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第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和
第1课时
1.掌握等差数列前n项和公式及其推导过程.
2.能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
3.经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法.
重点：掌握等差数列前n项和公式及其推导过程
难点：能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.
（一）创设情境
前面的学习，我们了解了等差数列的概念，以及等差数列的通项公式.找两位同学说说看.
答：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示.
答：首项为，公差为的等差数列的通项公式为
在掌握了等差数列的概念及通项公式后，我们来看这样一个问题：
思考：如何求
学生讨论、思考.
答：高斯的计算方法是用1+100=101，2+ 99=101，3+ 98=101，···，50+ 51=101，这样计算出来.
思考：为什么呢？尝试从数列的角度给出解释.
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以回顾旧知，帮助学生建立与新知的联系，通过高斯问题引发学生思考，高斯的算法的核心，设疑激发学生主动学习，以此顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究高斯算法中蕴含的数学思想.
思考：说说高斯在求和的过程中采用了什么方法？利用了数列的什么性质呢？
师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
分析：采用了首尾配对相加的方法.高斯的算法实际上解决了求等差数列
前100项的和的问题.
答：设，那么高斯的计算方法可以表示为
可以发现，高斯在计算中利用了
在等差数列中，若，则.
思考：说说高斯求和过程的本质.
总结：高斯算法的本质:通过配对凑成相同的数（即101），变“多步求和”为“一步相乘”.
思考：你能用高斯的方法求吗？
师生活动:1.先独立思考计算; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
分析：可以采用不同的方法进行配对.
答：方法1：先取出中间项，再首、尾项;次首、尾项依次相加.原式方法2：先取出未项，再首、尾项;次首、尾项依次相加.原式方法3：先凑成偶数项，再进行首、尾项相加.原式方法4：先凑成偶数项，再进行进行首、尾项相加.原式
任务2：探究高斯算法思想的进一步推广.
思考：尝试计算.
师生活动：1.先独立思考计算; 2.小组内交流讨论;3.以小组为单位进行汇报;4.师小结.
分析：可以对项数n的奇偶性进行讨论.
答：当 是偶数时，有
所以
当 是奇数时，有所以
综上，对任意正整数，都有 .
思考：如果不对项数n的奇偶性进行讨论，能否计算得出自然数列的前n项和呢？
答：采用倒序相加法，，
，将上述两式相加，可得
所以
思考：如何理解倒序相加法呢，它的妙处在哪里呢？
分析：在一堆木棒中，第一层有1根木棒，下面的每一层都比上一层多一根，第层有根，如何快速求出这堆木棒有多少根？
，∵ ，∴ .
任务3：探究用倒序相加法推导等差数列{}的前 项和.
思考：能够利用倒序相加法求等差数列的前项和吗？
分析：由，
两式相加得,，.
推导出：，
两式相加得,
思考：如果将稍作变形，你能发现等差数列的什么特性呢？
分析：，变形为，等差数列前项的平均数等于 .
总结：等差数列首项为，第项为,等差数列前n项和公式: ①
因为，代入①得: ②
思考：如果不从公式①变形推导，能得到公式②吗？
分析：
总结：等差数列前n项和公式.
已知首项、末项与项数，求出 ①
已知首项、公差与项数，求出 ②
注意： ① ②运用方程思想在五个量中知三求二.
思考：类比推导，说说等差数列的前项和公式与梯形的面积公式间的联系.
如图，上底为，下底为，高为，梯形的面积即为数列之和， .
如图，梯形由一个三角形和一个平行四边形组成，.
设计意图：通过情境中高斯算法继续深入，探究高斯算法蕴含的数学思想、探究高斯算法进一步推广、进而探究等差数列的前项和公式，层层递进、由浅入深，加深对等差数列的前项和公式推导的理解与应用，在思考和启发中渗透新知的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工，以此突破本节课的重难点.
（三）应用举例
例1 已知数列是等差数列.
（1）若，求；
（2）若，求；
（3）若，求.
分析：（1）已知首项、末项与项数，可以直接利用公式求和.
（2）可以先利用和的值求出，再利用公式求和.
（3）已知公式中的、和，解方程即可求得.
解：（1）因为，根据公式 ，可得
（2）因为，所以. 根据公式，得
（3）把代入，得
整理，得
解得， ，或（舍去）.
所以， .
例2 若等差数列的前10项和为310,前20项和为1220,求该数列的前n项和.
分析：把已知条件代入等差数列前项和的公式后，可得到两个关于与的二元一次方程.解方程即可求得.
解：方法一
联立①②解得
∴前n项和
方法二 :
由②-①解得
例3 我国数列求和的概念起源很早，在南北朝时,张丘建始创等差数列求和解法.他在《张丘建算经》中给出等差数列求和问题.
今有女子不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，共织三十日，问共织几何？
答：由题意得：在等差数列中则
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考能用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题，更好的理解等差数列前n项和公式及其推导过程.
（四）课堂练习
1.张丘建算经中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织尺布，一月按天计共织尺布，则从第天起每天比前一天多织 尺布．
A. B. C. D.
解：设此等差数列的公差为，
则，解得，
故选C．
2.已知等差数列的前项和为，，，则( )
A. B. C. D.
解：设数列的公差为，
则由题意，得，，
，，
则，，
所以．
故选D．
3.已知等差数列的前项和为，且点在直线上，则( )
A. B. C. D.
解：因为点 在直线 上，
所以 ，
因为等差数列 满足 ，
所以 ．
故选：．
4.公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有( )
A. B. C. 中最大 D.
解：根据等差数列的性质及求和公式得到
，，，，
该数列的前项和最大，故A正确，B错误，C错误，
，，，
即，，D正确，
故选AD．
5.在等差数列中，，．
求数列的通项公式；
设，求的值．
解：设其公差为，由题意可得．
解得，，
，．
设数列的前项和为，则由可得，，，
由知，令，得，当时，，
当时，可得，
当时，可得，
因为，所以，
所以．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固用前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题，能够灵活运用.
（五）总结归纳
回顾本节课所学内容，你都学会了哪些内容？第四章 数列
4.2.2 等差数列的前n项和
第2课时
1.理解并应用等差数列前n项的性质.
2.构造等差数列求和模型（建模）,解决实际问题.
3.能够解决等差数列前n项和的最值问题.
4.经历公式性质的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法.
重点：理解并应用等差数列前n项的性质和最值问题.
难点：构造等差数列求和模型（建模）,解决实际问题.
（一）创设情境
前面的学习，我们知道了等差数列的前项和公式，等差数列的性质。找两位同学说说看。
答：采用倒序相加法，；将。
性质1 若是等差数列，公差为，则是公差为的等差数列．
性质2 在等差数列中，若，则.
性质3 数列都是等差数列, 公差分别为,则数为常数)是公差为的等差数列.
思考：结合等差数列的前项和公式，等差数列还有哪些性质呢？
学生讨论、思考.
师生活动：师生互动，生生讨论、交流；师揭示课题.
设计意图：教师以回顾旧知，帮助学生建立与新知的联系，通过高斯问题引发学生思考，设疑激发学生主动学习，以此顺利揭示本节课题.
（二）探究新知
任务1：探究等差数列前项和的性质.
思考：已知数列的前项和为，其中为常数，且.任
取若干组，在电子表格中计算，的值，观察数列的特点，
研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论.
师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
提示：操作演示：打开《数据》多取几组值，看看有什么规律？说说你的发现？
总结：当时，数列为等差数列.当时，数列从第二项起为等差数列.
分析：证明：当时，当时，，所以，此时数列从第二项起为等差数列，且公差为.
总结：若数列{an}的前n项和是一个不含有常数项的二次函数：Sn=An2+Bn (A,B为常数) ，则该数列{an}是等差数列.
思考：若等差数列中，公差为，前项的和为，则、、能构成等差数列吗？
师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
分析：证明： ，
总结：性质1 在等差数列中，公差为，前项的和为，则、、为等差数列，且公差为.
思考：若前项的和，证明：数列也是等差数列.
师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
分析：证明：
总结：性质2 若是公差为的等差数列，其前项的和为，则数列也是等差数列，公差为.
各抒已见：已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261. 求此数列中间一项的值以及项数.
分析：
说一说：通过解决本题，想一想等差数列还有什么性质呢？这个性质和什么有关呢？
探究：若一个等差数列的项数为奇数，设其项数为2n+1，探究 的关系.
分析：，
总结：性质3
探究：若一个等差数列的项数为偶数，设其项数为2n，探究 的关系.
分析：，
总结：性质4
思考：如果数列{an}、{bn}是项数相同的等差数列，Sn、Tn分别是它们前n项和，那么S2n-1与T2n-1会有什么关系？.
师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
分析：
(, )
总结：性质5
任务2：探究等差数列前项和公式的实际应用.
思考：《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在一月(按30天计)共织390尺布，则每天比前一天多织____尺布.
师生活动：1.先独立思考1分钟；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.
分析：由题意知，该女每天的织布尺数构成等差数列{an}，其中a1＝5，S30＝390，设公差为d,则有S30＝30d=390
解得 d= .故该织布机每天比前一天多织尺布.
任务3：探究等差数列前项和公式与一元二次函数的联系.
各抒已见：从函数的角度，公式改写成 ，当时，可以看成二次函数当时的函数值.讨论的单调性与最值问题.
总结：在等差数列中， 的取值影响函数的单调性.
若，时，有最大值，使取到最值的可由不等式组确定；
若，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定；
若，时，则是递增数列，是的最小值；
若，时，则是递减数列，是的最大值.
，若，则从二次函数的角度看：当时，有最大值；
当时，有最小值. 当取最接近对称轴的正整数时，取到最值.
总结：等差数列{} 前 项和的性质.
设数列为等差数列，公差为，为其前项和，为所有奇数项的和， 为所有偶数项的和，则有如下性质：
性质1 在等差数列中，公差为，前项的和为，则、、为等差数列，且公差为.
性质2 若是公差为的等差数列，其前项的和为，则数列也是等差数列，公差为.
性质3
性质4
性质5
等差数列{} 前 项和的最值问题.
在等差数列中， 的取值影响函数的单调性:
若，时，有最大值，使取到最值的可由不等式组确定；
若，时，有最小值，使取到最值的可由不等式组确定；
若，时，则是递增数列，是的最小值；
若，时，则是递减数列，是的最大值.
，若，则从二次函数的角度看：当时，有最大值；
当时，有最小值.当取最接近对称轴的正整数时，取到最值.
设计意图：通过回顾等差数列前n项和公式，进而探究等差数列前n项和公式性质、进而探究等差数列前n项和公式实际应用与最值问题，层层递进、由浅入深，加深对等差数列的前项和公式性质与最值问题的理解与应用，在思考和启发中渗透新知的学习，在合作与讨论中加深进行思维的深加工，以此突破本节课的重难点.
（三）应用举例
例1 某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.
提示：将第1排到第20排的座位数依次排成一列，构成数列.设数列的前项和为. 由题意可知，是等差数列，公差，，所以可利用等差数列的前项和公式求.
答：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成数列，其前项和为.根据题意，数列是一个公差为2的等差数列，且.由 ，可得 .因此，第1排应安排21个座位.
例2 我国古代某数学著作中有这么一道题：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传．意思是说，有996斤棉花全部赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止．在这个问题中，第1个孩子分到的棉花为（ ）.
答：第一个孩子分到斤棉花，则由题意，得，解得.
例3 已知等差数列的前项和为，若，公差，则是否存在最大值？若存在，求的最大值及取得最大值时的值；若不存在，请说明理由.
提示：由，公差，可以证明是递减数列.存在正整数，当时，，递减.把求的最大值转化为求的所有正数项的和.
答：（方法一）由，得，所以是递减数列.又由，可知当时，，
当时，，当时，，所以，.也就是说，当或时，最大.
因为，所以的最大值为30.
提示：如图，当时，关于的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点，可以利用二次函数求相应的的值.
答：由，，得
所以，当取与 最接近的整数即5或6时，最大，最大值为30.
设计意图：通过例题讲解，引导学生思考能用前n项和公式性质和最值解决实际问题，更好的理解等差数列前n项和公式性质与最值问题的方法.
（四）课堂练习
1.莱茵得纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把个面包分给个人，每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份为( )
A. B. C. D.
答：设五个人所分得的面包为，，，，，其中；则，，；由，得；，；所以，最小的分为．
故选A．
2.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为，，，，，，，若该数列从第项开始成等差数列，则该塔群共有( )
A. 层 B. 层 C. 层 D. 层
答：根据题意，设该数列为，塔群共有层，即数列有项，数列为，，，，，，，则，该数列从第项开始成等差数列，而，，则其公差，则，
又由，则有，即，解得或舍，
则．
故答案选：．
3.在我国古代著名的数学专著九章算术里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．则( )
A. 驽马第七日行九十四里 B. 第七日良马先至齐
C. 第八日二马相逢 D. 二马相逢时良马行一千三百九十五里
答：设良马每天所行路程为，则是以为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，弩马每天所行路程为，则是以为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，驽马第七日行了：里，故A正确；设共用天二马相逢，
则，所以，
化简得，解得，则第九日二马相逢，故 C错误；
所以二马相逢时良马行了：里，故D正确；
设良马第日先至齐，当时，所以，
当时，所以，故B错误．故选AD．
4.设无穷等差数列的前项和为，已知，．
求与的值；
对任意的正整数，不等式恒成立，试求实数的取值范围．
答：因数列是等差数列，
所以，所以，
又，所以公差，
所以，，
所以，
根据题意，对任意的正整数，不等式恒成立，
当时，，得，
而时，得，，显然不是恒成立，故，
所以，
当时，，所以，
所以当，不等式恒成立等价于
当，恒成立，
记，且，
则当时，
即，
所以且，单调递增，，
所以，得，
因此，实数的取值范围为．
5.设等差数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
解：由题意，设等差数列的公差为，
则，
又，
解得，
，．
由可得，，
则

设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固用前n项和公式性质和最值问题解决一些简单的与前n项和有关的问题，能够灵活运用.
（五）总结归纳
通过这节课学习，你都学会了哪些内容？
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充．
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.

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