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专项九：数学广角-集合（考点清单+易错易混点+专练）
【容斥原理（优化）知识点归纳】
在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题．
一般方法：
在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考．
容斥原理1：两量重叠问题
A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数
容斥原理2：三量重叠问题
A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
1. 集合概念的理解
易错点：学生可能难以理解什么是集合以及什么是个体元素。
对策：使用学生熟悉的例子，比如教室里的同学、文具等，来解释集合和元素的概念。
2. 表示方法的混乱
易错点：学生可能会混淆如何用列举法表示集合，有时会遗漏大括号{}，或者不清楚什么时候应该使用列举法。
对策：通过简单的实例练习，如列出喜欢某种水果的同学的名字，让学生熟悉正确的表示方式。
3. 集合间关系的理解
易错点：交集和并集的概念对于小学生来说可能是新的，他们可能会分不清哪些是共同拥有的（交集），哪些是一起考虑的所有项（并集）。
对策：利用韦恩图进行直观教学，帮助学生看到两个集合之间的重叠部分（交集）和全部覆盖的部分（并集）。可以使用颜色不同的圆形贴纸代表不同集合，帮助学生视觉化这些概念。
4. 容斥原理的应用
易错点：在计算两个集合合并后的总人数时，学生可能会忘记减去重复计算的人数（即交集部分）。
对策：给出具体的题目，例如班上喜欢足球的学生和喜欢篮球的学生有多少人喜欢至少一种球类运动。先画出韦恩图，再逐步引导学生计算。
一、选择题
1．三年级有15人参加合唱队，12人参加书法班，两样都参加的有7人，三年级参加合唱队和书法班的学生一共有（ ）人。www.21-cn-jy.com
A．20 B．27 C．34
2．三（1）班有45人，都参加了兴趣小组。参加书法兴趣小组的有34人，参加美术兴趣小组的有27人，两个兴趣小组都参加的有（ ）人。
A．11 B．61 C．16
3．同学们去果园摘水果的情况如图，（ ）的说法是正确的。
A．摘火龙果的有32人 B．一共有112人摘水果 C．只摘蜜橘的有60人 D．两种水果都摘的有20人
4．秋季运动会上，参加短跑的有30人，参加长跑的有35人，两项都参加的有19人，一共有（　　）人参加比赛。
A．84 B．46 C．65
5．下面是三（2）班参加跑步和乒乓球比赛的学生名单。
跑步 杨慧 李丽 陈星 马婷婷 周斌 刘桢
乒乓球 杨慧 陈星 马婷婷 杨晓军
如果用集合图来表示三（2）班学生参赛的情况，（ ）选项正确。
A． B．
C． D．以上都不是
6．三（1）班有15人参加舞蹈队，25人参加轮滑队，两队都参加的有10人，全班每人至少参加一项，三（1）班有（ ）人。21世纪教育网版权所有
A．20 B．30 C．40
二、填空题
7．三年级参加航模小组的有12人，参加书法小组的有19人，两组都参加的有8人。一共有( )人参加这两个课外小组。21·世纪*教育网
8．期中考试，三一班英语得A和数学得A的一共有34人，其中英语27人，数学12人，那么既获得数学得A又获得英语得A的有( )人。2·1·c·n·j·y
9．如图，将两条彩带连成一条，其中一条彩带长18分米，另一条长8分米，接头处用去2分米，连接后的彩带长( )分米。
10．明明排队去做操，从前数明明排第8，从后面数起也是排第8，这一排一共有( )个小朋友。
11．如图，五个圆相交后被分成了九个区域，现在两个区域里已分别填上数字15、16，将2，3，4，5，7，8，9这七个数字填在合适的位置，使每个圆内的数字和是20。
12．三（1）班参加音乐、美术考查，每人至少得了一个优，音乐得优的有32人，美术得优的有27人，音乐美术都得优的有21人。只有音乐得优的有( )人，这个班一共( )人。
13．三（1）班有28人参加了歌舞兴趣小组。会唱歌的有18人，会跳舞的有20人，既会唱歌又会跳舞的有( )人。
14．将两块长度分别为90厘米和80厘米的木板排成一条线后，钉在一起，中间重叠部分长30厘米，新钉成的木板长( )厘米。
15．看图回答问题。
一共调查了( )人；喜欢篮球的有( )人；只喜欢足球的有( )人；两种球都喜欢的有( )人。
16．三（1）班参加国画小组的同学有：王力、刘明、张海、李晓、赵玉、孙涛、周炎、吴敏和郑艳，参加素描小组的同学有：王力、刘明、张海、黄永、陈晶和陈艳，参加这两个小组的一共有( )人。
17．三（1）班进行语文、数学测试，得优的共19人。其中语文得优的有13人，数学得优的有12人。根据条件在下面图中的横线上填数。
18．“司机之家”微信群里，有大货资格的司机有16人，有大客资格的司机有13人，两种资格都有的有5人，这个群里有大货或大客资格的司机共有( )人。
三、判断题
19．三(2)班的同学都报名参加了兴趣小组，其中合唱小组有8人，绘画小组有13人，舞蹈小组有7人，三(2)班的总人数一定是28人． ( )
20．长方形、正方形、平行四边形都有四个角。( )
21．三（1）班有36名同学，会下围棋的有16人，会下军棋的有14人，两种棋都不会的有10人，两种棋都会的有4人。( )
22．同学们排成一队按顺序报数，从前面开始小丽报25，从后面开始小丽报8，小丽所在的队一共有33人。( )
23．张爷爷的菜园里种了芹菜、豆角、黄瓜、西红柿、西兰花5种蔬菜，李伯伯的菜园里种了黄瓜、西红柿、豆角、辣椒、萝卜5种蔬菜。张爷爷和李伯伯一共种了10种蔬菜。( )
四、解答题
24．学校组织各种社团活动，参加武术社团的有28人，参加合唱社团的有19人，其中两种社团活动都参加的有9人，参加这两种社团活动的有多少人？21教育网
25．调查了100位同学，其中有52人会弹铜琴，有36人会滑旱冰，两样都不会的有31人，两样都会的有几人？
26．三（2）班的同学们到游乐园玩，每人至少玩一项，坐碰碰车的有18人，玩旋转木马的有22人，两样都玩的有6人，去游乐园的同学有多少人？【来源：21·世纪·教育·网】
27．三（2 ）班有40名同学，会下象棋的有25名同学，会下围棋的有13名，两种棋都不会的有8名。那么只会下象棋的同学有多少名？
28．学校组织元旦晚会，参加舞蹈演出的有27人，参加合唱演出的有35人，其中有9人既参加舞蹈演出又参加合唱演出。参加舞蹈和合唱演出的一共有多少人？
29．五（2）班有42人，会打篮球的有21人，会游泳的有17人，两种运动都不会的有10人，两种运动都会的有多少人？21*cnjy*com
30．明明喝了一瓶可乐的，萍萍也拿了同样的一瓶可乐，喝了一些后还剩．谁喝得多？多喝了一瓶可乐的几分之几？
31．小华和小林在比赛写描写春天的成语。小华写出了12 个，小林写出了20个，小华写成语中有一部分小林也写出来了。统计发现他俩一共写了24个成语。你能算出小华和小林写的成语相同的有多少个吗？21*cnjy*com
参考答案：
1．A
【分析】要求参加合唱队和书法班的学生总人数，用参加合唱队的人数加上参加书法班的人数，再减去两样都参加的人数即可。www-2-1-cnjy-com
【详解】15＋12－7
＝27－7
＝20（人）
故答案为：A
【点睛】在解决重叠问题时，要用各部分的总合减去重叠部分求实际总量。
2．C
【分析】根据“参加书法兴趣小组的有34人，参加美术兴趣小组的有27人。”可得两者的总人数：34＋27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61－45＝16（人），据此解答即可。
【详解】34＋27－45
＝61－45
＝16（人）
两种兴趣小组都参加的有16人。
故答案为：C
【点睛】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A＋B－总数量（两种情况）。
3．D
【分析】此题主要考查了集合重叠问题，观察图可知，只摘火龙果的有32人，只摘蜜橘的有40人，两种水果都摘的有20人，要求总人数，用只摘火龙果的人数＋只摘蜜橘的人数＋两种水果都摘的人数＝总人数，据此解答。【版权所有：21教育】
【详解】选项A， 摘火龙果的有32＋20＝52人，原题说法错误；
选项B，一共有32＋20＋40＝92人，原题说法错误；
选项C，观察图可知，只摘蜜橘的有40人，原题说法错误；
选项D，观察图可知，两种水果都摘的有20人，原题说法正确。
故答案为：D
4．B
【分析】由题意，用30＋35求出至少参加一项比赛的总人数，再减去两项都参加的人数就是参加比赛的总人数；据此解答。
【详解】30＋35－19
＝65－19
＝46（人）
故答案为：B
【点睛】本题主要考查集合问题，解答此题注意（30＋35）把两项都参加的人数多算了一次，所以要减去两项都参加的人数。
5．B
【分析】观察表格可得：参加跑步的有杨慧、李丽、陈星、马婷婷、周斌、刘桢，参加乒乓球的有杨慧、陈星、马婷婷、杨晓军，而且杨慧、陈星、马婷婷既参加了跑步，又参加了乒乓球，因此用集合图表示三（2）班学生参赛的情况时，先将重复的学生姓名找出来填在中间重合的部分，再将只参加跑步和只参加乒乓球的学生姓名分别对应填在集合图的左、右两边；据此解答。
【详解】据分析可知：
杨慧、陈星、马婷婷既参加了跑步，又参加了乒乓球，可知有重叠部分，如果用集合图来表示三（2）班学生参赛的情况，B选项正确。【出处：21教育名师】
故答案为：B
6．B
【分析】用参加舞蹈队的人数加上参加轮滑队的人数，再减去两队都参加的人数，求出三（1）班同学总人数。
【详解】15＋25－10＝30（人）
则三（1）班有30人。
故答案为：B
【点睛】本题考查集合问题，各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。
7．23
【分析】用参加航模小组的人数加上参加书法小组的人数，减去两组都参加的人数，求出参加这两个课外小组的总人数。
【详解】12＋19－8＝23（人）
一共有23人参加这两个课外小组。
【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去重叠部分，求出实际总量。
8．5
【分析】用英语得A的人数加数学得A的人数后再减去获得英语和数学得A的总人数即可。
【详解】27＋12＝39（人）
39－34＝5（人）
【点睛】熟练掌握集合问题的计算方法是解答此题的关键。
9．24
【分析】用两条彩带的长度和减去接头处用去彩带长度，求出连接后的彩带长度。
【详解】18＋8－2＝24（分米）
连接后的彩带长24分米。
10．15
【分析】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。因此用8加8后，再减1 ，即可计算出这一排的总人数，依此解答。
【详解】8＋8－1
＝16－1
＝15（人）
这一排一共有15个小朋友。
【点睛】熟练掌握集合问题的计算方法，是解答此题的关键。
11．
【分析】略
【详解】略
12． 11 38
【分析】用音乐得优的32人减去音乐美术都得优的21人，就是只有音乐得优的人数；用美术得优的27人减去音乐美术都得优的21人，就是只有美术得优的人数；全班人数＝只有音乐得优的人数＋只有美术得优的人数＋音乐美术都得优的人数。
【详解】32－21＝11（人）
27－21＝6（人）
11＋6＋21
＝17＋21
＝38（人）
只有音乐得优的有11人，这个班一共38人。
【点睛】本题考查了集合问题，关键是理解21人是音乐和美术都得优的学生的重叠部分。
13．10
【分析】根据题意可知，会唱歌的人数加会跳舞的人数减去三（1）班参加歌舞兴趣小组的人数，即等于既会唱歌又会跳舞的人数，据此即可解答。
【详解】18＋20－28
＝38－28
＝10（人）
既会唱歌又会跳舞的有10人。
14．140
【分析】两块木板排成1条线后，因为中间重叠部分是30厘米，要求这块钉在一起的木板长度，就要再减去30厘米。依此解答问题即可。
【详解】90＋80－30
＝170－30
＝140（厘米）
【点睛】如果求这块钉在一起的木板长度，就要用“两块木板各自的长度和－重叠部分”计算。
15． 39 24 15 8
【分析】此图分为三部分，分别是16人，8人，15人。16人是只喜欢篮球的人数，8人是既喜欢篮球又喜欢足球的人数，15人是只喜欢足球的人数。
把3部分人数相加就是一共调查的人数；喜欢篮球的包括两部分：只喜欢篮球的人和既喜欢篮球又喜欢足球的人。
【详解】16＋8＋15
＝24＋15
＝39（人）
16＋8＝24（人）
一共调查了（39）人；喜欢篮球的有（24）人；只喜欢足球的有（15）人；两种球都喜欢的有（8）人。
【点睛】弄清图中三部分的含义是解答此题的关键。
16．12
【分析】根据题意，数一数可知，三（1）班参加国画小组的有9人；参加素描小组的有6人，既参加国画小组又参加素描小组的有3人；用参加国画小组的人数加上参加素描小组的人数，再减去既参加国画小组又参加素描小组的3人，就是参加这两个小组的总人数。
【详解】9＋6－3＝12（人）
所以，参加这两个小组的一共有12人。
【点睛】解答本题的依据为容斥原理之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数＋属于B类元素个数－A类B类元素个数总和。
17．见详解
【分析】此图分为三部分：左边表示只语文得优的人数，中间表示既语文得优又数学得优的人数，右边表示只数学得优的人数。
语文得优的人数加数学得优的人数减语文、数学测试得优的一共人数就是既语文得优又数学得优的人数。
【详解】13＋12－19
＝25－19
＝6（人）
13－6＝7（人）
12－6＝6（人）
【点睛】弄清图中三部分的含义是解答此题的关键。
18．24
【分析】根据题意可知，用有大货资格的司机人数加上有大客资格的司机人数，再减去两种资格都有的人数，即可求出有大货或大客资格的司机总人数。
【详解】16＋13－5
＝29－5
＝24（人）
则这个群里有大货或大客资格的司机共有24人。
【点睛】在解决重叠问题时，用各部分的总和减去重叠部分，即可求出实际总量。
19．×
【解析】略
20．√
【分析】由不在同一直线上的四条线段依次首尾相接围成的封闭的平面图形叫四边形。它有四条线段，所以有四条边，四条边首尾相接，也组成了四个角；据此解答即可。
【详解】根据四边形的定义可知，长方形、正方形、平行四边形均有四个角，四条边，所以判断正确。
【点睛】熟练掌握四边形的特点是解答本题的关键。
21．√
【分析】先用总人数减去两种棋都不会的人数即为会一种及以上的人数，再用会下围棋的人数加上会下军棋的人数，最后减去会一种及以上的人数即为两种棋都会的人数，据此解答即可。21教育名师原创作品
【详解】36－10＝26（人）
16＋14－26
＝30－26
＝4（人）
两种棋都会的有4人。原题说法正确。
故答案为：√
22．×
【分析】由题意可知，小丽是从前面数是第25人，从后面数是第8人，而两者相加，小丽正好被多加了一次，应减掉1，所以小丽所在的队一共有：25＋8－1＝32（人）。
【详解】25＋8－1
＝33－1
＝32（人）
所以原题的说法错误。
故答案为：×
【点睛】这是一个简单的排队问题，关键是要分清前后的人数包括还是不包括作为参照的那个人。
23．×
【分析】张爷爷的菜园里种了5种蔬菜，李伯伯的菜园里种了5种蔬菜，其中重复的有豆角、黄瓜、西红柿3种，先用5加5求出两个人种的种类数的和，然后再减去重复计算的种类数3即可。21cnjy.com
【详解】5＋5－3
＝10－3
＝7（种）
张爷爷和李伯伯一共种了7种蔬菜，所以题目说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
24．38人
【分析】先求出参加武术社团和合唱社团的人数，再减去两种社团活动都参加的人数（即 重复计算的人数），就是参加这两种社团活动的人数。2-1-c-n-j-y
【详解】
（人）
答：参加这两种社团活动的有38人。
【点睛】计算这种求总数的问题时，可以借助画图的方法分析出总数有哪几部分组成，再进行计算。
25．19人
【解析】略
26．34人
【分析】根据题意可知，坐碰碰车的人数＋玩旋转木马的人数－两样都玩的人数＝去，游乐园的总人数，依此列式并计算。【来源：21cnj*y.co*m】
【详解】18＋22－6
＝40－6
＝34（人）
答：去游乐园的同学有34人。
【点睛】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。
27．19名
【分析】两种棋都不会的有8名，那么会下象棋或围棋的有32人，而会下象棋的25人加上会下围棋的13人，结果是38人，多出来的6人是既会下象棋又会下围棋的人，从会下象棋的25人中减去既会下象棋又会下围棋的人，得到只会下象棋的人数。
【详解】（名）
（名）
（名）
答：只会下象棋的同学有19名。
【点睛】本题考查的是重叠问题，可以先画出韦恩图，表示出每部分的数量，然后再求解问题。
28．53人
【分析】将参加舞蹈演出的人数加上参加合唱演出的人数，再减去既参加舞蹈演出又参加合唱演出的人数，得到参加舞蹈和合唱演出一共的人数；据此解答。
【详解】27＋35－9＝53（人）
答：参加舞蹈和合唱演出的一共有53人。
【点睛】本题考查的是“集合问题”的计算方法。
29．6人
【分析】班级的总人数－两种运动都不会的人数＝至少会打篮球和游泳其中一种运动的人数；
会打篮球的人数＋会游泳的人数－至少会其中一种运动的人数＝两种运动都会的人数，依此列式并计算。
【详解】42－10＝32（人）
21＋17－32
＝38－32
＝6（人）
答：两种运动都会的有6人。
【点睛】熟练掌握集合问题的计算是解答此题的关键。
30．萍萍，
【详解】
答：萍萍喝得多，多喝了一瓶可乐的．
31．8个
【分析】用小华写出成语个数加上小林写出成语个数，再减去他俩一共写出成语个数，求出两人写出相同成语个数。21·cn·jy·com
【详解】12＋20－24
＝32－24
＝8（个）
答：小华和小林写的成语相同的有8个。
【点睛】本题考查集合问题，用各部分的总和减去实际总量，即可求出重叠部分。
考点清单
易错易混点
专项练习
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