资源简介

第五章 一元函数的导数及其应用
5.2.1基本初等函数的导数
1.能根据导数的定义求函数，，，，，的导数；
2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用；
3.理解并会利用导数公式求曲线的切线方程.
重点：基本初等函数的导数公式及其简单应用；利用导数公式求曲线的切线方程；
难点：根据导数的定义求几个常用函数的导数.
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，请学生回答，后教师点评总结.
思考1：求函数在处的导数的步骤是什么？
答：(1)；
(2)求平均变化率；
(3)求极限.
思考2：求的导函数的步骤是什么？
答：(1)求的变化量；
(2)求比值；
(3)求极限 .
设计意图：通过回顾上节课学习的求导步骤，为本节课利用导数的定义求几个常用函数的导数做好铺垫.
（二）探究新知
任务一：几个常用函数的导数
根据导数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的，从而求函数的导数，就是求当时，无限趋近的那个定值，下面我们求几个常用函数的导数.
探究：如何求函数的导数？
师生活动：教师提出问题，学生按照导数的求解过程求解，教师完善.
答：因为，所以.
思考：这个函数的导数的物理意义是什么？
答：若表示位移关于时间的函数，则可以解释为某物体的瞬时速度始终为，即一直处于静止状态.
总结：求导时可采用的程序化步骤为：
(1)计算，并化简；
(2)观察当无限趋近于时，无限趋近于哪个定值，此时要注意是的函数，视为常数；
(3)无限趋近的定值就是函数的导数.
探究2：如何求函数的导数？
师生活动：教师提出问题，学生按照导数的求解过程求解，教师完善.
答：因为，所以.
思考：这个函数的导数的物理意义是什么？
答：若表示位移关于时间的函数，则可以解释为某物体做瞬时速度为的匀速直线运动.
探究3：如何求函数的导数？
师生活动：教师提出问题，学生按照导数的求解过程求解，教师完善.
答：因为，
所以.
思考1：这个函数的导数的物理意义是什么？
答：若表示位移关于时间的函数，则可以解释为某物体做变速运动，它在时刻的瞬时速度为.
思考2：这个函数的导数的几何意义是什么？
答：表示函数的图象上点处切线的斜率为，说明随着的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表明：当时，随着的增加，越来越小，减少得越来越慢；当时，随着的增加，越来越大，增加得越来越快.
探究4：如何求函数的导数？
师生活动：教师提出问题及公式：，学生分组讨论，教师指一名学生板演，师生共同完善.
答:因为，
所以.
思考：这个函数的导数的几何意义是什么？
答：表示函数的图象上点处切线的斜率为，这说明随着的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数.
探究5：如何求函数的导数？
师生活动：教师提出问题，学生分组讨论，教师指一名学生板演，师生共同完善.
答：因为，
所以.
思考：画出函数的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程.
师生活动：学生画出函数的图象（如图），教师引导学生结合图象分析求解.
答：函数的图象如图所示：
因为,，所以，
所以曲线在点处切线的斜率为.
所以曲线在点处的切线方程为，即.
探究6：如何求函数的导数？
师生活动:教师提出问题，学生分组讨论，各自完成，教师完善.
答：因为，
所以.
总结：几个常用函数的导数
函数 导数
（为常数）
设计意图：通过对个常用函数的导数的求解，及其导数意义的解释，发展学生的数学抽象、数学运算等核心素养.
任务二 基本初等函数的导数公式
师生活动：教师直接给出基本初等函数的导数公式表，指出：这些公式可以直接使用，教师留出一定的时间让学生记忆这些导数公式，学生结合函数的类型记忆公式..
注意：1.基本初等函数的导数公式是求函数的导数的基本依据，要牢记；
2.对于形如，的函数，一般要将其转化为幂函数的形式，再用幂函数的导数公式求导；
3.要区分指数函数、对数函数的导数公式，以免在运用时混淆；
4.若遇到稍微复杂一些的函数求导，可以先化简再求导.
做一做：求下列函数的导数
(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
师生活动：学生独立完成，教师评价.
解：(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6).
设计意图：通过练习让学生熟悉基本初等函数的导数公式的应用，提升学生数学运算的核心素养.
任务三 利用导数公式求曲线的切线方程
探究1：求曲线在点处的切线方程.
师生活动：学生思考并独立完成，教师根据学生完成情况进行点评.
答：，切点为，
根据导数的几何意义，曲线在点处切线的斜率，
所以，由直线的点斜式方程得切线方程为，即.
总结：利用导数求曲线在点处的切线方程的一般步骤：
(1)求出，得切线的斜率；
(2)求出切点坐标；
(3)由直线的点斜式方程得切线方程.
探究2：求曲线经过点的切线方程.
师生活动：教师出示问题，引导学生注意审题，学生交流，讨论，教师评价.
思考1：点是切点吗？过点的切线是否只有一条？
答：不是切点.
过点且与曲线相切的直线有两条，如图所示：
思考2：怎样求过点的该曲线的切线方程？
答：设切点为，则
切线方程为，
代入点可得，解得或，
又，，
故切线方程为或，
即切线方程为或.
总结：求经过点的曲线的切线方程的一般步骤：
(1)设切点坐标为，求出斜率；
(2)由点斜式写出切线方程（此方程中含）；
(3)将点的坐标代入方程，得到关于的方程；
(4)解方程求出的值；
(5)将的值再次代入方程并化简，即可得到所求的切线方程.
注意：关于的方程的解的个数与切线的条数相同.
设计意图：通过探究问题，体会利用导数公式求切线斜率的便捷性，进一步加深对导数几何意义及其应用的理解；通过对比理解求曲线“在”某点与“过”某点的切线含义的不同.
（三）应用举例
例1：求下列函数的导数：
；
师生活动：教师出示例题，学生自主完成，教师点评.
解：；．
例2：假设某地在年间的年均通货膨胀率为，物价单位：元与时间单位：年之间的关系为，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少精确到元年？
师生活动：教师出示例题，引导学生审清题型，让学生利用基本初等函数的导数公式求解.
解：根据基本初等函数的导数公式表，有．
所以．
所以，在第个年头，这种商品的价格约以元年的速度上涨．
思考：如果某种商品的，那么在第个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？
答：解答这一问题需要求的导数，利用基本初等函数的导数公式，可以求和的导数，但的导数已经不能直接用基本初等函数的导数公式求解了.学习了下一节的内容到时就能解决这一问题.
设计意图：通过解决例2，帮助学生熟悉基本初等函数的导数公式的应用，发展学生的逻辑推理、熟悉运算和数学建模等核心素养.通过设问，为下一节课介绍导数的四则运算法则埋下伏笔.
例3：已知曲线，
求曲线在点处的切线方程；
求曲线过点的切线方程．
分析：直接利用点在线上求出曲线在该点的斜率，进一步求出切线的方程；
首先判断该点不在曲线上，设切点，进一步利用函数的导数求出切线的斜率，得出切线方程，利用已知点在切线上，进一步求出切线的方程．
解：由函数，得，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，
整理得．
设直线与曲线相切于点，即点，
则直线的斜率为，
所以切线的方程为，
由于曲线经过点
所以，
解得或，
所以切点的坐标为和，
所以切线的方程为或．
总结：求曲线的切线方程时，应注意：
(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；
(2)函数在切点处对应的导数就是相应曲线在切点处的切线的斜率；
(3)必须先明确已知点是不是切点，如果是，则直接求解；如果不是，要设出切点，先求切点再求切线方程.
（四）课堂练习
1.已知，且，若，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解：因为，则，
所以，，
因为，且，解得．
故选：．
2.已知函数，过点作曲线的切线，则其切线方程为 ．
【答案】
解：设切点为，
由，则，
所以，
所以切线方程为，
又切线过点，
所以，解得，
所以切线方程为，
即．
故答案为：．
3.若曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求实数的值．
【答案】解：的导数为，
可得曲线在处的切线的斜率为，
且切点为，，
则切线的方程为，
由，可得；
由，可得，
所以，
解得．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

展开更多......

收起↑