资源简介

高中数学选修性必修二第四章4.3.1《等比数列的概念》教学设计 授课教师：廖心阳
4.3.1等比数列的概念
内容分析
本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，主要学习等比数列的定义、等比中项和等比数列通项公式。
数列是高中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式、概率与统计）有着密切的联系，又是今后学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要地位。其中，等比数列的定义和通项公式是数列模块的高频考点，因此该内容是本章的教学重点。
在学生已经掌握了等差数列的概念和性质的基础上，教师采用类比的方法，引导学生类比等差数列的研究过程，自主探究等比数列，让学生经历等比数列定义的形成和通项公式的推导过程，体会类比推理的数学思想，体会从特殊到一般的研究方法。发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算和数学建模的核心素养，对培养学生观察分析、归纳总结、类比推理能力具有重要意义，为培养学生思维的灵活性和创造性打下坚实的基础。
教学重点：等比数列的定义和通项公式。
教学难点：等比数列通项公式的推导、整体代换思想。
教学时数：1学时。
学情分析
学生已经掌握了等差数列的定义、等差中项和通项公式，教师采用类比的方法引导学生自主探究等比数列的定义、等差中项和通项公式，学生接受度较高。但是这节课对学生的逻辑思维能力和数学运算能力要求较高，而我班学生在该方面较为薄弱。因此，本节课采用低起点，由浅入深，由易到难逐步推进，热情地启发学生，积极互动，让学生在欢快的气氛中取得运用知识的能力。同时，为了更好地适应新高考，本节内容采用“三环四自”教学模式，并使用AI赋能实施数据驱动精准教学。
教学方法：“三环四自”教学模式、类比学习法。
学习目标
教学目标 核心素养
类比等差数列，理解等比数列和等比中项的定义； 掌握等比数列通项公式，能运用公式解决相关问题； 体会类比、转化、整体和方程思想，培养学生抽象思维和应用能力，以及大胆猜测、敢于探索的精神品质； 理论联系实际，通过对社会热点问题的数学解释，培养学生“强国有我”的远大志向。 A. 数学抽象：等比数列及中项定义； B. 逻辑推理：等比数列通项公式推导； C. 数学运算：等比数列公式的运用； D. 数学建模：等比数列的函数特征。
教学准备
教学准备：多媒体PPT，“细菌分裂”小视频，H5动画，希沃白板，畅言智慧课堂，智学网，翻页笔。
课前任务：请完成第1-4题并上传智学网。
1、回忆等差数列的定义、等差中项和通项公式，完成学案中相应填空。
回忆指数幂运算公式，并完成相应题目（n、m∈R）。
anam gy ugiu； gy ugiu.
方程42x-1=16的解是( ).
A. B. C.1 D.2
(3) 若2x7，2y6,则4x-y( ).
A. B. C. D.
3、找规律并完成填空，猜测第n项(n∈N )的值。
(1) 2，4，8，16，32，11 1； (2) 16，8，4，2，1，1 11 ；
(3) 9，3，1，，，11 1； (4) 1，2，4，8，16，11 1.
4、探究思考
假设在营养和生存空间没有限制的理想条件下，细菌每20分钟通过分裂繁殖一次（每个细菌都分裂成两个），探究一个细菌经过一天时间分裂产生的细菌个数。
教学过程
环节 教学内容 教师/学生活动 设计意图
创设情境 创设情境 以小视频“细菌分裂”引入。假设在营养和生存空间没有限制的理想条件下，细菌每20分钟通过分裂繁殖一次（每个细菌都分裂成两个），探究一个细菌在一定时间内分裂产生的后代个数。 创设情境，体会数学来源于生活，认识数学的科学价值，激发学生对于探索等比数列的兴趣。 利用小视频和H5动画美观生动，具有较强视觉冲击力，吸引学生注意力。
新知探究 （二）新知探究 探究1：等比数列的定义 【问题1】类比等差数列，你认为可以通过怎样的运算发现课前任务3的数列取值规律？ 【课前任务】 学生已完成课前填空任务，课中在教师引导下，学生类比等差数列特征发现等比数列特征，并用文字语言进行描述。 通过类比等差数列，引导学生通过观察，归纳出等比数列的规律特征，发展学生数学抽象、数学运算的核心素养，培养学生大胆猜测、敢于探索的精神品质。
【问题2】类比等差数列的定义，你能从上述数列的规律中抽象出这类数列的定义吗？ 等差数列等比数列文字语言一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示。符号语言an+1an d (n∈N ) (n∈N )
教师引导学生类比等差数列定义，从特殊到一般，归纳出等比数列的定义，培养学生高度概括总结的能力，发展学生数学抽象的核心素养。
【学生活动1】概念辨析：下列数列是否是等比数列？如果是，请指出它的公比。 【学生活动1】 6组同学思考对应题号的问题，依次回答。 【学生自主总结】 辨析等比数列的内涵与外延，学生自主探索等比数列的限制条件，加深对等比数列定义的理解。
探究2：等比中项 【学生活动2】已知以下数列为等比数列，请完成填空: 4，1 11，9； (2) 4，1 11，9. 【师生活动】 学生回答。教师利用“随写板”辅助推导等比数列的中项公式。
新知探究 【问题3】类比等差中项，如何定义等比中项 等差中项等比中项文字语言由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项.如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.符号语言2A ab (唯一)G ab (两个)
通过类比等差中项，引导学生由定义获得等比数列的中项公式。分析二者不同之处，对比记忆，加深印象。发展学生逻辑推理、数学抽象和数学运算的核心素养。
【追问】4和9是否有等比中项？ 【学生自主总结】 教师引导学生总结等比中项的注意点。
【学生活动3】利用“等比中项”相关知识完成课本P29例1:已知等比数列{an}的第4项和第6项分别为48和12，求{an}的第5项。 【师生活动】 学生口述，教师利用“聚集”功能在白板书写。 巩固等比中项的求解方法:已知三个数构成等比数列，则知二求一（方程思想）。
探究3：等比数列的通项公式 【问题4】类比等差数列通项公式的推导过程，你能自主推导等比数列的通项公式吗？ 等差数列等比数列推导过程 等号左右累加可得： an a1(n1)d () 当n1时，上式成立 等号左右累乘可得： an a1qn-1 () 当n1时，上式成立通项公式首项为a1，公差为d的等差数列通项公式为： an a1(n1)d (n∈N )首项为a1，公比为q的等比数列通项公式为： an a1qn-1 (n∈N )
引导学生有意识地类比等差数列通项公式的推导方法，利用等比数列的定义得到等比数列的通项公式。
【学生活动4】利用“等比数列通项公式”相关知识完成课本P29例1。 【师生活动】 学生尝试做题，上传作答过程，学生纠错，教师示范书写格式。 “试错-纠错-救错-究错”，高效触发学生思考。利用多种方法求解，引导学生体会方程思想和整体代换思想，引导学生做题时选择合适的方法降低计算量。
【学生活动5】利用“等比数列通项公式”相关知识完成课本P30例2:已知等比数列{an}公比为q，用{an}的第m项am表示an。 【学生自主归纳】 由特殊到一般补充等比数列通项公式的变形公式。
知识应用 （三）知识应用 【学生活动6】分组完成练习，具体要求如下： 分组要求具体任务第1-3组【练习1】等比数列{an}中，已知a14，an128，q2，求n。第4-6组【练习2】等比数列{an}中，已知a316，a6128，求an。
【练习2变式】等比数列{an}中，已知a28，a6128，求an。 【师生活动】 教师拍摄学生作答过程展示，学生互评，教师纠正答题格式。 巩固等比数列通项公式及其变形公式的应用。等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，知三求一。提高了学生的数学运算能力的核心素养，渗透方程思想和整体代换思想。
随堂检测 （四）随堂检测 1. [基础练习] 已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1＝3a3＋2a2，则公比q＝( )。 A.1 B.1或 C. D.1或 2. [综合练习] 已知不等式x2－5x－6<0的解集中存在三个整数，它们构成等比数列{an}的前三项，则数列{an}的第四项是( )。 A.8 B. C.8或2 D.8或 【师生活动】 教师设置“全班作答”，学生利用平板上传答案。教师根据答题情况进行讲评。 通过基础练习重在巩固等比数列通项公式的掌握，提升学生的数学运算能力，渗透方程思想。 综合练习结合一元二次不等式求解，在等比数列概念的基础上提升难度，同时考查了数列的有序性。考查学生融会贯通能力和分类讨论能力。
课堂小结 课堂小结 1、知识梳理 等差数列等比数列定 义an+1an d (n∈N ) (n∈N )中项公式2A ab (唯一)G ab (两个)通项公式ana1(n-1)d (n∈N )an a1qn-1 (n∈N )变形公式anam(n-m)d (m，n∈N )anamqn-m (m，n∈N )
2、思想方法：类比推理、化归思想、方程思想、整体思想、分类讨论 学生根据课堂所学知识，在教师的引导下自主梳理知识脉络，与等差数列相关知识进行对比记忆，有利于将本单元知识进行串联，培养了学生的高阶思维能力。
回归情境 （六）回归情境 假设在营养和生存空间没有限制的理想条件下，细菌每20分钟通过分裂繁殖一次（每个细菌都分裂成两个），探究一个细菌经过一天时间分裂产生的细菌个数。 【探究思考】 思考1：联系函数知识，可以选择什么函数模型描述细菌分裂现象？ 思考2：当细菌由1个分裂成不少于n个时，至少需要多长时间？ 【师生活动】 教师引导学生完成课前探究思考题，从问题中来到问题中去。 回归情境，对现实问题进行数学抽象，用符号语言表达问题，用数学方法构建模型，解决问题，发展学生逻辑推理、数学抽象和数学建模的核心素养，巩固等比数列通项公式的应用。同时，用数学特有的方式进行育人，实现了立德树人。 思考题回扣问题情境，指引学生后续学习方向，为下节课等比数列与函数的关系做铺垫。
作业布置 （七）作业布置 【必做】 智学网个性化作业； 【选做】 1、等比数列{an}中，已知a1a320，a4a6160，求公比q. 2、已知 1，a，b，c， 9构成等比数列： 求ac和b的值； (2)b是否为 1和 9的等比中项？请说明理由； (3)你能得到什么结论？ 在大数据学情分析的支持下，教师根据课堂生成数据（互动参与度、表扬次数、测试成绩、薄弱点）布置作业，智学网根据每位学生的知识点掌握情况进行删减推送个性化作业（必做），有效助力因材施教、个性化教学。学生提交作答后即可查看解析，自主订正反思，还可以完成智学网推送的薄弱知识点相似题进行自主提升，复习巩固所学知识，加深对等比数列定义、等比中项和通项公式的理解。 选做题则引导学生提前探索等比数列的性质，为后续学习内容做铺垫。
教学反思 理论与实际结合，实现立德树人价值观的传递。本节课由近期“全国都在咽喉炎”出发，最终回到“以强健之体魄，驻健康之中国”，呼吁学生勤防护、多锻炼，强国有我，躬身先行。 实现跨学科交流。本节课开头创设“细菌分裂”情境，与生物学科产生联动。结尾利用数学新知将生物情境转化为数学模型，利用数学知识建模解决问题。 信息技术使用丰富。本节课开头调用畅言智慧课堂资源库H5动画辅助情境的创设；通过屏幕推送功能，将PPT实时呈现在学生平板；使用聚焦功能，截取电子教材的题目至白板进行书写；在随写板完成草稿和简便计算。一键“全班作答”让学生进行平板答题，对当堂知识点进行检测和巩固。学生每答完一题教师及时反馈正确答案，点赞做对的学生，并进行讲解和易错点强调。即做即反馈以及表扬的方式充分调动了学生上课的积极性，同时配合着截图分享教师板书，学生课堂专注度较高。该方法能较好的让学生主动运用所学知识进行思考，有利于课堂知识点消化和吸收，提高课堂学习效率。 深刻落实“三环四自”教学模式。课前向学生推送预习资源，提出问题，学生自主探索，发现问题，激发学习兴趣，明确知识概况。课中以学生为主体、教师为主导，引导学生类比已经学过的等差数列研究过程得到等比数列的定义、等比中项和通项公式及变形式。重视深度学习，鼓励学生合作探究，自主突破知识重点和难点；借助畅言智慧课堂的“全班作答”功能，实现学生个体答题的实况展示、教师点评和生生互评，激活课堂，让学习真实发生；鼓励学生自主总结，建构思维导图，在知识的归纳与消化中启发思考，培养学生的高阶思维能力。课后在大数据学情分析的支持下，教师根据课堂生成数据（互动参与度、表扬次数、测试成绩、薄弱点）布置作业，智学网根据每位学生的知识点掌握情况进行删减推送个性化作业（必做），有效助力因材施教、个性化教学。学生提交作答后即可查看解析，自主订正反思，还可以完成智学网推送的薄弱知识点相似题进行自主提升，复习巩固所学知识，加深对等比数列定义、等比中项和通项公式的理解。

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