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15.1.1 从分数到分式
一、教学指导思想
分式是不同于整式的另一类有理式,是代数式中重要的基本概念;借助对分数 的认识学习分式的内容,是一种类比的认识方法,这在本章学习中经常使用.通过
类比分数,从具体到抽象,从特殊到一般地认识分式.
二、内容解析
本课是人教版八年级上第十五章的第一节内容.
分式的概念与整式是紧密相联的.学生掌握了分式的意义后，为进一步学习 分式、函数、方程等知识作好铺垫；本节课的主要内容是分式的概念，分式有 意义、无意义的条件，是以分数为基础，类比引出分式的概念，把学生从对式 的认识从整式扩展到有理式.学好本章不仅能提高学生的运算能力、运算速度； 让学生在自主探索的学习过程中享受成功的喜悦，形成良好的学习氛围，提高
学生学习数学的兴趣.
三、学情分析
教学对象是八年级学生，已有的知识储备：小学学习了分数定义、分数的 性质、分数的运算、分数应用；中学学习了整式及整式运算.学生有一定的自主
学习能力.这节内容是学生在学习了整式知识及分数知识的基础上来进行教学
的，虽然本节内容较为简单,授课班级一部分学生学习数学的热情不高、代数运 算能力弱,所以本节课采用类比的教学方法.分式的特点和概念形成，理解和操作 有一定困难.学生可能有星星点点的认知，但是不能转化到理论并表达出来.让 学生说一说，不断补充，使得定义完整化.充分发挥旧知，也就是小学学习的分 数，全面类比，使得代数式扩展，体会从具体到抽象，特殊到一般认识事物的
规律，从而真切的让学生掌握知识，学会认识新事物.
四、教学目标
(1)了解分式概念．探索并掌握分式概念、分式有意义条件.
(2)类比分数学习，经历分式概念的建构过程及用分式描述数量关系的过
程.
(3)使学生了解分式与分数的区别与联系，能用分式概念进行相关的判断.
能类比分数所研究的问题—研究分式表示、组成元素及意义；会利用分式有义的条件进行取舍结果；从具体到抽象.
(4)能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，经历对具体问题的探索过 程，进一步培养符号感； 学会与人合作，并获得代数学习的一些常用方法：合情推理、抽象概括等.
五、教学重难点
重点： 分式的定义；分式有意义的条件；
难点：分式定义、分式与分数之间的关系。
六、教学过程设计
(一)温故知新引入课题
问题 1 任意两个整数的四则运算结果一定整数吗？
【设计意图】任意两个整数做加、减、乘得到的结果仍然为整数，说明加 法、减法、乘法对于整数是封闭的，而任意两个整数做除法有的结果是整数， 有的不是整数，说明除法对于整数不封闭，所以用分数表示商，让学生体会数
的产生,为后面类比学习分式的产生做铺垫.
问题 2 任意选择两个整式进行四则运算，结果一定整式吗？请说一说.
【设计意图】通过具体的计算，发现任意两个整式做加、减、乘得到的结 果仍然为整式，说明加法、减法、乘法对于整式是封闭的，而任意两个整式做 除法有的不是整式，说明除法对于整式不封闭，所以需要用新的式子表示商.发 现问题，现有知识无法解决，必须进一步学习知识，类比分数，猜测这个新的
式子是分式，为进一步探究提供可能性和方法支持。
(二)类比理解形成概念
问题 3
（1）长方形的面积为 10cm ,长为 7cm.宽应为 cm
长方形的面积为 Scm2 ，长为 acm，宽应为（） cm.
（2）把体积为 200cm 的水倒入底面积为 33cm 的圆柱形容器中,水面高度
为 cm;
把体积为 Vcm3 的水倒入底面积为 Scm2 的圆柱形容器中，水面高度为()
cm.
（3）船在静水中的最大航速为 30km/h,江水的流速为 vkm/h
①若船顺流航行 90 千米，所用时间为（） h.
②若船逆流航行 60 千米，所用时间为（） h.
【设计意图】用分式描述数量关系的过程，让学生感受新式子表示实际问 题中的数量关系；从而理解分式是代数式中重要的基本概念．分式在实际生
活，应用广泛，体现学习分式的必要性.
学生列式： , , , .
问题 4 下列式子有什么共同特点？
师生互动共同特点： 从形式上都具有分数形式；表示两个都是整式相除;分母中含有字
母.
追问：满足这些特点的式子其实就是分式，你能给分式下个定义吗？
分式定义： 一般地，如果A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫做分式.其中A叫做分式的分子，B叫做分式的分母。
【设计意图】分数难道与分式形式相同是巧合吗？是否可以类比分数学
习，研究分式？分组讨论时注意引导学生分数的分子、分母是什么？分式的分 子分母是什么？让学生的思维从发现问题- 向解决问题逐步提升，最终总结概括
出分式概念.
练习1.判断哪些是分式？哪些是整式？
(1) 1 ; (2); (3)5 ;
x 3b + 5 π
2a - 5 x c
3 x 2 y2 3(a b)
师生互动： ①学生独立思考回答问题②其他同学补充说明并梳理判断依据
【设计意图】通过师生活动，使学生正确理解分式的概念，梳理辨别的依据和步骤。进而理解分式与整式的区别，关键是分式的分母含有字母.
活动：数学运动会--组合分式
规则：从以下式子中选一个作为分子，一个作为分母，组合成分式；相同时间内，看谁组合得多。
x, a+b, π, m2-n
探究： 探索分数与分式的联系与区别？
分式是不同于整式的另一类式子. 由于字母可以表示不同的数，所以分式比
分数更具有一般性.
【设计意图】从具体入手，当分式中字母取确定具体的数值时，分式即表
示具体的数.如：分数 仅表示 2÷3 的商，而分式则可以表示任意两个整式
相除的商，其中包括 2÷3.所以分式比分数更具有一般性.感知数式通性。
追问： 上述分式中字母能取任何数吗？为什么？
师生互动分式的分母表示除数，由于除数不能为 0，所以分式的分母不能
为 0，
当 B≠0 分式有意义
【设计意图】分式有意义等价于分式的分母不为 0，在归纳的知识点部分 就显示出是互逆的关系.另外分式有意义为后面学习分式方程根进行取舍奠定基
础.
（四） 解决问题，发展能力
例题解析
例下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
(1) 2 ; (2) x ; (3) 1 ; (4)x + y .
3x x 1 5 - 3b x y
教师板书解题步骤，师生共同总结：
分式有意义，需要分母不为 0，需要解一个带“≠”的不等式.
【设计意图】在讨论了分式的分母的字母的取值情况后，通过例题让学生
进一步理解分式的分母中的字母的取值是受制约的，即：字母的取值不能使分母为零。
检测反馈
练习4：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
【设计意图】口答和解答相结合，利用习题检测，是对所学知识的巩固提升是教学的一个重要 环节．考察学生对分式有意义则分母不等于0这一条件的理解和运用。 锻炼学生数学语言表达能力和规范解题的能力，体验老师评讲练习的过程，增强对数学学习的热爱。
问题：类比分式有意义的探索方法探索分式无意义和值为0的条件。
分式无意义，分母等于0.
分式值为0，则分子为0且分母不为0。
练习5：若分式 的值为0，则x的值是______.
变式：若分式 的值为0，则x的值是______.
【设计意图】通过练习检测和强化学生对分式值为0条件的理解和运用，变式练习中进一步强调分子为0，分母不为0两个条件必需同时满足。
六、课堂小结
（师生互动）
【设计意图】带领同学们一起回顾本节所学的知识，其他同学不断补充，将本节知识与以前学过的知识，进行紧密联结，完善认知结构．教师补充完善，使学生更加系统化掌握所学的知识及研究事物的一般规律，思维得到提升。
七、布置作业
1 必做题课本习题 15.1 第 1 题，第 2 题
2 选做题优化练习第 1—3 题
【设计意图】学生课后巩固、提高学生对知识的应用能力。

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