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第四章 数列
4.2.1等差数列的概念
第1课时 等差数列的概念及通项公式
1.理解并掌握等差数列、等差中项的概念，能判断一个数列是否为等差数列.
2.经历由等差数列的递推公式推导通项公式的过程，掌握等差数列的通项公式，并掌握其与一次函数之间的关系.
3.对等差数列的通项公式进行简单应用，体会函数与方程的思想在研究等差数列时的重要意义.
重点：掌握等差数列的定义，等差数列的通项公式.
难点：掌握等差数列的通项公式，并进行简单应用.
（一）创设情境
观察下列现实生活中的数列，回答后面的问题。
1、我国有用12生肖纪年的习惯，例如，2017年是鸡年，从2017年开始，鸡年的年份为2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
2、我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为275，270，265，260，255，250，…；②
3、2020年1月中，每个星期日的日期为5，12，19，26.③
思考：观察数列①②③你能发现他们的规律吗？
师生活动：独自思考，并汇报交流.
答：对于数列2017，2029，2041，2053，2065，2077，…；①
我们发现：2029=2017+12，2041=2029+12，2053=2041+12，…
换一种写法就是：2029-2017=12，2041-2029=12，2053-2041=12，…
如果用表示数列①，则有：
对于数列①，有这样的规律：数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数12.
同样数列②满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数-5.
数列③满足从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数7.
设计意图：通过三个例子，让学生研究三个数列的共性，从而引出等差数列的定义.
探究新知
任务1：探究等差数列的概念．
探究：什么是等差数列，你能给出等差数列的定义吗？
师生活动：教师提出问题，学生自主探究，尝试通过上述实例总结等差数列的定义，并交流分享.
总结：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．
对定义的理解：等差数列的定义中的几个关键词是“从第2项起”，“同一个常数”
条件 从第2项起
每一项与它的前一项的差都等于同一个常数
结论 这个数列就叫做等差数列
有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示
思考：如果在数a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？
师生活动：独自思考，并汇报交流.
答：由等差数列定义，有,所以，即.
此时，我们把A叫做a和b的等差中项.
a和b的等差中项是它们的算术平均数.
任务2：探究等差数列的通项公式．
探究：你能根据等差数列的概念写出它的递推公式吗？
师生活动：教师引导学生利用等差数列的概念，尝试写出递推公式.
设数列的首项为，公差为，则由定义可得：
an＋1－an＝d.
思考1：你能根据递推公式，推导出等差数列的通项公式吗？
答：设一个等差数列的首项为,公差为,根据等差数列的定义，可得
=
所以= ,= , = ,…
于是 + ,
+ =(+ ) + + 2,
+ =(+ ) + + 3,……
归纳可得+() (n)
当n时，上式为+() ，这就是说,上式当时也成立.
因此，首项为,公差为的等差数列的通项公式为+()
思考2：还有什么其他方法，推导等差数列的通项公式吗？
一共有个等式，将它们进行累加，有即
思考3：由等差数列的通项公式可以看出，要求，需要哪几个条件？
答：只要求出等差数列的首项和公差，代入公式即可.
设计意图：用不完全归纳法和累加法求出等差数列的通项公式，并且了解由等差数列的基本量：首项和公差，就可以求出通项公式，让学生自己分析、推导、得出结论，可以培养学生归纳、概括的能力，提高思维能力.
任务3：探究等差数列与一次函数的关系.
探究：观察等差数列的通项公式，它和哪一类函数有关？
师生活动：小组交流，并汇报交流.
答：由于，
当时，常用函数.
当时，是一次函数当时的函数值，即
思考1：等差数列的图像与一次函数的图像有什么关系？
师生活动：教师提出问题，学生自主探究，通过画图得出函数与数列之间的关系，引导学生用函数的知识来研究通项公式，学会类比思想的应用，得到数列学习的路线.
答：数列的图像是落在一次函数图像上的一系列点。
思考2：由一次函数得到的数列 一定是等差数列吗？
答：任给，则，
数列是以为首项，k为公差的等差数列.
数列是公差不为0的等差数列数列的通项公式是关于的一次函数.
思考3：可以从函数的角度，研究等差数列的单调性吗？
师生活动：教师引导，学生自主探究，类比函数的性质来得出数列的单调性.
答：
时，等差数列单调递增；
时，等差数列单调递减；
时，等差数列为常数列.
设计意图：推导数列是公差不为0的等差数列的充要条件，了解它与一次函数的关系，并会从函数角度研究单调性.
（三）应用举例
例1（1）已知等差数列{}的通项公式为，求等差数列{}的首项和公差.（2）求等差数列8，5，2，…的第20项；
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由= ，即可求出公差.
解：（1）把代入通项公式得，
当
于是
所以数列的首项为3，公差为.
分析：（2）由给出的等差数列前三项，先找到首项,求出公差d,写出通项公式，就可以求出第20项.
解：(2)由题意得，
,
因此这个数列的通项公式是：
所以
例 2 判断是不是等差数列的项 如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解.
解：由得这个数列的通项公式为
令
解这个关于n的方程，得
n=100.
所以，-401是这个数列的项，是第100项.
例 3 求下列等差数列{an}的通项公式.
（1）已知a1=3,a7=15.（2）已知a2=8，且a3+a5=4a2.
解:（1）因为等差数列{an}中,a1=3,a7=15,所以公差d==2,
所以an=3+(n-1)×2=2n+1.
解:（2）设等差数列{an}的公差为d,
由
得
解得所以an=4n.
例 4在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.
解：由题意得,
这是一个以a1和d为未知数的二元一次方程组，解之得：
所以这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
例 5 已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式.
解：根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1＋d，a1＋2d，
则
即
解得或
因为数列{an}为单调递增的等差数列，所以
故等差数列{an}的通项公式为an＝4n－1.
总结：求通项公式的方法
(1)通过解方程组求得a1，d的值，再利用an＝a1＋(n－1)d写出通项公式，这是求解这类问题的基本方法．
(2)已知等差数列中的两项，可用d=直接求得公差，再利用an＝am＋(n－m)d写出通项公式．
(3)抓住等差数列的通项公式的结构特点，通过an是关于n的一次函数形式，列出方程组求解．
设计意图：通过例题，掌握等差数列的概念，并使用通项公式来解决问题，提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
课堂练习
1.已知等差数列，则等于( )
A. B. C. D.
解：设等差数列的公差为，
因为，所以
解得：，．
故选：．
2.已知等差数列满足，且，则首项( )
A. B. C. D.
解：设等差数列的公差为，
因为，且，
所以，所以．
故选：．
3.已知数列满足若数列是公差为的等差数列，则( )
A. B. C. D.
解：，所以，
整理得，，
所以数列为常数列，每项均为，
所以，则，．
故选：．
4.已知数列满足，且，若，则( )
A. B. C. D.
解：因为，所以 ，
因为，所以，所以，
所以 ，由，解得．
故选B．
5.定义数列的公共项组成的新数列为，则数列的第项为( )
A. B. C. D.
解：由数列的通项公式为，
可得数列的公差为，数列的公差为，
所以它们的公共项组成的新数列的公差为，
两个数列的第个公共项为，
所以数列是首项为，公差为的等差数列，
则第项为．
故选：．
设计意图：通过典型例题，加深学生对等差数列及其通项公式的理解和运用，发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课的内容，你都学到了什么？第四章 数列
4.2.1等差数列的概念
第2课时 等差数列的性质及应用
1.能根据等差数列的定义推出等差数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并解决相应的问题.
3.通过推导等差数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等差数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
重点：等差数列的性质及其应用.
难点：等差数列的性质的推导.
创设情境
思考：上节课我们都学习了哪些内容呢？
师生活动：学生回顾上节课所学知识，教师完善知识结构.
预设答案：
等差数列定义
若，则{}为等差数列.
若，则{}为等差数列.
等差数列的通项公式
等差数列通项公式的性质
等差中项
a，A，b成等差数列，则
设计意图：通过回顾等差数列的定义、通项公式、中项性质，温故知新.
探究新知
任务1：探究等差数列的性质．
1.已知一个等差数列的首项为，公差为d
，，，……
将前m项去掉，其余各项组成的数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？
取出数列中的所有奇数项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？取出数列中的所有偶数项呢？
取出数列中所有项是7的倍数的各项，组成一个数列，是等差数列吗？如果是，他的首项与公差分别是多少？取出的是所有k倍数的项呢？
师生活动：学生带着问题自主去探究等差数列的性质，教师不断地引导，最终得出等差数列的性质.
答：（1），，……是等差数列，首项为，公差为d，项数为n-m.
（2），，，……是等差数列，首项是，公差为2d.
，，，……是等差数列，首项是，公差为2d.
(3)，，，……是等差数列，首项是，公差为7d.
，，，……是等差数列，首项是，公差为kd.
总结：等差数列的一个重要性质：若{}是等差数列，公差为d，则，，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
证明：∵{}是等差数列，公差为d，
∴=+md，=+2md即2=+.
即，，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
2.已知数列{}为等差数列，那么若成等差数列，是否，， 成等差数列，请猜想并证明.
师生活动：学生小组讨论，分享交流，教师总结.
猜想：上述条件下，，，成等差数列.
证明：根据等差数列的定义，m,p,n成等差数列，
所以
所以
所以=
即，，成等差数列
3.对于等差数列: ,…说出是哪两项的等差中项？
===
观察与猜想：观察上述各项的角标满足什么关系？由此猜想相关结论.
师生活动：学生观察并自主猜想，尝试证明，教师小结.
等差数列{}中，若，则
证明：由等差数列的定义可知，，，，，
所以+=,+=
因为，所以.
追问：对于等差数列的这条性质，图中是它的一种情形．你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？
根据等差数列的通项是关于n的一次型函数，我们知道等差数列对应的点分布在一条直线上，我们可以从直线斜率的角度来解释这一性质：=
总结：表示等差数列的各个点均匀分布在一条直线上，这条直线的斜率是公差d，即
设计意图：让学生理解利用等差数列的通项公式可推导出等差数列的性质，深化对等差数列的理解,提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
（三）应用举例
例1某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，没经过一年其价值就会减少d(d为正常数)万元.已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{}，由题意可知，年之内（含10年），这台设备的价值应不小于11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元，可以利用{}的通项公式列不等式求解。
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}．由已知条件，得
＝－d（n≥2）．
由于d是与n无关的常数，所以数列{}是一个公差为－d的等差数列.因为购进设备的价值为220万元，所以＝220－d，于是
＝220－d＋(n－1)(－d)＝220－nd.
由题意，得≥11，＜11.
即：解得19所以，d的求值范围为19例2某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元.从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，那么从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？
解：设从第1年起，第n年的利润为，则 =220，
(n≥2，nN )，
∴每年的利润可构成一个等差数列{}，且公差d= 20，
∴=+(n 1)×( 20)=220 20n.
若<0，则该公式经销这种产品将亏损，由=220 20n<0，得n>11，
故从第12年起，该公司经销此产品将亏损.
总结：解决实际问题的步骤：
（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意.
（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学（数列）问题，弄清该数列的结构和特征.
（3）求解——求出该问题的数学解.
（4）还原——将所求结果还原到实际问题中.
例3 已知等差数列{}的首项＝2，在{}中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}.
(1)求数列{}的通项公式.
(2) 是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，请说明理由.
分析：（1）{}是一个确定的数列，只要把 ，表示为{}中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；
（2）设{}中的第n项是{}中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为{}的项.
解：（1）设等差数列的公差为由题意可知, ,
=8
, 8, ,
+() 2=2
所以数列的通项公式是=2.
（2）[解法一]数列的各项依次是数列的第1,5,9,13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则=43，
令43=29，解得 =8
所以，是数列的第8项.
[解法二]9=58，令=58，
解得 =8.所以，是数列的第8项.
例4 已知数列 是等差数列，,且，求证:
分析：只要根据等差数列的定义写出再利用已知条件即可证得.
证明：设数列 的公差为,则
+()+()+()+()
所以:
,
因为
所以
例5 已知数列是等差数列，且则
解：在等差数列中，若，则
由条件等式，得.
17=234.
总结：
1.若，是等差数列，则也是等差数列.
2.若是等差数列，公差为d，正整数p,q,s,t满足p+q=s+t，则.特别地，当p+q=2k(p,q,m∈N )时，=2.
3.若是等差数列，公差为d，则，…(k，m∈N )是公差为md的等差数列．
设计意图：通过典型例题，加深学生对等差数列及其性质的理解和运用，深化对等差数列的理解,提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识．
课堂练习
1.在中，三个内角，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
解：由题意可得，，，， ，
故选C．
2.等差数列中，，，则( )
A. B. C. D.
解：由等差数列性质得，即，又，故．
故选C．
3.已知等差数列满足，且，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解：由，且，可设
因为等差数列，所以，
所以，
又因为，可得，所以，
所以的取值范围为．
故选：．
4.已知等差数列的公差为，且集合中有且只有个元素，则中的所有元素之积为( )
A. B. C. D.
解：由等差数列可知，，周期，
故只需考虑前项的值：，，，，，，
由题意知，这个式子只能取到个不同的值，借助三角函数的定义，
即在单位圆上有个点均分圆周，且这个点的纵坐标只能取到个不同的值如图所示，于是集合，
即所有元素乘积为．
故选：．
5.在和之间插入个数，使得这个数成等差数列．若这个数中第个为，第个为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
解：设这个数组成的数列为，
根据题意，有，
所以
，
当且仅当，即时等号成立．
故选：．
设计意图：通过典型例题，加深学生对等差数列性质的理解和运用，发展学生逻辑推理、直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？

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