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第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
第1课时
1.理解等比数列的定义,会用定义判断一个数列为等比数列.
2.掌握等比数列的通项公式,并能灵活运用公式进行相关计算.
3.掌握等比中项的定义并能解决相关问题.
4.体会数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数学建模素养.
重点：等比数列、等比中项的概念、等比数列的通项公式.
难点：等比数列通项公式的推导和运用
（一）创设情境
回顾：
1.等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫等比数列的公差，公比通常用字母d表示.
2.等差中项
若三个数 a，A，b 组成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项．此时，2A＝a+b．
3.等差数列的通项公式
设计意图：通过已经讲述过的等差数列的研究方法，让学生联系、类比已学知识，为等比数列的概念的学习打下基础。
（二）探究新知
任务1：探索等比数列的定义.
思考： 观察下列两个情境，情境中的两个数列有哪些共同特征呢？
情境1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是1，2， 4， 8，….
情境2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为1,
思考：
(1)你能发现数列中相邻项之间的关系吗 它们是等差数列吗
1，2， 4， 8，….
1,
答：都不是等差数列,因为不符合等差数列的定义.
通过观察数列中相邻两项之间的关系,你会发现有怎样的共同特点
答：从第2项起,每一项与前一项的比都等于同一个非零常数.
探究：
类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出这类数列的概念吗？
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
教师提示，类比已有的学习经验是一个好方法，比如“等差数列”；然后指引学生回顾等差数列相邻两项的关系，确定新数列的研究问题：相邻两项比是固定常数．
设计意图：意在引导学生从运算的角度，类比已有研究对象的主要特征，发现一个新的特殊数列作为研究对象，这样的过程有利于培养学生发现问题和提出问题的能力．
总结：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，公比通常用字母q表示.
探究：你能尝试用符号语言表示等比数列吗？
总结：等比数列的符号语言
或
思考：类比等差中项的概念，你能得到等比中项的概念吗
答：若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．
思考：
(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
等差数列的项和公差都可以为0；等比数列的项和公比都不可以为0.
(2)常数列是等差数列吗？是等比数列吗？
常数列是等差数列，公差为0；非零常数列是等比数列，公比为1.
(3)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
(4)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？
q>0时，等比数列各项符号和首项保持一致；
q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。
师生活动：教师引导学生观察、分析， 等比数列的每一项，公比．
设计意图：让学生充分经历从观察、分析到抽象、概括的过程，其中包括独立思考和交流讨论．同时增强学生对数列的每一项和公比均不等于0的了解和记忆，这是一个提升学生数学抽象素养的时机．
任务2：探索等比数列的通项公式
探究：(1)根据等比数列的定义,你能推导等比数列的通项公式吗
设一个等比数列的公比为．根据等比数列的定义，可得
所以
...
由此可得
又，这就是说，当n=1时上式也成立．
因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为
（2）除了根据等比数列的定义,还能有其他的推导等比数列通项公式的方法吗
证明：由等比数列的定义得
……
即
又，这就是说，当n=1时上式也成立．
因此，首项为，公比为q的等比数列的通项公式为
任务3：探索等比数列与指数型函数的关系
探究：类比等差数列与一次函数的关系，等比数列可以与哪类函数建立联系呢？
等比数列的第n项是函数当x=n时的函数值，即.
以等比数列的项数为横坐标、以项为纵坐标的点是指数型函数图象上一系列孤立的点.（三）应用举例
例1若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求的第5项．
分析：等比数列由唯一确定，可利用条件列出关于的方程（组），进行求解．
解法1：由，得
②的两边分别除以①的两边，得．解得或．
把代入①，得．此时，．
把代入①，得．此时，．
因此，的第5项是24或．
解法2：因为，所以是与的等比中项，于是．
所以．
因此，的第5项是24或．
师生活动：带领学生完成第一个通项公式的寻找，后面三个数列的通项公式由学生独立完成，最后教师组织学生订正．
设计意图：通过以上四个数列的通项公式的寻找，学生进一步理解掌握等比数列通项公式的运用．
总结：等比数列的计算
(1)等比数列的基本量是和n,很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题.解决这类问题时,最核心的思想方法是解方程(组)的方法,即依据题目条件,先根据等比数列的通项公式建立关于和q的方程(组),再解方程(组),求得和q的值,最后解决其他问题.
(2)在等比数列的基本量运算问题中,建立方程(组)进行求解时,要注意运算的技巧性,特别注意整体思想的应用.
例2 已知等比数列的公比为q，试用的第m项表示.
解：由题意,得
①
②
②的两边分别除以①的两边，得，所以.
师生活动：让学生先独立思考，教师展示学生推导并规范解答．
设计意图：内容难度不大，引导学生类比等差数列通项公式的推导过程进行推导，并得到等比数学的通项公式．这是一个提升学生数学抽象的时机．
例3 数列共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132．求这个数列．
分析：先利用已知条件表示出数列的各项，再进一步根据条件列方程组求解．
解：设前三项的公比为q，后三项的公差为d，则数列的各项依次为，，80，80+d，80+2d．
于是得解方程组，得或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48．
总结：巧设等差数列、等比数列的方法
(1)若三个数成等差数列,则常设成.若三个数成等比数列,则常设成或.
(2)若四个数成等比数列,则可设为.若四个符号相同的数成等比数列,则可设为.
例4 已知数列的通项公式为,判断这个数列是否是等比数列.如果是,求出公比;如果不是,说明理由.
解：因为
所以，数列是等比数列,且首项为6,公比为2.
总结：判断一个数列是等比数列的基本方法是定义法
若数列满足(q为常数且不为零)或(n≥2，q为常数且不为零)，则数列是等比数列．
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
设计意图： 通过例题，熟悉等比数列的概念，并强化数学运算的核心素养．
课堂练习
1.“”是“、、成等比数列”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要
解：若、、成等比数列，根据等比数列的性质可得：，
若，当时，、、不成等比数列，
则“”是“、、成等比数列”的必要不充分条件．
故选：B.
2.月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续天月相变化的数列，记为，其将满月等分成份，且表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数例如，第天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第天为满月，即已知的第项到第项是公比为的等比数列，第项到第项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则( )
A. B. C. D.
解：依题意，有，，
时，不是正整数；
时，；
时，，不是正整数．
所以，，．
故选：
3.在等比数列中，，若对正整数都有，那么公比的取值范围是( )
A. B. C. D.
解：在等比数列中，，若对正整数都有，则
即
若，则数列为正负交错数列，上式显然不成立；
若，则，故，因此，
故选B．
4.对于数列，若点都在函数的图象上，其中，为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论．
解：数列是等比数列，证明如下：
证明：依题意得，
则，
，，，
所以数列是为首项，为公比的等比数列．
5.已知等比数列的首项，公比，在中每相邻两项之间都插入个正数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等比数列
求数列的通项公式；
记数列前项的乘积为，试问：是否有最大值？如果是，请求出此时以及最大值；若不是，请说明理由．
解：，公比，
，
设新数列的公比为，
则，，
，
即，
，舍去，
；
，
令，
当或时，有最大值，最大值为，
有最大值为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固等比数列的概念，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识？第四章 数列
4.3.1等比数列的概念
第2课时
1.能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.
3.通过推导等比数列的性质及其应用，提升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养.
重点：运用等比数列解决简单的实际问题.
难点：等比数列的综合运用
（一）创设情境
回顾：
1.等比数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，公比通常用字母q表示.
2.等比中项
若三个数 a，G，b 组成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．此时，
3.等比数列的通项公式
4.等差数列的性质
(1)若数列{}，{}是等差数列，则{+}也是等差数列.若{}是等差数列，c是常数，则{c}也是等差数列.
(2)在等差数列{}中，若，则.
特别地，若，则.
(3)在等差数列{}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等差数列.
师生活动:教师引导学生复习回顾等比数列的概念、等差中项的定义和等比数列的通项公式以及等差数列的性质，并请同学作答.
设计意图：通过简单的复习回顾，巩固前面所学知识，为本课时的学习作好铺垫和引导.
（二）探究新知
任务1：探索等比数列的性质.
思考：（1）观察等比数列: 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……
请问16是哪两项的等比中项？并说明理由.
答：∵162=8×32=4×64=2×128.
∴16是8与32的等比中项；也是4与64的等比中项；是2与128的等比中项.
等比数列 2 ，4 ，8 ，16 ，32，64，128，256,……
思考：（2）若{}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，那么、之间有怎样的关系？
猜想：若{}是公比为q的等比数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝s＋t，则.
证明： 因为，，所以，
又因为，，所以，
又m＋n＝s＋t，所以.
特别地，当，则
探究：你能类比等差数列性质，尝试归纳等比数列的其他性质吗？
(1)若数列{}，{}是项数相同的等比数列，则{}也是等比数列.若{}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c}也是等比数列.
(2)等比数列{}是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积.
(3)在等比数列{}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为.
（三）应用举例
例1用10 000元购买某个理财产品一年.
（1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？
（2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？
分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和, ，…构成等比数列.
解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，
首项，公比，
所以，10490.7
所以，12个月后的利息为（元）.
（2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列，
首项 ，公比为，
于是 .
因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为
元.
解不等式，
得.
所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息.
师生活动：请学生先独立思考第（1）问，再将思考的内容在小组内进行交流，教师适时点评.引导学生发现问题中具有等比关系的量，并构造一个等比数列来刻画这个量.第（2）问，学生认真阅读题目后，教师引导学生类比第（1）问建立另一个等比数列模型，并将问题最终转化为利用不等式，求解参数范围的问题.
设计意图：培养学生数学阅读理解能力和数学表达能力，提升学生的数学运算和数学建模素养.促进学生形成数据处理工具的使用意识，发展数据分析素养.
总结：
(1)复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为a元，每期的利率为r ，则从第一期开始，各期的本利和…构成等比数列.
(2)一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解.
例2 已知数列的首项.
（1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列；
（2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列.
分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。
证明：（1）由，，得的通项公式为.
设，则 ：
，
又 ,
所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列.
（2）由, ,得
两边取以3为底的对数，得
所以 .
又，
所以，是首项为1，公差为的等差数列.
师生活动：学生独立完成解题过程，并进行展示交流，教师适时评价.引导学生从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明.可让学生总结用符号化定义证明等差数列、等比数列的基本路径，即利用所给条件证明第项与第项的差（比）为定值.比如第（1）问中，只需证明数列的第项与第项的比为定值即可.
设计意图：进一步学习如何运用定义证明或判断一个数列为等差或等比数列，渗透特殊与一般的数学思想.
思考：已知且.如果数列是等差数列，那么数列是否一定是等比数列？如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？
已知且.如果数列是等差数列，设其公差为，则
所以数列是以为首项，为公比的等比数列.
数列是各项均为正的等比数列，设其公比为，则，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.
师生活动：学生独立完成后进行展示，学生互评，教师强调符号表达的规范.
设计意图：通过思考，将对例2中等差数列与等比数列间联系的一种特殊情形的思考，推广到对等差数列与等比数列间联系的一般情形的思考，着重渗透特殊与一般的数学思想，发展逻辑推理素养.
总结：
(1)若是等差数列，则数列是等比数列；
(2)若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列.
例3 某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？
分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法.
解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知
，
则从今年1月起，各月不合格产品的数量是
（ ）
由计算工具计算（精确到0.1），并列表（表4.3-1）
表4.3-1
1 2 3 4 5 6 7
105.0 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9
8 9 10 11 12 13 14
106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0
观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可.
由 ，
得.
所以，当时，递减
又 <100,
所以当24时, <100
所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内.
师生活动：学生通过观察数据发现的变化规律实际上就是数列的单调性.对于数列单调性的证明，教师先让学生分组合作讨论，再让学生分组充分展示交流.对于作差法和作商法，要让学生自己进行对比，明白作商法更为简洁是由等比数列的特点决定的.在得出单调性的基础上，学生通过计算的数值得出结果.最后可以用一次函数和指数函数的变化规律来解释本题的结果：等差数列（近似一次函数）以恒定的速度增长，而等比数列（近似指数函数）随着项数的增大，递减的速度越来越快，所以它们的乘积是先增后减.
设计意图：通过本例的教学可以让学生体会到，对于数列问题，一般从它的通项出发进行研究，对于一个“陌生”数列（非等差或等比数列）的通项公式，往往可以从数值、图象上寻找规律，然后通过运算、论证获得解答.
例4 已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的的值。
解：，
故当时，，当时，，
即，
故当时，取得最大值．
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
设计意图： 通过例题，熟悉等比数列的概念及性质，并强化数学运算的核心素养．
课堂练习
1.已知等比数列的各项均为正数，且，则( )
A. B. C. D.
解：．
故答案选：．
2.设是公比为的等比数列，下列四个选项中是正确的命题有( )
A. 是公比为的等比数列 B. 是公比为的等比数列
C. 是公比为的等比数列 D. 是公比为的等比数列
解：由题设知：公比，
，选项A正确；
，选项B正确；
，选项C错误；
，选项D错误，
故选AB．
3.已知是一个无穷等比数列，公比为．
将数列中的前项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？
在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？
解：将数列中的前项去掉，剩余的数列为，
令，则数列可视为，
所以，则是等比数列，
即是等比数列，首项为，公比为；
数列中的所有奇数列是，所以，
则数列是等比数列，首项为，公比为；
数列中每隔项取出一项组成的数列是，
所以，
则数列，是等比数列，首项为，公比为；
猜想：在数列中每隔是一个正整数取出一项，组成一个新的数列是等比数列，首项为，公比为．
4.已知为等差数列，是公比为的等比数列，且是和的等差中项，是和的等差中项．
证明：．
已知，记数列是将数列和中的项从小到大依次排列而成的新数列，求．
解：设数列的公差为，
因为是和的等差中项，是和的等差中项，
所以，
，
所以，解得，得证．
因为，所以．
．
为奇数，为偶数，故数列和没有相同的项．
因为，，
所以的前项中，含有个，
所以．
5.已知数列满足，点在直线上．
求证：数列是等比数列，并求出的通项公式
求满足的的取值构成的集合．
解：由已知得，
，
且，
所以数列是等比数列，公比为，
，则．
因为，
所以，
，
，
得，又因为，
所以的取值构成的集合是．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固等比数列的概念及性质，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识？

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