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第四章 数列
4.3.2等比数列的前n项和公式
第1课时
1.理解用错位相减法推导等比数列前项和公式的过程，掌握公式的特点，并能应用公式解决一些简单问题．
2.在公式的推导中渗透了特殊到一般、一般到特殊、类比、分类讨论等数学思想，培养学生逻辑思维能力和逆向思维的能力．
3.通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美
重点：等比数列前项和公式的推导及公式的简单应用．
难点：用错位相减法推导等比数列前项和公式及等比数列前项和公式的运用．
（一）创设情境
国际象棋起源于古代印度，相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒……依此类推，每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.已知一千颗麦粒的质量约为40g，据查，2016-2017年度世界小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.
思考：（1）如果把棋盘格中所放的麦粒数看成一个数列，会得的怎样的数列呢
答：得到一个等比数列，数列的首项是1，公比是2，一共有64项.
一共有多少颗麦粒呢 国王能实现他的愿望吗
答：麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.
师生活动：教师引导学生从实际背景中抽象出等比数列模型，如果把各格所放的麦粒数看成一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1公比是2，求第1个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总和就是求这个等比数列前64项的和.由于项数较多，直接计算繁琐不易操作，适时引起学生的认知冲突，引人本课时重点探究内容.
设计意图：通过将实际问题抽象成数学问题，激起学生的认知冲突，引入本课时的学习内容，为学生后续探究公式作准备.
一般地，如何求一个等比数列的前n项和呢？一起来探究吧！
（二）探究新知
任务1：探索等比数列的前n项和公式.
师生活动：教师启发学生思考，看能否利用已有的经验和方法，比如等差数列前n项和公式推导所用的“倒序相加法”去推导.碰到困难后，师生一起分析原因，引导学生从等比数列的概念去展开思考.
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是
根据等比数列的通项公式，上式可写成
我们发现，如果用公比q乘①的两边，可得
①②两式的右边有很多相同的项，
用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，
可得，
即．
因此，当q≠1时，我们就得到了等比数列的前n项和公式
(1)
因为,所以公式（1）还可以写成
(2)
思考： 当q=1时，等比数列的前n项和Sn等于多少？
总结：比数列的前n项和公式
当q=1时，
上述推导等比数列的前n项和公式的方法，称为“错位相减法”.
有了上述公式，就可以解决“情境”中提出的问题了.
由，可得
这个数很大，超过了.
如果一千颗麦粒的质量约为40g，那么以上这些麦粒的总质量超过了7000亿吨，约是2016-2017年度世界小麦产量的981倍.
因此，国王根本不可能实现他的诺言.
思考：当数列满足什么特点时，可以用“错位相减法”求前n项和？
要求：1.先独立思考2分钟；
2.小组内交流讨论；
3.以小组为单位进行展示汇报.
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n项和即可用错位相减法求解．
（三）应用举例
例1 已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，求；
（3）若，，，求.
分析：利用公式求解即可.
解：因为，，所以
(2)分析：
解：由，可得
即．
又由q<0，得
所以.
分析：
解：把，，代入，得
整理，得
解得n=5.
师生活动：学生选择公式进行求解，并在小组内交流解题方法，教师适时点评.
设计意图：这个环节主要是通过等比数列通项公式和前项和公式的联用帮助学生巩固公式，掌握基本量的确定方法，强化方程的思想，提升学生的数学运算素养.
总结：计算等比数列基本量的方法技巧
(1)等比数列的基本量有知道其中任何三个量，都可以求其余的两个量，即“知三求二”.
(2)计算等比数列的基本量的关键是掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，通常将已知条件转化为首项和公比的方程（组）求解，在解方程组时经常用到两式相除达到整体消元的目的，这里运用了方程的思想.
例2 已知等比数列的首项为－1，前项和为，若，求公比.
解：若q=1,则，所以q≠1.
当q≠1时，由得
，
整理，得,
即
所以.
师生活动：学生独立思考完成后在小组内交流，小组代表展示.教师评价时注意强调对公比是否为1的讨论，强化学生对等比数列前项和公式为分类表达式的理解.经验证当时不合题意；当时，根据公式列出关于的方程，可求出.
设计意图：相较于例1，例2的解答中涉及对公比取值的讨论，学生容易忽视的情形.此环节设置例题和变式主要是通过题目的对比，引导学生注意对的取值情况进行分类讨论.
例3 已知等比数列的公比，前项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比．
证明：当时，
,
所以，，成等比数列，公比为1.
当时，
所以.
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
师生活动：教师让学生讨论，并适时启发学生归纳等比数列的证明方法.学生独立完成解题过程，并进行展示交流，教师及时评价.师生一起对比定义法和等比中项法，突出算法选择的重要性，进一步强化分类讨论意识.另外，教师可适时指出本题的结论是等比数列的一个性质.当时符合题意；当时，根据公式可得到.
设计意图：例3条件中出现了等比数列的前项和，所以例3与例2的解决过程类似，教科书中对公比的取值进行分类讨论，再利用等比数列的前项和公式加以证明，这种方法体现了计算在证明中的作用.
思考：不用分类讨论的方式能否证明该结论？
由数列的前项和的定义，得
所以.
因为为常数，所以，，成等比数列.
师生活动：小组合作交流后进行展示.教师适时启发学生利用数列前项和的定义，再结合等比数列的定义，思考探究后得出思路.
设计意图：对于等比数列的概念揭示得更充分，方法也更为简洁.
例4 已知为各项都为正数的等比数列，，．
求数列的通项公式；
求数列的前项和为．
解：设等比数列的公比为，因为，，
所以，即，解得，舍，
所以数列的通项．
设数列的通项为，结合知，
则，
得：，
得：，
所以．
总结：应用“错位相减法”求数列前n项和的解题策略
(1)一般地，如果数列是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以数列{}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
设计意图： 通过例题，熟悉等比数列的前n项和公式以及错位相减法，并强化数学运算的核心素养．
课堂练习
1.设等比数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
解：因为，，成等比数列，
所以，
即，解得：．
故选：．
2.如图给出的是一道典型的数学无字证明问题，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是( )
A. 矩形块中所填数字构成的是以为首项，为公比的等比数列
B. 前八个矩形块中所填写的数字之和等于
C. 面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为
D. 记为除了前块之外的矩形块面积之和，则
解：设每个矩形块中的数字从大到小形成数形，
则可得是首项为，公比为的等比数列，故A错误；
所以，
前八个矩形块中所填写的数字之和等于，故B正确；
所以面积由大到小排序的第九个矩形块中应填写的数字为，故C错误；
按照这个规律继续下去，前块矩形块面积之和为，
故前块之外的矩形块面积之和为，故D正确；
故选：．
3.已知，且对于，证明：．
证明：由于，是不为的常数，且，
则数列：，，，，为首项为，公比为，项数为的等比数列，
即有．
4.已知递增的等比数列的前项和为，且，．
求数列的通项公式；
设，求数列的前项和．
解：设等差数列 公差为，首项为，
由题意有 ，解得 ，
所以 ．
，
所以 ，

，
．
5.已知等差数列的前项和为，满足．
求的值；
设的前项和为，求证：．
解：，
，得：，
，
，
；
证明：由得，
，
，
得： ，

，
所以．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固等比数列的前n项和公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识？第四章 数列
4.3.2等比数列的前n项和公式公式
第2课时
1.熟练应用等比数列前n项和公式的性质解题．
2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．
3.通过本节课例题讲解提高学生分析解决问题的能力.
4.通过利用等比数列的前n项和公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养
重点：等比数列的前n项和公式及其应用．
难点：运用等比数列解决实际问题．
（一）创设情境
回顾：
1.等比数列的前n项和公式
2.等比数列的前n项和公式的性质
等比数列的公比q≠ 1，前n项和为.则成等比数列.
3.等比数列求和的求和方法：乘比错位相减法
设计意图：复习旧知识，使学生更快地接受新知识，即加强新旧知识间的联系，同时又使整节课教学结构紧密.
（二）探究新知
任务1：探索等比数列的前n项和公式的函数特征
我们知道，等差数列的前n项和公式
是常数项为0的关于n的二次型函数．
思考：类比等差数列，等比数列的前n项和有什么函数特性？
师生活动：先独立思考，再交流讨论.
提示：等比数列的前n项公式的应用中，注意前n项和公式要分类讨论，即q≠1和q=1时是不同的公式形式，不可忽略q=1的情况.
当q=1时，是n的正比例函数.
当公比 q≠1时，等比数列的前n项和公式是
令 ，上式可写成
即是n的指数型函数，的系数与常数项互为相反数.
任务2：探索“分组求和法”求数列的前n项和
一般地，如果数列是等差数列，{}是等比数列，求数列{·}的前n项和时，可采用“错位相减法”求和，如果是数列{+}，该如何求它的的前n项和呢？
分别将数列和数列{}求和，再相加即可.
上述求数列前n项和的方法，称为“分组求和法”.
师生活动：先独立思考，再交流讨论，教师进行完善.
设计意图：通过该问题让学生理解分组求和法，让学生会求一类可转化为等差数列和等比数列的求和的数列求和问题．
（三）应用举例
例1 如图，正方形 的边长为，取正方形 各边的中点 作第2个正方形 ，然后再取正方形各边的中点，作第3个正方形 ，依此方法一直继续下去.
(1) 求从正方形 开始，连续10个正方形的面积之和；
(2) 如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些正方形的面积之和将趋近于多少？
分析：可以利用数列表示各正方形的面积，根据条件可知，这是一个等比数列。
解：设正方形的面积为，后续各正方形的面积依次为, ,…，则=25,
由于第个正方形的顶点分别是第个正方形各边的中点，
所以=,
因此{}，是以25为首项，为公比的等比数列.
设{}的前项和为
（1）===
所以，前10个正方形的面积之和为c.
(2)当无限增大时，无限趋近于所有正方形的面积和
，
而==
随着的无限增大，将趋近于0，将趋近于50.
所以，所有这些正方形的面积之和将趋近于50.
师生活动：学生建立数学模型求解，并在小组内交流解题方法，教师适时点评.
设计意图：以正方形面积求和问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题．并体会等比数列与指数函数的关系，感悟函数思想．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
总结：
设等比数列的公比为q,当|q|<1时，该数列称为无穷递缩等比数列，无穷递缩等比数列的所有项的和.
例2 去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量（精确到0.1万吨）.
分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列。因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算。
解：设从今年起每年生活垃圾的总量（单位：万吨）构成数列{}，每年以环保方式处理的垃圾量（单位：万吨）构成数列{}， 年内通过填埋方式处理的垃圾总量为 （单位：万吨），则=20, =6+1.5
=
=
=()
当时，
所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为 63.5万吨.
师生活动：生独立思考后小组合作探究.教师引导学生对“陌生”数列的探究从通项公式入手.
设计意图：以生活中的垃圾处理为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决实际问题．并掌握分组求和法．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
总结：数列求和方法：分组求和法
(1)求形如的前n项和公式，其中与是等差数列或等比数列；
(2)将等差数列和等比数列分开：
± ( )
(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算.
例3 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率为8% ，且在每年年底卖出100头牛。设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次为
（1）写出一个递推公式，表示与之间的关系；
（2）将（1）中的递推公式表示成 的形式，其中, 为常数；
（3）求=的值（精确到1）.
分析：（1）可以利用“每年存栏数的增长率为8%”和“每年年底卖出100头”建立与的关系；（2）这是待定系数法的应用，可以将它还原为（1）中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；（3）利用（2）的结论可得出解答.
解:（1）由题意，得并且
①
（2）将 化成
= ②
比较①②的系数，可得
解这个方程组，得
所以（1）中的递推公式可以化为
（3）由（2）可知，数列{-1250}是以-50为首项，1.08为公比的等比数列，则
所以=
师生活动： 第（1）小题根据实际背景，学生不难写出与之间的递推关系式，并且很容易判断既不是等差数列，也不是等比数列.教师适时评价.教师引导学生加深理解：数列的递推公式和通项公式一样，也是数列的一种表示方法，只是一般情况下没有通项公式简便易用.教师可利用电子表格求出（3）的结果.
设计意图：以牧场中牛的繁殖问题为背景，引导学生运用等比数列求和知识解决问题，并学会运用构造法，构造等比数列解决问题．发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养．
总结：
在解决实际问题时，有时不容易发现呈等差关系或等比关系变化的量，但可以发现某些量的递推关系．这时，往往可以先构建一个用递推关系表达的数列，再尝试通过代数变换，把这个数列转化为等差数列或等比数列，或等差数列与等比数列的线性组合．
对于数列{cn}满足：cn+1 =rcn+m ，先通过引入参数，建立一个含cn+1与cn的等比关系，再求出其中的参数，这实际上是待定系数法，即：cn+1-k=r(cn-k)，先求出数列{cn-k}的通项公式，进而求得数列{cn}的通项公式．
例4 已知数列{}的前n项和为，点()在直线上．
(1)当实数t为何值时，数列{}是等比数列？
(2)在(1)的结论下，设是数列{}的前n项和，求.
解：
当n≥2时，.
于是＝3() －＝3 ＝4.
又当n＝1时，，
所以当t＝1时，，此时，数列{}是等比数列．
(2)由(1)，可得＝，
所以，，
那么
总结：
解决等差数列和等比数列的综合问题,一般不能直接套用公式,要先对已知条件转化变形,使之符合等差数列或等比数列的形式,再利用公式求解.同时,要注意在题设条件下,寻求等差数列和等比数列之间的内在联系,以便它们之间的相互转化.
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
设计意图： 通过例题，熟悉等比数列的前n项和公式以及分组求和法，并强化数学运算的核心素养．
课堂练习
1.已知等比数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
解：由题意，可得，
，，
故，可得经验证，符合题意；
故选：．
2.某牛奶厂年初有资金万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产．这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过年资金达到万元的目标精确到万元？
解：设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，经过年后资金为万元，
则，
，
，
，
，
若经过年资金达到万元的目标，
则，
，
所以，这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，才能实现经过年资金达到万元的目标．
3.在，，，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．
已知数列中，，满足___________，求数列的前项和．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
解：若选
因为，所以．
因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即
所以，
，
两式相减得，，
整理得．
若选
因为，所以．
因为，所以，
所以，
所以数列是以为首项，公比为的等比数列，
所以，即，
所以，
所以．
若选
因为，所以，
因为，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，
所以，即．
所以，
，
两式相减得，，
整理得．
4.已知数列的首项，且满足．
求证：是等比数列．
求数列的前项和．
证明：因为，
所以，
所以数列是等比数列，其中首项为，公比为；
解：由可得，所以，
所以
当为奇数时，
当为偶数时，．
综上所述，．
5.已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列；
若，求满足条件的最大整数．
解：，，
可得，
又由，所以，则数列 为首项为，公比为的等比数列．
由可得，所以．
设数列的前项和为，
则
，
若，即，因为函数为单调递增函数，
所以满足的最大整数的值为．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固等比数列的前n项和公式，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】通过本节课的研究，大家学到了哪些知识？

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