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第四章 数列
4.4数学归纳法 第1课时
归纳法原理
1.了解数学归纳法原理，会用数学归纳法原理证明一些简单的与正整数有关的命题;
2.通过对多米诺骨牌全部倒下的条件的类比和迁移，归纳得到数学数学归纳法的两个步骤,提高学生数学表达能力和推理论证能力;
3.体会从特殊到一般、无穷到有限的辩证思维过程，发展数学抽象素养.
重点：1.理解数学归纳法的原理；
2.理解数学归纳法中n和n+1的关系.
难点：1.理解构建递推关系；
2.让学生理解用数学归纳法证明数学命题的原理.
（一）创设情境
不完全归纳：从一个几个（但不是全部）特殊情况作出一般性结论的归纳推理。这种归纳是以有限数量的事实作为基础而得出的一般性结论.受限于样本的数量，结论不具有必然性、普遍性、可靠性.
那么，如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
师生活动：教师展示不同的动漫形象，提出问题，引导学生推理第四个形象的名字，从而引入不完全归纳法的定义，并提出不完全归纳法存在的问题.
设计意图：通过直观观察，结合身边的事物引出数学知识，学生会感到亲切、生动、真实、易于接受. 同时，能使他们体会到生活中处处有数学，数学就在我们身边，我们生活在充满数学信息的现实世界中. 能促进学生会用数学的眼光去观察和认识周围的事物，有效的促进知识的迁移.
（二）探究新知
任务1：探究“骨牌原理”
探究：已知数列满足，，计算，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想.
思考1：如何证明这个猜想呢？
答：我们自然会想到从n=5开始一个个往下验证.
思考2：一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证，但当n比较大时，验证起来会很麻烦.特别是证明n所取的所有正整数都成立的命题时，逐一验证是不可能的.那么，能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立？
播放多米诺骨牌视频.
思考3：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
答：（1）第一块骨牌倒下；
任意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导致后一块骨牌倒下.
思考4：你认为条件(2)的作用是什么 如何用数学语言描述它
答：条件（2）给出了递推关系：
师生活动：小组内交流，并汇报展示.
设计意图：通过多米诺骨牌游戏，寻找和构建递推关系.
任务2：类比多米诺“骨牌原理”，探究数学归纳法.
思考5：你认为证明前面的猜想“数列的通项公式是”与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？
由及递推关系；
由及递推关系；
由及递推关系；
......
递推关系：
命题：当n=k时猜想成立，则n=k+1时猜想也成立.
如果n=k时猜想成立，即，那么
即当n=k+1时，猜想也成立.
“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析
骨牌原理 猜想的证明步骤
①第一块骨牌已经倒下 ①证明n=1时，的猜想正确
②证明“若第k块倒下时，则相邻的第k+1块也倒下”这句话是真实的 ②证明“如果n=k时猜想正确，即，那么n=k+1时，猜想也正确”即
③根据①②所有的骨牌都倒下 ③根据①②，这个猜想对一切正整数n都成立
探究：请根据“骨牌原理”与“猜想的证明步骤”对比分析构建数学归纳法的结构框图：
思考6：数学归纳法的第一步的初始值是否一定为1？
答：不一定.如证明n边形的内角和为（n-2）·180°，第一个值.
思考7：数学归纳法中的两个步骤之间有什么关系
答：记是一个关于正整数n的命题.
条件：
为真；
若为真，则也为真
真，真......真，真.......
结论：为真.
设计意图：通过类比骨牌原理，得出数学归纳法的证明步骤，将无限个步骤转化为有限个步骤，培养学生类比思想，便于理解和解释复杂的概念和现象．
（三）应用举例
例1 用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么
对任何都成立.
分析：
第一步：证明n=1时命题成立；
第二步：明确证明目标：如果n=k时，①式是正确的，那么n=k+1时①式也是正确的.
证明：（1）当n=1时，左边=，右边=，①式成立.
（2）假设当时，①式成立，即
，
根据等差数列的定义，有
，
于是
即当n=k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
【总结】
口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.
用数学归纳法证明命题时，应关注以下三点：
弄清n取第一个值时等式两端项的情况；
弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；
证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例2：已知数列满足，．
求；
猜想的通项公式并用数学归纳法证明．
试题ID:4b76c2bc-507a-4826-8f35-385f89e037ea
解：，
，
，
，
．
猜想；
证明：当时，猜想成立，
假设当时命题成立，即，
那么当时，
有
，
所以当时命题也成立，
由得，对任意正整数均有．
【总结】
①根据递推式依次计算，，，；
②由归纳推理得出数列的通项公式；
③先验证时情况，假设时猜想成立，证明时结论正确．
设计意图：通过例题，熟悉数学归纳法的运用.
（四）课堂练习
1.在用数学归纳法证明等式成立时，第一步要验证成立的等式是 ( )
A. B.
C. D.
试题ID: bfb39c4b-a540-4b8d-9bcc-af0509a32995
解：原等式右边有项，当时，右边有项，
故选D．
2.用数学归纳法证明“”时，从“到”时，左边应增添的式子是( )
A. B. C. D.
试题ID: 84bf792a-c241-45ba-a462-c09d53826ec0
解：用数学归纳法证明时，
从到时左边需增乘的代数式是．
故选：．
3.用数学归纳法证明不等式成立，起始值至少应取为 ．
试题ID: e6bf7fa8-9e90-4d10-a7a0-96a8d1a7443e
解： ，
即，
解得，即，
起始值至少应取．
故答案为．
已知，用数学归纳法证明时，比多了 项．
试题ID: 84679203-7492-4384-b932-6c0827bedbc1
解：因为，，
所以，
所以比多了项
故答案为：．
5.记数列的前项和为，，且当时，．
分别计算，，，，并由此猜想的表达式；
用数学归纳法证明你的猜想．
试题ID: ccb1630d-3b38-43de-ac4d-e461283af309
解：当时，，
所以，
同理可得，
因为，
所以猜想；
证明：当时，，猜想成立；
假设当时，猜想成立，，
，
即，
所以当时，也成立，
根据，可以断定，对任何正整数都成立．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固数学归纳法，能够灵活运用.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？第四章 数列
4.4数学归纳法
第2课时
1.能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
2.让学生熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.
3.通过用数学归纳法证明一个数学命题，使学生学会数学演绎证明的方法，理解将无限问题转化为有限问题的化归思想，培养数学探究的意识.
重点：进一步理解数学归纳法中n和n+1的关系；能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题.
难点：用n=k时的假设推导n=k+1时的命题
（一）创设情境
回顾：
数学归纳法
一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当（∈N ）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n＝k（k∈N ，k≥）时命题成立”为条件，
推出“当n＝k+1时命题也成立”.
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立，这种证明方法称为数学归纳法.
用途：数学归纳法用于解决关于正整数的猜想与命题.
师生活动:学生作答，师生共同回顾、巩固相关内容.
设计意图：本节课的主要内容是数学归纳法的应用，其目的是让学生熟悉数学归纳法的两个步骤，深刻理解数学原理的本质，不断积累使用数学归纳法解决数学问题的经验，领悟数学归纳法的思想方法.
（二）探究新知
任务1：探索数学归纳法的应用
思考：什么时候需要应用数学归纳法？
数学归纳法一般被用于证明某些与无限多个正整数n有关的命题.
证明对任意的正整数n，等式恒成立,不必应用数学归纳法.
证明的单调性,难以应用数学归纳法.
探究：下面这道题在应用数学归纳法证明的过程中，有没有错误？
用数学归纳法证明：如果{}是一个公差为d的等差数列，那么
① 对任何都成立.
证明：假设当n=k()时，①式成立，即，
则当n=k+1时，有,
所以当n=k+1时等式也成立.
由此得出，对任何，等式都成立.
答案：有错误.
思考：这道题需要证明n=1的情况吗？
需要，当n=1时，左边=，右边=+0×d=，①式成立.
上述证法如果加上证明n=1的情况，还有错误吗？
证明 n=k+1也成立的时候有错误.
如何修改上述证法？
假设当n=k 时该式成立，当成已知条件.比较一下已知条件和要证明的式子，进行化简即可. 说明n=k时该式成立能推出n=k+1时该式也成立，加之k的任意性，可知：对任何，等式都成立.
正确的证明过程如下：
证明：（1）当n＝1时，左边=，右边=+0×d=，①式成立.
（2）假设当n＝k（）时，①式成立，即，
根据等差数列的定义，有，
于是
即当n＝k+1时，①式也成立.
由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
思考：怎样正确地使用数学归纳法？
不能缺少第一步的验证；
第二步要证命题“若P(k)（，k≥）为真, 则P(k＋1)也为真”.
用上假设，递推才真!
（三）应用举例
例1用数学归纳法证明：
分析：用数学归纳法证明时，第二步要证明的是一个以“当n=k时，①式成立”为条件，得出“当n=k+1时，①式也成立”的命题，证明时必须用上述条件.
证明：(1)当n＝1时，①式的左边=12 =1，
右边＝=1 ，等式成立．
(2)假设n＝k时,①式成立，即12＋22＋32＋…＋k2＝，
那么，当n＝k＋1时，有
12＋22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2＝＋(k＋1)2
＝＝
＝＝
所以当n＝k＋1时，①式成立．
根据(1)(2)可知，①式对任何n∈N*，等式都成立．
师生活动： 学生独立思考并书写证明过程，然后教师在全班展示部分学生的证明过程，同学进行点评.在展示交流过程中，教师引导学生重点关注：
（1）证明过程中，两个步骤是否清晰；
（2）在第二步用归纳递推证明时命题成立时，是否用到了时成立这一条件；
（3）是否标注了的取值范围.
设计意图：这是一个证明恒等式的问题，使学生进一步熟悉用数学归纳法证明数学命题的基本过程和表述规范.
总结：
用数学归纳法证明恒等式、不等式时,应关注以下三点:
(1)弄清n取第一个值时等式两端项的情况;
(2) 弄清从n=k到n=k+1等式、不等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;
(3) 证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
例2 已知数列满足试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.
分析：先将数列{}的递推关系 化为，通过计算的值，归纳共性并作出猜想，再应用数学归纳法证明猜想.
解：由，可得
由可得 .
同理可得
归纳上述结果，猜想 ②
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1）当n=1时， ②式的左边，右边, 猜想成立.
（2） 假设当时， ②式成立，即
那么
即当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立.
师生活动：学生独立思考、解答，并进行展示.同时，教师引导学生思考如下几个问题：
（1）数列的递推关系是什么？
（2）根据递推关系，，，的值各是多少？
（3）根据，，的值猜想数列的的通项公式是什么？
（4）怎样用数学归纳法证明所猜想的通项公式？
通过这几个问题，把整个题目进行分解，引导学生逐步解决以上问题，最终达到解决问题的目的.
设计意图：例2与第1课时中的探究问题十分相似，设计本题目的有二：一是让学生进一步体会“先猜后证”的探究问题的方式，即观察—归纳—猜想—证明；二是让学生体会“递推关系相同，而初始条件不同，则数列的通项公式不一定相同”，培养学生在学习中养成不断总结和反思的习惯.
总结：“归纳——猜想——证明”的一般环节:
例3 设为实数，且，为大于1的正整数，若数列
的前项和为，试比较与的大小，并用数学归纳法证明你的结论.
分析：该问题中涉及两个字母，x是大于-1且不等于零的实数，n 是大于1的正整数.
一种思路是不求和，而直接通过n取特殊值比较与nx的大小关系，并作出猜想；
另一种思路是先由等比数列的求和公式求出，再通过n取特殊值比较与nx的大小关系后作出猜想.两种做法都必须用数学归纳法证明得到的猜想.
解法1：由已知可得
当时，,由，知可得；
当时，,由x>-1，且0，知，可得
由此，我们猜想，当，且n>1时，>nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1） 当时，由上述过程知，不等式成立.
（2） 假设当2)时，不等式成立，即>kx，
则
①当时，因为,所以,所以
②当时，,且.又因为,所以，可得
综合①②可得，当且时.
所以，当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式>nx.对任何大于1的正整数n都成立.
解法2：因为，所以所给数列是等比数列，公比为，于是
当时，,由，知可得；
当时，,,由x>-1，且0得，可得.
由此，我们猜想，当，且n>1时，>nx.
下面用数学归纳法证明这个猜想.
（1） 当时，由上述过程知，猜想成立.
（2） 假设当2)时，不等式>kx成立，即，
亦即，
由，得.又因为,所以.于是
所以，当时，猜想也成立.
由（1）（2）可知，不等式>nx对任何大于1的正整数n都成立.
师生活动：教师先引导学生思考下面的问题：
（1）数列的前项和怎么求？
（2）这里n的值是从多少开始的？当n=2，3，4时，与的大小关系怎样？
（3）用数学归纳法证明猜想时，第二步归纳递推中与的关系是怎样的？
在此基础上，学生独立思考，书写解答过程，并以小组为单位进行讨论，然后请部分学生展示其解答过程.
设计意图：例3将等比数列求和、不等式的性质和“先猜后证”的探究方法结合起来，意在让学生明白：数学归纳法除了能证明关于正整数的恒等式问题之外，还可以用于证明关于正整数的不等式问题.到此，运用数学归纳法不仅证明了数列中的等差数列、等比数列等特殊数列的通项公式，而且还可以解决一些具有递推关系的非特殊数列的通项公式求解问题，从而把数学归纳法真正融入数列的整体知识结构之中.
总结：用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时不等式成立，要注意不一定为1，若n>k(k为正整数)，则=k+1 ．
(2)证明不等式的第二步中，从n=k到n=k+1的推导过程中，一定要用到归纳假设，不运用归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设．
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小.第二种形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个n值开始都成立的结论，再用数学归纳法证明．
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得出n=k+1时也成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等．
例4 是否存在正整数m，使得对任意自然数n，都能被m整除 若存在，求出m的最大值，并证明你的结论；若不存在，说明理由.
解：
由此猜想m=36.
用数学归纳法证明如下:
①当n=1时，显然成立.
②假设当n=k时，f(k)能被36整除，即能被36整除，
当n=k+1时，
由于是2的倍数，故能被36整除，
从而当n=k+1时，也能被36整除.
由①②可知，对一切正整数n，都有能被36整除，m的最大值为36.
师生活动：学生读懂题意，尝试解答.
设计意图： 通过例题，熟悉数学归纳法的应用步骤，并强化数学运算的核心素养．
课堂练习
1.已知数列，的通项公式分别为，，其中试推断对哪些正整数成立，证明你的结论．
解：当时，当，，，，时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，．
下面利用数学归纳法进行证明．
当时，成立，
假设，当时，即成立，
当时，，
而
，
，
故，即，
即时不等式成立，
由知对任意，，不等式恒成立．
2.本小题分
已知数列满足，试用数学归纳法证明，并比较与的大小关系．
解：用数学归纳法证明，
当时，，
假设时，，那么时，若，
则，矛盾，故，
由可知，
所以，因此
3.本小题分
证明：能够被整除．
证明：当时，显然能够被整除，命题成立．
假设当时，命题成立，即能够被整除．
当时，
．
由假设知 能够被整除，而是偶数，故能够被整除，从而 即 能够被整除．
因此，当时命题成立．
由知，命题对一切正整数成立，即 能够被整除．
4.本小题分
一本旧教材上有一个关于正整数的恒等式？其中问号处由于年代久远，只能看出它是关于的二次三项式，具体的系数已经看不清楚了．请你猜想这个恒等式的形式，并用数学归纳法证明．
证明：假设存在符合题意的常数，，，
使得等式，
令，得
令，得
令，得
由解得，，，
于是，对于，，都有
成立．
下面用数学归纳法证明：对于一切正整数，式都成立．
当时，由上述知，成立 假设时，成立，
即，
那么当时，
，
由此可知，当时，式也成立．
综上所述，当，，时题设的等
式对于一切正整数都成立．
5.本小题分
已知命题：设，为非负实数，，为正实数，若，则
．
请将该命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题．
解：该命题推广的一般形式为：设，，，为非负实数，，，，为正实数，若，则
．
下面利用数学归纳法证明推广的命题：
当时，，有，故式成立；
设当，时，式成立，即若，，，为非负实数，，，，为正实数，且，则，
当，时，下面证明式成立．
先证明命题“若，则函数非正，当且仅当时，”成立，事实上，先考虑，对函数求导，有，
因为，所以，令，解得，令，解得， 于是利用导函数性质可知函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 即函数在处取得极小值，故对任意，恒大于，又时，显然成立，因此该命题为真．
由上命题可知，，成立 ．
于是原命题“设，为非负实数，，为正实数，若，则”成立，事实上若，中有一个为，则成立，
若，均不为，由得，在式中令，，得到，即为，
故有成立．
于是当时，若，，，为非负实数，，，，为正实数，，
则，即，于是
，
由归纳假设可知，成立
，
于是有，又，
利用式得
，
从而有成立．
故当时，式成立．
由可知，对一切正整数，所推广的命题成立．
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固数学归纳法的应用步骤，能够灵活运用.
（五）归纳总结
通过本节课的研究，大家学到了哪些知识和方法？

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