极差，
则第二组中最大值为， 最小值为， 极差， D正确．
故选CD．
【反思感悟】
设一组样本数据，，，，其方差为，标准差为.
由这组数据得到新样本数据，，，，其中为非零常数，则该组数据的方差也为，标准差也为，极差为.
由这组数据得到新样本数据，，，，，其中为非零常数，则该组数据的方差为，标准差为，极差为.
由这组数据得到新样本数据，，，，，其中均为非零常数，则该组数据的方差为，标准差为，极差为.
例4 在一组样本数据中，，，，出现的频率分别为，，，，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是( )
A. ，， B. ，
C. ，， D. ，
提示：根据方差的加权公式先求出方差，再得方差的算术平方根，即可求解.
解：中，平均数为，
标准差为，
同理可得中，平均数为，标准差为，
中，平均数为，标准差为，
中，平均数为，标准差为，
故选B．
设计意图：通过例题，熟悉极差、方差和标准差的公式，并增强对极差、方差和标准差及其统计意义的理解，掌握分层随机抽样样本方差的计算．
（四）课堂练习
1.为评估一种农作物的种植效果，选了块地作试验田．这块地的亩产量单位：分别为，，，，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A. ，，，的平均数 B. ，，，的标准差
C. ，，，的最大值 D. ，，，的中位数
解：评估这种农作物亩产量稳定程度的指标是标准差或方差
故选B．
2.已知一组数据，，，，，则该组数据的方差是 ．
解：数据，，，，的平均数为：
，
该组数据的方差：
．
故答案为：．
已知一组样本数据，，，，且，平均数，则该组数据的标准差为 ．
解：一组样本数据，，，，且，平均数，
则该组数据的方差为
，
则其标准差为．
故答案为：11．
4. 若样本数据的标准差为，则数据，，，的标准差为( )
A. B. C. D.
解：设样本数据的标准差为，则，即方差，而数据，，的方差，所以其标准差为,
故选C．
5.现有甲、乙两组数据，每组数据均由六个数组成，其中甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为若将这两组数据混合成一组，则新的一组数据的方差为( )
A. B. C. D.
解：根据题意，甲组数据的平均数为，方差为，乙组数据的平均数为，方差为，
则两组数据混合后，新数据的平均数，
则新数据的方差，
故选：．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固极差、方差和标准差的公式及其统计意义，并能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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