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第四章 数列
4.1.1数列的概念
第1课时
1.经历数列概念的抽象过程，了解数列的定义，了解数列的表示方法，提升数学抽象素养；
2.经历从函数的角度研究数列一般形式的过程，了解数列是一种特殊的函数，能通过对数列的表示（列表法和图象法）体会其特殊性，提升学生类比推理的能力；
3.经历对数列通项公式的归纳过程，理解数列的通项公式表示的是数列的项及其项数之间的对应关系，提升学生的数学归纳能力，及数学运算素养.
重点：数列的概念、数列的通项公式.
难点：数列的概念.
（一）创设情境
提问：古语云:“勤学如春起之苗,不见其增,日有所长”.如果对“春起之苗”每日用精密仪器度量,则每日的高度值按日期排在一起,可组成一个数列. 那么什么叫数列呢
回答：在现实生活和数学学习中，我们经常需要根据问题的意义，通过对一些数据按特定顺序排列的方法来刻画研究对象.
设计意图：通过直观感知的形式进行探究，结合传统文化和图片，既可以提高大家参与的积极性，也可以让数学走进生活.
提问：你能举出几个类似的用按顺序排成一列的数来研究变化规律的事例吗？
师生活动：学生举例，教师通过学生的答案，判断他们对数列的已有认知情况.
设计意图：通过事例让学生感知，将数据按确定顺序排成一列进行研究有其实标的意义和价值.
（二）探究新知
任务1：数列的概念
探究1：王芳从一岁到17岁，每年生日那天测量身高，将这些身高数据（单位：厘米）依次排成一列数：
75,87,96,103,110,116,120,128,138,145,153,158,160,162,163,165,168. ①
记王芳第i岁时的身高为hi，那么h1=75,h2=87,…,h17=168.我们发现，hi中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置.
思考： h5,h10能否交换位置？具有确定的顺序吗？
h5,h10分别表示5岁和10岁的身高，所以不能交换位置.所以①具有确定的顺序.
探究2：在两河流域发掘的一块泥板（编号K90，约生产于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天，每天月亮可见部分的数：
5,10,20,40,80,96,112,128,144,160,176,192,208,224,240. ②
记第月亮可见部分的数为 , 那么=5 , =10, =240.这里，中的反映了月亮可见部分的数按日期从1~15顺序排列时的确定位置，即=5是排在第1位的数，=10是排在第2位的数 =240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置，所以，②也
是具有确定顺序的一列数.
探究3： 的n次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：
思考：上述例子的共同特征是什么？
记第i个数为si，那么= ，= ， ，=，…，是具有确定顺序的一列数.共同特征：不能交换位置，具有确定的顺序.
设计意图：通过具体问题的思考和分析，帮助学生观察、分析、归纳总结出数列的概念。发展学生数学抽象和数学建模的核心素养。
定义:一般地,我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列.
项:数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项,常用符号a1表示;第二个位置上的数叫做这个数列的第2项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用an表示.其中第1项也叫做首项.
表示:数列的一般形式是a1，a2，a3，…，an，… 简记为 { an }
提问：{an}与an所表示的意义是否相同？
师生互动：不相同；{an}表示整个数列 a1，a2，a3，…，an，… ；an表示数列 { an }中的第 n 项.
任务2：数列的表示
思考：数列中的各项ai与各项序号i（i=1，2，3，...，n，...)间的对应关系是什么关系？
由于数列{an}中的每一项an与它的序号n有下面的对应关系:
序号 1 2 3 ... n ...
项 a1 a2 a3 ... an ...
数列本质上是特殊的函数：
①数列是以序号为自变量,以对应的项为函数值的函数,即an=f(n)
②定义域为正整数集或它的有限子集
列是自变量为离散的数的函数.
思考：既然数列是特殊的函数，那么数列的表达方式和函数的一样吗？
例如，实例1的王芳身高可以表示为
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9
75 87 96 103 110 116 120 128 138
n 10 11 12 13 14 15 16 17
145 153 158 160 162 163 165 168
它的图象如图4.1-1所示．
师生活动：学生作答,教师引导学生认识作为函数的数列定义域的特点.
设计意图：本两例从函数的表示认识数列，着重探究数列最重要的表示方法通项公式法.
任务2：数列的分类
1. 以项数来分类：
(1) 有穷数列：项数有限的数列；
(2) 无穷数列：项数无限的数列.
2. 以各项的大小关系来分类：
(1) 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
(2) 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列.对任意n∈N*，总有an+1>an (或an+1-an>0).
(3) 常数列：各项都相等的数列；
(4) 摆动数列：从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列.
思考：数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系 这一关系可否用
一个公式表示
数列的通项公式：如果数列{an}的第 n 项an与与它的序号n之间的对应关系
可以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的通项公式，简称通项.
例
追问1：数列通项公式的作用是什么？
通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项.
追问2：数列5, 10, 20, 40, 80, 96, 112, 128, 144, 160, 176, 192, 208, 224, 240有
通项公式吗？
并不是每个数列都能写出通项公式.
（三）应用举例
例1. 根据下列数列{an}的通项公式，写出数列的前5项,并画出它们的图像.
（1） （2）
解:（1）当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列{}的前5项依次为1,3,6,10,15如图所示.
当通项公式中的n=1，2，3，4，5 时，数列 {}的前5项依次为1,0,-1,0,1如图所示.
总结：要再明确数列的概念的基础上，学会用公式、列表、图象来表达数列，做到一
一对应.
设计意图：本例是对通项公式的直接运用,并要求学生描点作图,使学生从通项公式、表格和图象三个角度认识数列.
例2：根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式：
(1)；
(2).
解：(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负,
所以它的一个通项公式是
(2)这个数列的奇数项是2，偶数项是0, 所以它的一个通项公式是
提问：难道不止一个？你还能写出其他的解析式吗？
答：（1）或
（2）或或
总结：要明确数列项与数的关系，根据数列的特点选择合适的通项公式，注意奇偶项和正负号的检验.
设计意图：通过典型例题，帮助灵活运用数列的概念解决问题，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。
课堂练习
1.已知数列，，，，，，，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
2.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
3.数列，，，，的通项公式可能是( )
A. B. C. D.
4.数列，，，，的一个通项公式为( )
A. B. C. D.
5.数列的通项公式为，则数列中的最大项是( )
A. B. C. D.
6.已知，则数列是( )
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
（五）归纳总结
课堂小结：通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.第四章 数列
4.1.2数列的概念
第2课时
1.理解数列递推公式的含义，会用递推公式解决有关问题.
2.了解通项公式和递推公式是给出数列的两种方式，并明确它们的异同.
3.会利用数列的前n项和与通项的关系求通项公式.
重点：数列递推公式及数列的前项和与通项的关系.
难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前项和与通项的关系求通项公式.
（一）创设情境
提问：回顾上节所学内容，数列的概念与一般形式是什么
回答：(1)一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.
(2)数列的每一项与这一项的序号有一一对应的关系.
(3)数列的第项与序号之间的关系式叫数列的通项公式.
(4)求数列通项公式的一般方法：由各项的特点，找出各项共同的构成规律,通过观察、猜想归纳出数列中的项与序号之间的关系.
（二）探究新知
任务1：数列的通项公式
例3：如果数列的通项公式为，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？
解：令，
解这个关于的方程，得(舍去)，或.
所以，120是数列的项，是第10项.
总结： 判断某个数是否为此数列的项，关键是要将此数带入到数列的通项公式，注意解必须得有且为正整数.
设计意图：本例是要利用数列的通项公式判断某个数是不是这个数列的项，引导学生对这个问题进行转化——“判断120是不是数列{an}中的项，就是要回答是否存在正整数n，使得n2+2n=120”.这实质上转化成了一个求方程的整数解的问题.同时，通过本题让学生灵活运用数列的通项公式解决问题.
例4：图中的一系列三角形图案称为谢尔宾斯基三角形.在图中4个大三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这个数列的一个通项公式.
解：在以上4个图中，着色三角形的个数依次为1，3，9，27，
即所求数列的前4项都是3的指数幂，指数为序号减1.
因此，这个数列的一个通项公式是.
总结：首先要明确数列的每一项，其次是要确定数与项一一对应的关系，进而寻找规律，得出数列的通项公式.
设计意图：该问题是以一个典型的分形现象——谢尔宾斯基三角形为素材，让学生用数列刻画这个三角形序列中着色三角形的个数，并写出这个数列的一个通项公式，这个情境反映了数列在刻画事物变化规律方面的应用.同时，借助该问题引出递推数列的定义.通过具体问题的思考和分析，帮助学生认识数列中的递推公式.发展学生数学抽象和数学建模的核心素养.
提问：观察例4中的三个图，说说相邻的大三角形中着色三角形个数相互之间的关系是什么？数列的项什么关系？
师生活动：每个图形中着色三角形的个数都是前一个图形中着色三角形个数的3倍.这样，例4中的数列的前4项满足，，，.
因此猜测这个数列满足公式
总结：像这样，如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.
知道了首项或前几项以及递推公式，就能求出数列的每一项了.
提示：当不能明显看出数列的项的取值规律时，可以尝试通过运算来寻找规律.如依次取出数列的某一项，减去或除以它的前一项，再对差或商加以观察.
例5：已知数列的首项为，递推公式为，写出这个数列的前5项.
解：由题意可知， 1，
总结：首先明确递推公式的形式，其次是要一步一步代入计算，一层一层计算，注意细心.
设计意图：通过典型例题，让学生熟悉递推公式的表示方式，加深学生对数列递推公式的理解和运用，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
任务3：数列的前项和公式
总结：在对数列的研究中，求数列某些项的和是主要问题之一.我们把数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即
如果数列的前项和与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前项和公式.
思考：已知数列的前项和公式为，你能求出的通项公式吗？
解：因为
并且当时，依然成立.
所以的通项公式是.
设计意图：通过典型例题，帮助学生灵活运用数列前n项和与通项公式的关系，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
（三）课堂练习
1.下列说法不正确的是( )
A. 根据通项公式可以求出数列的任何一项 B. 任何数列都有通项公式
C. 一个数列可能有几个不同形式的通项公式 D. 有些数列可能不存在最大项
2.已知数列，，，，，，，则是这个数列的( )
A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项
3.数列中，，，则( )
A. B. C. D.
4.下面有四个命题：
数列，，，，的通项公式是；
数列的图象是一群孤立的点；
数列，，，，与数列，，，，是同一数列．
其中正确命题的个数是( )
A. B. C. D.
5.大衍数列，来源于乾坤谱中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其前项依次是，，，，，，，，，，，则此数列的第项为( )
A. B. C. D.
6.在数列中，已知前项的和，那么等于( )
A. B. C. D.
7.数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。
（五）归纳总结
课堂小结：通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法，说说你的体会？
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识.

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