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第五章 一元函数的导数及其应用
5.1.2导数的概念及其几何意义
1.会从数值逼近、几何直观感知、解析式抽象三个角度认识导数的含义，会用导数的定义求简单函数在某点处的导数，能归纳出求导数的基本步骤；
2.通过函数图象直观理解导数的几何意义，经历导数的几何意义的抽象概括过程，体会数形结合、以直代曲、极限思想，会用导数的几何意义求曲线在某点处的切线方程；
3.通过问题的探究，培养观察、分析、比较和归纳的能力，体会逼近、类比、用已知探究未知、由特殊到一般的数学思想.
重点：导数的概念，导数的几何意义及其应用.
难点：导数的概念，导数的几何解释及曲线的切线概念.
（一）复习导入
师生活动：师生共同回顾总结，也可先请学生回答，后教师点评总结.
复习回顾：上节课我们研究了两类问题：一类来自物理学，涉及平均速度和瞬时速度；另一类问题来自几何学，涉及割线斜率和切线斜率.具体如下：
情境 涉及问题 数学表达
情境1：跳水问题 运动员相对于水面的高度与起跳后的时间存在函数关系，时的瞬时速度. 平均速度 瞬时速度
情境2：抛物线的切线问题 求抛物线在点处切线的斜率. 割线斜率 切线斜率
虽然上面的问题涉及不同的领域，但从数学的角度思考，它们在过程与方法及结果的形式上存在如下共性：
过程与方法 结果的形式
1.用运动变化的观点研究问题； 2.应用了极限的思想； 3.用“平均变化率”逼近“瞬时变化率”. 1.结果都是一个确定的值； 2.具有一样的表现形式.
本节课我们将用上述思想方法来研究更具有一般性的问题.
设计意图：通过回顾上一节学习的内容及思想方法，培养学生的观察、概括能力，让学生体会微积分的重要思想------用运动变化的观点研究问题，体会极限思想，感受用“平均变化率”趋近“瞬时变化率”的研究方法，关注结果的一致性，都是一个确定的数值，为本节课将要学习的内容和方法作铺垫.
（二）探究新知
任务一：函数在处的导数的概念
探究：一般地,对于函数，你能用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法来研究其在某点(如)处的瞬时变化率吗？
师生活动：教师提出问题，引导学生思考.
思考1：类比前面探究问题的方法，为了研究函数在处的瞬时变化率，可以先研究哪个范围内函数值的平均变化率？
答：选取自变量的一个变化量，研究自变量从变化到这个过程中函数值的平均变化率.
思考2：函数的自变量从变化到这个过程中，函数值的平均变化率如何表示？在处的瞬时变化率如何表示？
答：平均变化率：；
瞬时变化率：.
思考3：对于任意函数，当无限趋近于时，平均变化率是否一定会无限趋近于一个确定的值呢？
答：不一定.如函数在处的平均变化率并不无限趋近于一个确定的值.
师生活动：教师引导学生研究函数在附近的变化情况，学生思考、讨论、交流.然后师生共同总结，形成导数的概念.
总结：
(1)对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到.这时，的变化量为，的变化量为.我们把比值，即叫做函数从变化到的平均变化率.
(2)如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数(也称为瞬时变化率)，记作或，即 .
设计意图：利用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法，结合具体案例的共性归纳、概括出导数的概念，发展学生的数学抽象素养.通过反例，让学生理解并非任意函数在定义域内任意一点处都可导，加深学生对导数概念的理解.
做一做：设，你能利用导数的定义求出函数在处的导数吗？
师生活动：学生尝试独自完成解答，教师出示计算过程，强调导数计算的步骤，提醒学生体会导数的概念.
解：.
思考1：对于函数，你能求吗？
答：.
思考2：你能总结出求函数在处的导数的步骤吗？
师生活动：学生尝试，后师生共同总结.
总结：求函数在处的导数的一般步骤：
第一步：写出函数从变化到的平均变化率并化简；
第二步：求，若存在，则导数 .
设计意图：通过问题的解答，引导学生经历并总结用定义法求函数在处的导数的步骤，使学生体会特殊点处的导数与一般点处的导数的异同点，为后续学习导函数作准备.
做一做：将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，已知在第时，原油的温度单位：为．计算第与第时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．
师生活动：教师示范计算第时原油温度的瞬时变化率，在此基础上，由学生自行求出第时原油温度的瞬时变化率.
解：在第时原油温度的瞬时变化率就是.
根据导数的定义，
所以， .
同理，.
即在第与第时原油温度的瞬时变化率分别为与．
思考：你能说出第与第时原油温度的瞬时变化率的意义吗？
答：在第与第时，原油温度的瞬时变化率分别为与．
说明在第附近，原油温度大约以的速率下降；
在第附近，原油温度大约以的速率上升．
总结：一般地，反映了原油温度在时刻附近的变化情况.
设计意图：通过求解实际问题中的瞬时变化率，使学生理解导数的内涵和意义，进一步熟悉根据导数的定义求函数在某点处的导数的过程和步骤.
任务二 导数的几何意义
探究：导数表示函数在处的瞬时变化率，反映了函数在附近的变化情况.那么导数的几何意义是什么？
师生活动：教师出示图象，并提出问题，学生观察后回答.
思考1：观察函数的图象(如图)，它的平均变化率表示什么？
答：平均变化率表示割线的斜率.
总结：一般曲线在点处切线的定义
如图，在曲线上任取一点，如果当点沿着曲线无限趋近于点时，割线无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线称为曲线在点处的切线.
思考2：曲线上两点，，当点沿着曲线无限趋近于点时，即当时，割线无限趋近于点处的切线，那么当时，割线的斜率无限趋近于什么？它与导数又有什么关系呢？
答：当时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率.
，，.
思考3：瞬时变化率表示什么？
答：瞬时变化率表示切线的斜率.
思考4：你能总结导数的几何意义吗？
答：函数在处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率，即，这就是导数的几何意义.
设计意图：通过从平均变化率的几何意义入手，利用图形直观探索导数的几何意义，让学生在获得直观感知的基础上，通过合作探索，再次亲身经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，研究一般曲线在某点处的切线的定义，以及该点处的切线斜率与导数之间的关系，抽象出导数的几何意义.
任务三 探究“以直代曲”的数学思想
师生活动：教师用几何画板演示“割线逼近切线”的过程，学生观察、思考.
探究1：观察上图，点处哪条直线最接近点附近的曲线？若将图象放大，你能否发现点处切线与曲线的位置关系？
答：观察上图：可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线.如果将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线.因此,在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替.
设计意图：通过动态演示，让学生直观感受和体会微积分中“逼近”、“以直代曲”的重要数学思想..
探究2：如图是跳水运动中某运动员的重心相对于水面高度随时间变化的函数的图象.根据图象，请描述、比较曲线在，附近的变化情况.
思考1：如何描述在，附近的变化情况？
师生活动：教师提出问题，学生思考、交流、讨论.
答：可以近似地由曲线在相应三点处的切线变化情况来描述.
师生活动：教师要求学生动手画出曲线在，处的切线，师生共同研究，得出结论后教师展示完整解答过程.
解：我们用曲线在，，处的切线斜率，刻画曲线在上述三个时刻附近的变化情况．
当时，曲线在处的切线平行于轴，这时，在附近曲线比较平坦，几乎没有升降．
当时，曲线在处的切线的斜率这时，在附近曲线下降，即函数在附近单调递减．
当时，曲线在处的切线的斜率这时，在附近曲线下降，即函数在附近也单调递减．
从图中可以看出，直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在附近比在附近下降得缓慢．
思考2：曲线在处的切线的斜率，在处的切线的斜率，在这两点处，曲线都是下降的，但下降的程度不一样.你能通过比较与的大小，说明切线与切线的倾斜程度吗？
答：导数的绝对值越大, 切线的倾斜程度越大.
总结：根据“以直代曲”的数学思想，在局部范围内，可以用切线的上升、下降近似代替曲线的上升、下降，而切线的上升、下降可以用斜率来反映，从而可以用导数的几何意义即切线的斜率来描述曲线在某点附近的变化情况.
设计意图：通过学生独立思考，实际参与经历利用导数和导数的几何意义来研究函数在某点附近的变化情况的过程，感受数形结合的应用，体会“以直代曲”的重要思想方法.
任务四 导函数的定义
思考1：前面我们经历了求函数在处导数的过程，想一想，当变化时，所求得的导数是否满足函数的定义？
师生活动：教师引导学生回忆以前学习的函数的概念，并分析求函数在处导数的过程，进而抽象出导函数的定义.
答：从求函数在处导数的过程可以看到，当时，是一个唯一确定的数.这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数(简称导数).的导函数有时也记作，即.
思考2：导数与导函数有什么区别与联系？
答：区别：是函数的导函数，简称导数，是对一个区间而言的，它是一个确定的函数，依赖于函数本身，而与，无关；表示的是函数在处的导数，是对一个点而言的，它是一个确定的数，与给定的函数及的位置有关，而与无关.
联系：函数在处的导数是导函数在处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，可以先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值.
设计意图：通过求导的过程，结合函数的定义，给出导函数的概念.对导数与导函数进行辨析，加深学生对导数与导函数概念的理解，培养学生的数学抽象与逻辑推理的核心素养.
（三）应用举例
例1：一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度单位：为，求汽车在第与第时的瞬时加速度，并说明它们的意义．
分析：根据导数的概念可得，化简，分别代入或，然后根据导数的几何意义，瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率因此，在第与第时，汽车的瞬时加速度分别为，．
解：在第和第时，汽车的瞬时加速度就是和根据导数的定义，
，
所以．
同理可得．
在第与第时，汽车的瞬时加速度分别是与说明在第附近，汽车的速度每秒大约增加；在第附近，汽车的速度每秒大约减少．
例2：下图是人体血管中药物浓度单位：随时间单位：变化的函数图象根据图象，估计，，，时，血管中药物浓度的瞬时变化率精确到．
师生活动：教师出示例题，学生小组合作，利用网格估计，，，时，血管中药物浓度的瞬时变化率.
解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度在此时刻的导数，
从图象上看，它表示曲线在此点处的切线的斜率．
如上图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值．
作处的切线，并在切线上取两点，如，，
则该切线的斜率，
所以．
下表给出了药物浓度的瞬时变化率的估计值．
药物浓度的瞬时变化率
设计意图：通过例题的学习，使学生进一步理解导数的内涵与意义，学生根据导数的定义求函数在某点处的导数的过程及利用导数解决实际问题.
（四）课堂练习
1.为了响应国家节能减排的号召，甲乙两个工厂进行了污水排放治理，已知某月两厂污水的排放量与时间的关系如图所示，下列说法正确的是( )
A. 该月内，甲乙两厂中甲厂污水排放量减少得更多
B. 该月内，甲厂污水排放量减少的速度是先慢后快
C. 在接近时，甲乙两厂中乙厂污水排放量减少得更快
D. 该月内存在某一时刻，甲乙两厂污水排放量减少的速度相同
【答案】D
解：选项A，设，
设甲工厂的污水排放量减少为，乙工厂的污水排放量减少为，
结合图象可知：，
所以该月内乙工厂的污水排放量减少得更多，故A错误；
选项B，作出如图所示表示甲厂曲线的条切线 ，
根据三条切线的倾斜程度可知，
该月内，甲厂污水排放量减少的速度并非先慢后快，
从图象的变化也可以看出，甲厂污水排放量减少的速度先快再慢后快，故B错误；

选项C，设为接近的时刻且，
从时刻到时刻，污水排放量的平均变化率，
由导数的定义与几何意义可知，
在接近时，污水排放量减少快慢，
可以用在处切线斜率的大小比较近似代替．
设甲工厂在处切线的斜率为，乙工厂在处切线的斜率为，
结合图象可知，
所以在接近时，甲工厂的污水排放量减少得更快，故 C错误；

选项D，如图，利用导数的几何意义，存在时刻，两曲线切线的斜率相等，
即甲乙两厂污水排放量的瞬时变化率相同，
所以该月内存在某一时刻，甲乙两厂污水排放量减少的速度相同，故D正确．
故选：．

2.设是可导函数，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：根据导数的定义，
．
故选：．
3.已知函数的导函数为，且，则( )
A. B. C. D.
【答案】C
解：由题意可得：．
故选：．
4.设函数在附近有定义，且，，，为常数，则( )
A. B. C. D.
【答案】D
解：由题意可得．
故选D．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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