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微专题3　反比例函数的综合应用
角度1与一次函数结合
【思维切入】
1.将已知点代入反比例函数表达式,先得反比例函数;再求另一点,将两个点代入一次函数表达式,得一次函数表达式.
2.将反比例函数和一次函数表达式联立得方程组,解得两个交点的坐标,进一步求解.
针对训练
1.(2024·临夏州)如图,直线y=kx与双曲线y=-交于A,B两点,已知A点坐标为(a,2).
(1)求a,k的值;
(2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度,与双曲线y=-在第二象限的图象交于点C,与x轴交于点E,与y轴交于点P,若PE=PC,求m的值.
2.(2023·贵州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且点D为AB的中点.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(点M可与点D,E重合),直接写出m的取值范围.
角度2与几何图形结合
类型一　求三角形的面积
【思维切入】
1.补全求差:将三角形补成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面积差求解.
2.分割求和:利用坐标轴进行分割求和或利用纵底横高求解.
针对训练
3.(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)P是直线x=-2上的一个动点,△PAB的面积为21,求点P坐标;
(3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上,△QAB的面积为21,请直接写出Q点坐标.
类型二　求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动三角形的形状问题:
(1)等腰三角形:
方法1:求已知边,按腰或底分类讨论求解(两圆一垂直);
方法2:设动点坐标,表示三边平方,分类讨论得方程求解;
(2)直角三角形:
方法1:按直角分类讨论,构造一线三直角求解;
方法2:设动点坐标,表示三边的平方,根据勾股定理的逆定理分类讨论列方程求解.
2.动点平行四边形问题:
按对角线两端点的横坐标(纵坐标)之和相等,分类讨论求解.
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题;
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
针对训练
4.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于A(1,4),B(4,m)两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.
(1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式.
(2)求△AOB的面积.
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PAC是直角三角形 若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B.
(1)求a,k的值;
(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB.
①求△ABC的面积;
②点P在反比例函数的图象上,点Q在x轴上,若以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点P的坐标.微专题3　反比例函数的综合应用
角度1与一次函数结合
【思维切入】
1.将已知点代入反比例函数表达式,先得反比例函数;再求另一点,将两个点代入一次函数表达式,得一次函数表达式.
2.将反比例函数和一次函数表达式联立得方程组,解得两个交点的坐标,进一步求解.
针对训练
1.(2024·临夏州)如图,直线y=kx与双曲线y=-交于A,B两点,已知A点坐标为(a,2).
(1)求a,k的值;
(2)将直线y=kx向上平移m(m>0)个单位长度,与双曲线y=-在第二象限的图象交于点C,与x轴交于点E,与y轴交于点P,若PE=PC,求m的值.
【解析】(1)∵点A在反比例函数图象上,所以2=-,解得a=-2,
将A(-2,2)代入y=kx,∴k=-1;
(2)如图,过点C作CF⊥y轴于点F,
∴CF∥OE,∴∠FCP=∠OEP,∠CFP=∠EOP,
∵PE=PC,∴△CFP≌△EOP(AAS),
∴CF=OE,OP=PF,
∵直线y=-x向上平移m个单位长度得到y=-x+m,
令x=0,得y=m,令y=0,得x=m,
∴E(m,0),P(0,m),∴CF=OE=m,OP=PF=m,
∴C(-m,2m),
∵双曲线y=-过点C,∴-m·2m=-4,
解得m=或-(舍去),∴m=.
2.(2023·贵州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,且点D为AB的中点.
(1)求反比例函数的表达式和点E的坐标;
(2)若一次函数y=x+m与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点M,当点M在反比例函数图象上D,E之间的部分时(点M可与点D,E重合),直接写出m的取值范围.
【解析】(1)∵四边形OABC是矩形,点D(4,1),且点D为AB的中点,
∴B(4,2),
∴点E的纵坐标为2,
∵反比例函数y=(x>0)的图象分别与AB,BC交于点D(4,1)和点E,
∴k=4×1=4,
∴反比例函数表达式为y=,
把y=2代入得,2=,
解得x=2,∴E(2,2);
(2)把D(4,1)代入y=x+m得,1=4+m,解得m=-3,
把E(2,2)代入y=x+m得,2=2+m,解得m=0,
∴m的取值范围是-3≤m≤0.
角度2与几何图形结合
类型一　求三角形的面积
【思维切入】
1.补全求差:将三角形补成矩形或梯形或易求的三角形,然后用面积差求解.
2.分割求和:利用坐标轴进行分割求和或利用纵底横高求解.
针对训练
3.(2024·自贡中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A(-6,1),B(1,n)两点.
(1)求反比例函数和一次函数的表达式;
(2)P是直线x=-2上的一个动点,△PAB的面积为21,求点P坐标;
(3)点Q在反比例函数y=位于第四象限的图象上,△QAB的面积为21,请直接写出Q点坐标.
【解析】(1)把A(-6,1)代入y=得:1=,
∴m=-6,
∴反比例函数的表达式为y=-;
把B(1,n)代入y=-得:n=-6,
∴B(1,-6),
把A(-6,1),B(1,-6)代入y=kx+b得:,
解得,
∴一次函数的表达式为y=-x-5;
(2)设直线x=-2交直线AB于H,如图:
在y=-x-5中,令x=-2得y=-3,
∴H(-2,-3),
∵△PAB的面积为21,
∴PH·|xB-xA|=21,即PH×(1+6)=21,
∴PH=6,
∵-3+6=3,-3-6=-9,
∴点P的坐标为(-2,3)或(-2,-9);
(3)过Q作QM∥x轴交直线AB于M,如图:
设Q(t,-),
在y=-x-5中,令y=-得x=-5,
∴M(-5,-),
∴MQ=|-5-t|,
∵△QAB的面积为21,
∴MQ·|yA-yB|=21,
即×|-5-t|×7=21,
∴-5-t=6或-5-t=-6,
解得t=或t=-2或t=3,
经检验,t=,t=3符合题意,
∴点Q的坐标为(,-)或(3,-2).
类型二　求特殊三角形或特殊四边形
【思维切入】
1.动三角形的形状问题:
(1)等腰三角形:
方法1:求已知边,按腰或底分类讨论求解(两圆一垂直);
方法2:设动点坐标,表示三边平方,分类讨论得方程求解;
(2)直角三角形:
方法1:按直角分类讨论,构造一线三直角求解;
方法2:设动点坐标,表示三边的平方,根据勾股定理的逆定理分类讨论列方程求解.
2.动点平行四边形问题:
按对角线两端点的横坐标(纵坐标)之和相等,分类讨论求解.
3.动点四边形的问题转化为动点三角形问题;
动点菱形问题转化为动点等腰三角形问题;
动点矩形问题转化为动点直角三角形问题.
针对训练
4.如图,一次函数y=kx+b与反比例函数y=交于A(1,4),B(4,m)两点,延长AO交反比例函数图象于点C,连接OB.
(1)求一次函数的表达式与反比例函数的表达式.
(2)求△AOB的面积.
(3)在x轴上是否存在点P,使得△PAC是直角三角形 若存在,请求出P点坐标;若不存在,请说明理由.
【解析】(1)将A(1,4)代入y=得k1=4,
∴反比例函数的表达式为y=,
将B(4,m)代入y=得m=1,∴B(4,1),
将A(1,4),B(4,1)代入y=kx+b得,
解得,
∴一次函数的表达式为y=-x+5;
(2)过A作AM⊥x轴于M点,过B作BN⊥x轴于N点(图略),
∴AM=4,BN=1,MN=4-1=3,S△AOM=S△BON=4,
∵△AOB的面积=四边形AONB的面积-△BON的面积,梯形ABNM的面积=四边形AONB的面积-△AOM的面积==,
∴△AOB的面积=梯形ABNM的面积=;
(3)存在.∵延长AO交反比例函数图象于点C,
∴点A与点C关于原点对称,∴C(-1,-4),
设P(m,0),
∴AC2=(1+1)2+(4+4)2=68,AP2=(1-m)2+42,PC2=(-1-m)2+(-4)2,
①当∠APC=90°时,AC2=AP2+PC2,
∴68=(1-m)2+42+(-1-m)2+(-4)2,
解得m=±,
∴P(-,0)或(,0);
②当∠PAC=90°时,PC2=AP2+AC2,
∴(-1-m)2+(-4)2=(1-m)2+42+68,
解得m=17,
∴P(17,0);
③当∠PCA=90°时,AP2=PC2+AC2,
∴(1-m)2+42=(-1-m)2+(-4)2+68,
解得m=-17,
∴P(-17,0),
综上所述,P(-,0)或(,0)或(17,0)或(-17,0).
5.如图,一次函数y=x+1的图象与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(a,3),与y轴交于点B.
(1)求a,k的值;
(2)直线CD过点A,与反比例函数图象交于点C,与x轴交于点D,AC=AD,连接CB.
①求△ABC的面积;
②点P在反比例函数的图象上,点Q在x轴上,若以点A,B,P,Q为顶点的四边形是平行四边形,请求出所有符合条件的点P的坐标.
【解析】(1)把x=a,y=3代入y=x+1得,
a+1=3,∴a=4,
把x=4,y=3代入y=得,3=,∴k=12;
(2)∵点A(4,3),点D的纵坐标是0,AD=AC,
∴点C的纵坐标是3×2-0=6,
把y=6代入y=得x=2,∴点C的坐标为(2,6),
①如图1,作CF⊥x轴于点F,交AB于点E,
当x=2时,y=×2+1=2,
∴E(2,2),∵C(2,6),∴CE=6-2=4,
∴S△ABC=CE·xA=×4×4=8;
②如图2,当AB是对角线,
即四边形APBQ是平行四边形时,
∵A(4,3),B(0,1),点Q的纵坐标为0,
∴yP=1+3-0=4,
当y=4时,4=,∴x=3,∴点P的坐标为(3,4);
当AB为边时,即四边形ABQP是平行四边形(图中的 ABQ'P'),
由yQ'-yB=yP'-yA得,
0-1=yP'-3,∴yP'=2,
当y=2时,x==6,∴点P'的坐标为(6,2),
综上所述,点P的坐标为(3,4)或(6,2).

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