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第五章 一元函数的导数及其应用
5.2.2导数的四则运算法则
1.理解并掌握导数的和、差、积、商的运算法则；
2.能利用导数的四则运算法则求函数的导数；
3.会利用导数的四则运算法则进行简单的应用.
重点：两个函数的和、差、积、商的求导法则及其应用.
难点：综合运用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求函数的导数.
（一）复习导入
师生活动：教师提出问题，请学生回答，后教师点评总结.
思考1：函数，，，，，的导数分别是什么？
答：几个常用函数的导数分别为：
思考2：基本初等函数的导数公式是什么？
答：基本初等函数的导数公式为：
思考3：在上节课的例中，当时，.这时，求关于的导数可以看成求函数与乘积的导数.一般地，如何求两个函数的和、差、积、商的导数呢？
设计意图：通过回顾上节课的内容，几何上节课的例题，使学生认识到导数的四则运算的客观存在性，以及学习导数的四则运算法则的必要性.
（二）探究新知
任务一：导数的四则运算法则
探究1：设，，计算与'，它们与和有什么关系？
师生活动：教师提出问题，引导学生探究.
思考1：如何计算函数的导数？能利用导数的定义求这个函数的导数吗？
答：设，因为，
所以.
思考2：函数的导数与函数和函数的导数有关系吗？
师生活动：学生思考、讨论、交流.
答：因为，，所以.
思考3：类似地，函数的导数与函数和函数的导数有什么关系呢？
师生活动：学生思考、讨论，得出结论.
答：.
总结：一般地，对于两个函数和的和(或差)的导数，有如下法则：
.
设计意图：通过利用导数的定义和基本初等函数的导数公式求出两个函数的和的导数以及两个函数的导数和，进而得出两个函数的和与差的导数运算法则，发展学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
做一做：求下列函数的导数
(1)；(2).
师生活动：教师出示问题，找两名学生板演，其他学生独立完成解答.教师巡视，观察学生的完成情况，适当进行指导.学生完成后，教师点评.
解：(1)；
(2).
设计意图：通过练习的解答，让学生运用基本初等函数的导数公式和函数的和、差的导数运算法则求导数，发展学生的数学运算核心素养.
探究2：设，，计算与，它们是否相等？与商的导数是否等于它们导数的商呢？
思考1：请计算函数的导数以及函数与函数的导数的积.
答：，.
思考2：与的积的导数是否等于它们导数的积？
答：.
思考3：与商的导数是否等于它们导数的商
答：同样地，.
师生活动：教师给出两个函数和的乘积（或商）的导数运算法则.
总结：对于两个函数和的乘积(或商)的导数，我们有如下法则：
；
.
探究3：如何求函数的导数，其中为常数？
师生活动：教师提出问题，学生思考回答，教师完善.
答：由函数的乘积的导数法则可以得出，也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即.
设计意图：引导学生对两个函数的积、商的导数运算法则进行探讨，发展学生的数学抽象、数学运算和逻辑推理等核心素养.
做一做：求下列函数的导数
(1)；(2).
师生活动：教师出示问题，引导学生分析这两个函数是由哪些基本初等函数经过怎样的运算得到的，学生独立完成求导，并在小组内讨论、交流、校对答案，教师点评完善.
解：(1)；
(2).
设计意图：通过练习的解答，让学生运用基本初等函数的导数公式和函数的积、商的导数运算法则求导数，发展学生的数学运算核心素养.
总结1：一般地，对于两个函数和的和、差、积、商的导数，有如下法则：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
总结2：求函数的导数的策略:
(1)先区分函数的运算特点，即函数关系式中的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；
(2)对于三个及以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算.
任务二 导数的四则运算法则的应用
师生活动：师生共同回顾利用导数公式求切线方程的一般步骤，然后教师阐述：
根据导数的几何意义，求出曲线在某一点处的导数可直接得到曲线在该点的切线的斜率.而运用导数的四则运算法则求导，可避免利用导数定义求导的大量运算，也能解决利用基本初等函数的导数公式无法解决的求导问题.需要注意直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征.当问题中涉及相切但未出现切点坐标时，要先设处切点坐标，然后根据已知条件求出切点坐标.
做一做：(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)在平面直角坐标系中，点在曲线：上，且在第一象限内，已知曲线在点处的切线的斜率为，求点的坐标.
师生活动：学生独立思考、探究，教师指导评价.
解：(1)由题意得，则曲线在点处切线的斜率为，所以所求的切线方程为，即.
(2)设点的坐标为.因为'，所以，解得.因为点在第一象限内，所以.又点在曲线上，所以.所以点的坐标为.
设计意图：通过问题，体会利用导数的四则运算法则的便捷性，进一步加深对导数几何意义及其应用的理解.
（三）应用举例
例1：求下列函数的导数：
；
；
；
师生活动：教师出示例题，学生自主完成，教师点评.
分析：将原式化简变形成便于求导数的形式，再运用导数公式及导数的四则运算法则求导数.
解：(1)因为，所以；
(2)因为，
所以；
(3)因为，所以；
例2：日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水的纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知将水净化到纯净度为时所需费用单位：元为
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：
．
师生活动：教师引导学生分析题意并提出问题，学生分组完成，然后每组选派一名代表汇报，教师点评并完善解题过程.
思考1：净化费用的瞬时变化率与净化费用函数是什么关系？
答：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．
．
因为，
所以净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是元吨．
因为，
所以净化到纯净度为时，净化费用的瞬时变化率是元吨．
思考2：你能根据求解的结果，说明本题的实际意义吗？
答：函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢. 由上述计算可知，.它表示净化到纯净度为左右时净化费用的变化率，大约是净化到纯净度为左右时净化费用变化率的倍.这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快.
总结：本题是一个体现导数意义的实际问题，解题的关键是理解函数在某一点处的瞬时变化率就是函数在这一点处的导数.在解答本题时，要先求出函数分别在，处的导数，然后再回答实际问题中，即将求导结果“翻译”成瞬时变化率，得到实际问题的解答.
设计意图：通过例2的解答，使学生进一步理解导数的意义，体会导数在实际问题中的应用，发展学生的数学运算和数学建模等核心素养.
例3：设函数，曲线在点处的切线方程为．
求的解析式；
证明：曲线上任一点的切线与直线和直线所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
分析：欲求在点处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，从而问题解决．
先在曲线上任取一点利用导数求出过此点的切线方程为，令得切线与直线交点．令得切线与直线交点．从而利用面积公式求得所围三角形的面积为定值．
解：，，
于是，
解得或舍
故．
证明：在曲线上任取一点
由知，
过此点的切线方程为
令得，切线与直线交点为
令得，切线与直线交点为．
直线与直线的交点为．
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值．
总结：本例主要涉及直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程、函数解析式的求解，对运算能力也有一定要求．第（1）小题用待定系数法求解，根据条件通过导数建立的方程组，解方程组确定的值，从而得到的解析式；第（2）小题要注意关于定值的证明思路，设曲线上任一点坐标，用表示出该点的切线方程及三角形的面积，然后根据定值的含义，只要证明三角形的面积与无关即可.
（四）课堂练
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
【答案】A
解： ，
令，可得 ，解得 ．
故选A．
2.已知函数( )
A. B. C. D.
【答案】B
解：，
，
故选：．
3.“以直代曲”是微积分中的重要思想方法，牛顿曾用这种思想方法求高次方程的根．如图，是函数的零点，牛顿用“作切线”的方法找到了一串逐步逼近的实数，，，，，其中是在处的切线与轴交点的横坐标，是在处的切线与轴交点的横坐标，，依次类推．当足够小时，就可以把的值作为方程的近似解．若，，则方程的近似解 ．
【答案】
解：由题可得，，则，
所以在处的切线方程为：，
令，解得，即方程的近似解，
故答案为：．
4.已知函数的图象过点，且．
求，的值；
求曲线过点的切线方程．
解：因为函数的图象过点，所以
又，，所以，
由解得，．
由知，
设所求切线在曲线上的切点为，则，
所以切线方程为，
又切线过点，所以，
可得，
，
，解得，
所以切点为，切线方程为．
故曲线过点的切线方程为．
设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况.
（五）归纳总结
回顾本节课的内容，你都学到了什么？
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.

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