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第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.1 变化率问题
1.经历用平均速度“逼近”瞬时速度和用抛物线的割线“逼近”切线的过程，培养观察、归纳、类比、猜想、验证的能力.通过问题的探究，体会逼近、类比、以已知探究未知、从特殊到一般的数学思想方法；
2.理解瞬时速度的本质是平均速度的极限值、抛物线的切线斜率是割线斜率的极限值，初步体会极限的思想与内涵；
3.通过求跳水运动员在具体时刻的瞬时速度，体会求瞬时速度的一般方法；
4.会求抛物线在某点处的切线的斜率.
重点：瞬时速度和切线的斜率的概念.
难点：在求瞬时速度和切线的斜率的过程中体会极限思想.
（一）创设情境
情境一：请同学们欣赏一段视频，这是我国运动员全红婵在2024年巴黎奥运会10米台跳水夺冠的精彩瞬间，看后你的感受是什么？
师生活动：学生作出感性认知，如动作优美，水花小等回答后，教师继续阐述.
伟大的英国物理学家牛顿他思考的是运动员的运动变化规律之美！伟大的德国数学家莱布尼茨观察到的是身体划过的曲线之美！他们都是微积分的缔造者.
牛顿：运动之美 莱布尼茨：曲线之美
微积分是17世纪数学史上最重大的研究成果，它改变了物理和数学的发展，微积分分为微分学和积分学，本节课我们跟随两个科学家的脚步，探索微分中最重要的内容, 导数的探索之旅吧！
情境二：在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度(单位:)与起跳后的时间(单位:)存在函数关系.如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？
师生活动：教师提出问题，并引导学生用每段时间内的平均速度近似描述运动员的运动状态.
思考1：什么是平均速度？
答：平均速度是一个描述物体运动平均快慢程度和运动方向的矢量，它粗略地表示物体在一段时间内的运动情况.
思考2：你能利用计算工具计算在和这两个时间段的平均速度，并描述运动员的运动状态吗？
答：在这段时间里，；
在这段时间里，.
综上，当时，运动员以的平均速度向上运动；
当时，运动员以的平均速度向下运动.
归纳：一般地，在这段时间里，
思考3：计算运动员在这段时间里的平均速度，发现了什么？用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
答：运动员在这段时间里的平均速度为.显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态.因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态.
总结：用平均速度刻画运动员的运动状态稍显粗糙，为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念.
瞬时速度：把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.
设计意图：通过对跳水运动员的速度这一具体问题的分析，引导学生认识到平均速度描述运动状态的局限性，从而感受到引入瞬时速度这一新的概念来描述物体的运动状态的必要性.
（二）探究新知
任务一：探究瞬时速度与平均速度的关系
探究：瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在时的瞬时速度吗？
师生活动：教师提出问题，引导学生认识瞬时速度与平均速度的关系，从而确定探究的方向.
答：瞬时速度与平均速度的关系：
设运动员在时刻附近某一时间段内的平均速度是，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么将越来越趋近于运动员在时刻的瞬时速度.
为了求运动员在时的瞬时速度，我们在之后或之前，任意取一个时刻，是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为.当时，在之后；当时，在之前.当时，把运动员在时间段内近似看成做匀速直线运动，计算时间段内的平均速度，用平均速度近似表示运动员在时的瞬时速度.当时，在时间段内可作类似处理.
思考1：你能利用函数关系式计算运动员在和之间的平均速度吗？
答：当时，在时间段内，
当时，在时间段内，
为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格.
当时，在时间段内 当时，在时间段内
师生活动：教师让学生观察表格，并找几名同学说出通过观察发现的结论.教师点评后总结出结论：随着时间间隔不断地变小，平均速度越来越接近常数.
思考2：给出更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度的值.当无限趋近于时，平均速度 有什么变化趋势？
答：当无限趋近于，即无论从小于的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，平均速度都无限趋近于
事实上，由可以发现，当无限趋近于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.这与前面得到的结论一致.
数学中,我们把叫做“当无限趋近于时，的极限”，记为
.
从物理的角度看，当时间间隔无限趋近于时，平均速度就无限趋近于时的瞬时速度.
结论：运动员在时的瞬时速度.
设计意图：通过对运动员在时的瞬时速度的思考分析，让学生经历用平均速度“逼近”瞬时速度的过程，理解瞬时速度就是平均速度的极限，感受其中蕴含的极限思想.
思考3：(1)求运动员在 s时的瞬时速度；
(2)如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻的瞬时速度？
答：(1)当时，由可以发现，当无限趋近于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.所以运动员在 s时的瞬时速度为 .
(2)由可以发现，当无限趋近于时，也无限趋近于，所以无限趋近于.所以运动员在 s时的瞬时速度为 .
师生活动：教师引导学生总结求运动物体瞬时速度的一般步骤.
总结：设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为，则求物体在时的瞬时速度的步骤如下：
①写出时间改变量，位移改变量，
②求平均速度，，
③求瞬时速度，当时，，是常数.
设计意图：将求某一具体时刻瞬时速度的方法推广到求一般时刻的瞬时速度，引导学生总结求运动物体瞬时速度的步骤，使学生体会从特殊到一般地数学思想方法，并为概括瞬时变化率的概念作铺垫.
任务二 探究割线斜率与切线斜率
思考：我们以前学习的圆的切线是如何定义的？对于一般的曲线，如何定义它的切线？
师生活动：教师提出问题，并找一名学生回答.
答：圆的切线的定义：如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.
思考：对于我们学习的抛物线，能否像定义圆的切线那样定义抛物线的切线？即如果一条直线与一个抛物线只有一个公共点，那么这条直线与这个抛物线相切，这条直线叫做抛物线的切线.这样定义抛物线的切线对吗？
答：不对.因为和抛物线的对称轴平行的直线与抛物线都只有一个公共点，但这些直线与抛物线是相交的.
探究：如何定义抛物线在点处的切线？
类比研究瞬时速度的方法进行研究，在点的附近任取一点，考察抛物线的割线的变化情况.
师生活动：教师利用信息技术工具或手绘分解图，展示图中的动态变化趋势，引导学生观察图象并思考.
思考1：如图，当点沿着抛物线趋近于点时,割线有什么变化趋势
答：当点无限趋近于点时,割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为抛物线在点处的切线.
思考2：斜率是确定直线的一个要素.如何求抛物线在点处的切线的斜率呢？
答：从上述切线的定义可见，抛物线在点处的切线的斜率与割线的斜率有内在联系.记则点的坐标是.于是,割线的斜率.
可以用割线的斜率近似地表示切线的斜率，并且可以通过不断缩短横坐标间隔来提高近似表示的精确度，得到如下表格.
利用计算工具计算更多割线的斜率的值，可以发现，当无限趋近于时，即无论从小于 的一边，还是从大于的一边无限趋近于时，割线的斜率都无限趋近于.
事实上，由可以直接看出，当无限趋近于时，无限趋近于.
我们把上述的叫做“当无限趋近于时，的极限”，记为
.
从几何图形上看，当横坐标间隔无限变小时，点无限趋近于点，于是割线无限趋近于点处的切线.这时，割线的斜率无限趋近于点处的切线的斜率.因此，切线的斜率.
师生活动：根据上述分析，教师引导学生总结抛物线切、割线的斜率的意义及求法.
总结：(1)一般地，对于，记作，即：，表示过两点，的曲线割线的斜率，又称为函数在区间上的平均变化率；
(2)表示曲线在点处的切线的斜率，又称为函数在处的瞬时变化率；
(3)对变化率和极限的理解：
(4)求曲线在点处切线斜率的一般步骤：
①求变化量：；
②计算比值：；
③取极限，得切线斜率：.
设计意图：通过从运动的角度和几何角度得到了平均速度、瞬时速度、割线斜率和切线斜率四个概念，从中抽象出了函数的平均变化率、瞬时变化率的概念，培养了学生运用运动变化的观点和逼近的极限思想的核心素养，同时也体现了数形结合、化归与转化的数学思想.
（三）应用举例
例1：已知函数的图象上一点及邻近一点求：
割线的斜率；
函数的图象上点处切线的斜率及切线方程．
分析：根据平均变化率的定义，，化简整理即可；
将中求出的平均变化率中的，即可得到函数的图像图象上处切线的斜率，再利用直线的点斜式方程，即可求出切线的方程.
解：(1)
所以，，
从而割线的斜率为．
(2)因为，从而在函数的图象上处切线的斜率为．
所以由直线的点斜式方程，可得抛物线在切点处的切线方程为，即.
设计意图：通过例题，巩固直线方程和抛物线在某点处的切线的斜率及方程求法，为后续学习导数的几何意义作准备.
（四）课堂练习
1.午饭时间，同学从教室到食堂的路程与时间的函数关系如图，记时刻的瞬时速度为，区间上的平均速度分别为，则下列判断正确的有( )
A.
B.
C. 对于，存在，使得
D. 整个过程小明行走的速度一直在加快
【答案】AC
解：由题意可知；，，，
由图像图象可知，，即，因此，，
所以，因此，此时，故 A正确；
由，故，故 B不正确；
由图像图象可知，直线与曲线的交点为，故存在，使得，即当时，，故 C正确；
时刻的瞬时速度为判断平均速度的快慢，可以看整个曲线在各点处的切线方程的斜率，
由图象可知，当时，切线方程的斜率最大，
故而在此时，速度最快，故D不正确．
故选：．
2.一物体的运动方程为，且在时的瞬时速率为，则 ．
【答案】
解：因为，
所以，
令，可得．
故答案为：
3.已知函数．
求当，且时，函数值的增量和平均变化率；
求当，且时，函数值的增量和平均变化率；
若设，分析中的平均变化率的几何意义．
解：
当，且时，，
所以平均变化率．
当，且时，
由得，
所以平均变化率．
在中，，它表示曲线上两点与所在直线的斜率；
在中，，它表示曲线上两点与所在直线的斜率．
4.一个作直线运动的物体，其位移单位：与时间单位：的关系是求：
此物体在时间段内的平均速度
此物体在时间段内的平均速度
此物体在时的瞬时速度．
解：，根据平均速度的定义，可得；
同理，根据平均速度的定义，
可得
在内，；
由第题得，当时，，
即该物体在时间时的瞬时速度．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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